精品解析：广东省惠州市第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2027届高二上学期第二次阶段考试试题 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 3. 已知点若平面的一个法向量为则（ ） A. B. C. 3 D. 4. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，） A. 0.816m B. 1.33m C. 1.50m D. 1.63m 5. 在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 圆C关于直线对称 D. 圆C与圆D：恰有三条公切线，则 10. 棱长为2的正方体中，点E为侧面内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ） A. 若点F为下底面内一点（包括边界），则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 当点E在棱上，且时，平面E截该正方体的外接球所得截面的面积为 D. 若点E到直线的距离是它到直线距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分 11. 曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于直线对称 C. 当时，曲线上点的横坐标的取值范围为 D. 若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计，15分. 12. 已知椭圆的焦距为6，则k的值为_____________. 13. 已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是__________. 14. 在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是__________. 四､解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 16. 已知椭圆过点，点A为其左顶点，且的斜率为 （1）求的方程； （2）在椭圆上取一点N，且满足的面积为12，求点的坐标. 17. 如图，已知四棱锥中，，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且. （1）求证：； （2）设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 抛物线与坐标轴交于三点，圆过三点. （1）求b的取值范围： （2）当时，求圆C的方程； （3）在（2）条件下，已知圆设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线与，它们分别与圆C和圆D相交，且直线被圆C截得的弦长与直线被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标. 19. 已知点为圆与轴负半轴的交点，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，反向延长至点，使得 （1）令点的轨迹为曲线，求曲线的方程： （2）连接交圆于点另外点，若求直线的方程； （3）已知点直线交曲线于另外一点，记直线的斜率为，直线的斜率为求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二上学期第二次阶段考试试题 数学 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案. 【详解】由，得，所以直线的斜率为， 又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，所以直线的一个方向向量为， 故选：C. 2. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程写出双曲线的渐近线方程，可得关于的方程，求解即可． 【详解】双曲线，则， 其渐近线方程为， 依题意，解得． 故选：A． 3. 已知点若平面的一个法向量为则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据法向量与垂直求解即可. 【详解】由点，可得. 因为平面的一个法向量为， 所以，即，解得. 所以，. 故选：B. 4. 假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（ ）（，，） A. 0.816m B. 1.33m C. 1.50m D. 1.63m 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 5. 在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底得到，接着依次计算，，再计算即可得解. 【详解】以为基底，则， 而， 所以， ， ， 从而， 故直线和直线所成角的余弦值为. 故选：B 6. 已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析两直线的性质，确定两直线的垂直关系，从而得出点的轨迹为圆，再结合圆确定两圆的位置关系，进而利用两点间距离公式结合两圆半径得出的最大值． 【详解】直线可变形为， 直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时； 当时，， 直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如下图所示， 的最大值是． 故选：D． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆定义以及勾股定理解方程即可求得离心率大小. 【详解】连接，如下图所示： 由椭圆定义可知，又，可得； 易知， 因此在中可得， 满足，因此， 因此可得，即, 所以离心率. 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，过原点的直线l交曲线于点A，B，沿x轴把平面直角坐标系折成大小为的二面角，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，设，由题意可得即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故，进而求出，结合基本不等式即可得解． 【详解】作垂直下半平面于点Q，作轴于H，连接， 设， 因为平面，x轴在平面内，所以轴， 又轴，，平面，所以x轴平面， 又平面，所以轴， 则即为沿x轴把平面直角坐标系折成的二面角的平面角，故， 因为平面，平面，所以， 又，则， 又，则， 则， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以线段长度的最小值为2． 故选：D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆C方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若已知在圆内，则 C. 圆C关于直线对称 D. 圆C与圆D：恰有三条公切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程判断A；将点标准方程判断B；根据圆心在直线上判断C；根据圆C与圆D外切求解判断D. 【详解】对于A，圆C的方程为，故，所以，得，故A错误； 对于B，若已知在圆内，则，所以，故B正确； 对于C，因为圆心在直线上，圆关于直线对称，故C正确； 对于D，圆；圆心， 由于圆C与圆D恰有三条公切线，故圆与圆外切， 所以，即，解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 棱长为2的正方体中，点E为侧面内一点（包括边界），则以下说法正确的是（ ） A. 若点F为下底面内一点（包括边界），则的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 当点E在棱上，且时，平面E截该正方体的外接球所得截面的面积为 D. 若点E到直线的距离是它到直线距离的2倍，则点E的轨迹是双曲线的一部分 【答案】BC 【解析】 【分析】当点在点，在点时，取得最大值，可判断A；求出的轨迹，即可判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量法求正方体的外接球球心到平面的距离，进而可判断C，设，求出轨迹方程，即可判断D. 【详解】对于A：当点在点，在点时，取得最大值， 最大值为，故A错误； 对于B：因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以在以为圆心，1为半径的四分之一圆上， 所以的最小值为，当且仅当点在线段与圆的交点时取得，故B正确： 对于C：如图建立空间直角坐标系，则， 因此，， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 易知正方体的外接球球心为，则， 因此到平面的距离为； 可知外接球半径为，所以截面圆半径， 所以所求截面的面积，可知C正确. 对于D：因为点为侧面内一点（包括边界），设， 则点到直线的距离为， 因为平面平面，所以， 所以点到直线距离为， 所以，所以， 所以点的轨迹是椭圆的一部分，故D错误. 故选：BC 11. 曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称 B. 曲线关于直线对称 C. 当时，曲线上点的横坐标的取值范围为 D. 若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图象关于点对称的定义判断A，根据图象关于直线对称的定义判断B，利用方程研究曲线的范围可判断C，由题意建立不等式求解可判断D. 【详解】对选项A：设曲线上有一点，则①，而点关于原点对称的点为，若曲线关于原点对称，则也应在曲线上，则有②；联立①②，得，此时无解，故A错误； 对选项B：设曲线上有一点，则③，而点关于对称的点为，若曲线关于对称，则也应在曲线上，则有④；联立③④，得，即，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该曲线的对称轴，故B正确； 对选项C：由原方程得，解得，所以C正确； 对选项D：由原方程得，由题意知，当时有点在曲线上，因为，所以在上有解，即在上有解，又因为函数在上单调递减，所以，所以D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计，15分. 12. 已知椭圆的焦距为6，则k的值为_____________. 【答案】11或29 【解析】 【分析】焦点在轴上进行讨论，根据题意焦距为6，即可求得m的值. 【详解】由已知，得， 当焦点在轴上时，，解得， 当焦点在轴上时，或，解得， 综上，11或29. 故答案为：11或29. 【点睛】本题考查椭圆里的关系，注意焦点在轴上两种情况的讨论，属于基础题. 13. 已知直线和直线抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，再利用平面几何知识即可求解. 【详解】由题意可得：抛物线的焦点，准线， 设动点到直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 故动点到直线和直线的距离之和的最小值是2. 故答案为：2 14. 在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将该四面体补成长方体，如图，则四面体和该长方体同外接球，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】将该四面体补成长方体，如图，建立空间直角坐标系， 则， 易知四面体和该长方体同外接球，长方体的体对角线的长. 所以外接球半径为，所以该四面体外接球的表面积. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 16. 已知椭圆过点，点A为其左顶点，且的斜率为 （1）求的方程； （2）在椭圆上取一点N，且满足的面积为12，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意分别求得，的值即可确定椭圆方程； （2）求出后利用面积可得点到直线的距离，则可设出与直线平行的直线，利用两平行线间距离公式计算即可得所需直线方程，再联立椭圆方程求出交点即可得. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为：，即， 当时，解得，所以， 椭圆过点， 可得，解得， 所以椭圆的方程：； 【小问2详解】 由，故，又，故， 由设点到直线的距离为， 由得，解得， 设与直线平行且与椭圆相交的直线方程为：， 由，即，解得或， 当时，联立，得，所以或， 当时，，当时，， 所以或； 当时，联立，得， ，故该方程无解； 综上：或. 17. 如图，已知四棱锥中，，三棱锥A-PCD为正三棱锥，且. （1）求证：； （2）设的重心为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取中点，连接，因为三棱锥为正三棱锥， 所以为等边三角形，为全等的等腰三角形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）推导出平面，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 由（1）知，所以四边形是矩形， 则，在直角三角形中，， 所以，所以， 所以，， 又因为，所以平面； 以点A为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为. 又，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 抛物线与坐标轴交于三点，圆过三点. （1）求b的取值范围： （2）当时，求圆C的方程； （3）在（2）条件下，已知圆设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线与，它们分别与圆C和圆D相交，且直线被圆C截得的弦长与直线被圆D截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据交点个数分析得到不等关系进而求得参数的范围. （2）当时，先求抛物线与坐标轴的交点，设圆的一般方程，代入交点坐标得到参数的值，进而得到所求圆的一般方程. （3）根据已知条件先求的两个圆的圆心坐标和半径，设，得到直线的方程，结合圆心到直线的距离相等，进而求得满足条件的点的坐标. 【小问1详解】 由题意得抛物线与轴有两个不同的交点，与轴有一个交点，所以 ，解得. 【小问2详解】 当时，抛物线， 当时，；当时，， 设圆， 当时，，令得①： 当时，，所以，代入①得， 所以圆. 【小问3详解】 由（2）知，圆，所以圆心，半径， 圆心，半径，不妨令直线的斜率存在且不为0， 设，故设直线，即， 设直线，即， 令圆心到的距离为，则， 令圆心到的距离为，则， 由题意得，即， 所以或， 即或有无数的使之成立， 所以或， 解得或， 所以或. 19. 已知点为圆与轴负半轴的交点，为圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，反向延长至点，使得 （1）令点的轨迹为曲线，求曲线的方程： （2）连接交圆于点另外点，若求直线的方程； （3）已知点直线交曲线于另外一点，记直线的斜率为，直线的斜率为求的值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，得，代入圆的方程化简计算即可求解； （2）设：，分别联立椭圆、圆的方程，利用韦达定理解得、，结合三角形面积公式化简，建立关于的方程，解之即可； （3）设：,联立椭圆方程，利用韦达定理和两点表示斜率公式化简计算即可求解. 【小问1详解】 设，则， 由即，得， 又因为在圆上，所以曲线. 【小问2详解】 因为的斜率不为0，故设直线的方程为：， 由，得， 所以， 由，得， 所以. 由得， 所以，即，解得 所以直线的方程为：或 【小问3详解】 因为直线的斜率存在且不为0， 故设直线的方程为：, 由，得， 由，得且， ，又， 所以， 又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $