精品解析：福建省宁德市蕉城区2025-2026学年上学期九年级数学期中质量检测卷

蕉城区2025－2026学年度第一学期期中九年级质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式的性质即可得出结果． 【详解】解：等式两边乘以，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键． 2. 一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，即可解答． 【详解】解：根据主视图是从正面看：能看到一个长方形，中间看不到的部分，用两条虚线表示， 故选：C． 3. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率所求情况数与总情况数之比，是解决问题得关键． 【详解】解：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，投掷一次出现1，2，3，4，5，6，共6种等可能结果， ∴将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是， 故选：A． 4. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，反比例函数是常数，的图像是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限在每一象限内；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限根据反比例函数的图像与性质解答即可 【详解】∵反比例函数＝的图象位于第二、四象限， ∴， ∴的取值可能是的取值不可能是，，， 故选 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，由题意可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， 故选：A． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊四边形的判定定理，包括矩形、菱形和正方形的判定，对各选项的命题，结合判定定理逐一判断真假． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），故A是假命题； 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如对角线垂直但不平分的四边形），故B是假命题； 对角线相等的平行四边形是矩形，但不一定是正方形，故C是假命题； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故D是真命题， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，判断命题真假等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7. 小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是，宽是的矩形剪纸．小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是，设留白部分的宽度是，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设留白部分的宽度是，先用表示出塑封后整幅图的长、宽，再根据塑封后整幅图的面积是列出方程． 【详解】解：设留白部分的宽度是， 塑封后整幅图的长为，宽为， 则， 故选：C． 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A、点B为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧交于点M、点N，连结交于点D，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． 先利用基本作图得到垂直平分，所以，再根据相似三角形的性质得到，则，然后根据三角形内角和求的度数； 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故选：D． 9. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是，面积是．则的值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形的周长为， ∴，， ∵， ∴， ∴． 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【解析】 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念，解题的关键是区分两种投影的光源特点． 根据中心投影的定义（由同一点光源发出的光线形成的投影），判断舞台上方灯光（点光源）照射形成的投影类型． 【详解】解：舞台上方的灯光属于点光源，由点光源发出的光线形成的投影是中心投影， 故答案为：中心投影． 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程． 13. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率 由此可以估计这批菜种发芽的概率为___________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，关键要清楚：在大量重复试验时，可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率． 根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，试验种子数量越多，用于估计概率越准确， 所以估计种一粒这样的莱种发芽的概率约为， 故答案为：． 14. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形实际应用，解题关键是正确列出比例式． 根据题意，列出比例式求解． 【详解】解：∵小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，∴， ∵烛焰的高是3cm， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______．（请用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 在正方形中，，点是中点，点在上．连接，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，延长到点，使，连接，．先证明，得到，，再证明，得到，设，则，，最后在中根据列方程求出，再根据求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，． ∵正方形中，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 设，则，， 中， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 可灵活选用配方法、公式法或因式分解法解方程即可． 【详解】解：因式分解，得， 于是，得或， ∴，． 18. 如图，在菱形中，点，在上，且，连接，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质得，则，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 19. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用概率公式直接求解； （2）先画出树状图，再求概率． 【小问1详解】 解：∵某款盲盒里有哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片四张， ∴从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片恰好一套的结果有4种， ∴抽到的两张卡片恰好一套的概率为． 20. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=6m，某时刻AB在阳光下的投影为BC． （1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）如果测得BC=4m，DE在阳光下的投影长为6m，请计算DE的长． 【答案】（1）如图所示，DE在阳光下的投影为EF； （2）9m． 【解析】 【分析】（1）直接利用平行投影的性质得出答案； （2）利用同一时刻实际物体的影子与物体的高度比值相同进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）∵AB∥DE，AC∥DF， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 即， ∴DE=9． 答：DE的长为9m． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握平行投影的性质是解题关键． 21. 如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 证明：， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 23. 综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示． （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取） 【答案】任务一：；任务二：272 【解析】 【分析】任务一：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出，再根据图纸的绘制比例为，即可求出所需防虫网的实际长度； 任务二：先证明为等边三角形，再证明得，，进而得是等边三角形，垂直平分，根据垂直平分线的性质得，再证是等边三角形，则，即可判定四边形是菱形，再根据菱形的面积公式计算的面积，用实际面积除以即可得出答案． 【详解】解：任务一：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵图纸的绘制比例为， ∴所需防虫网的实际长度为：； 任务二：连接， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵图纸的绘制比例为，图纸上， ∴实际， ∴实际四边形的面积为：， ∵一株卷心菜合理种植面积是， ∴四边形最多种植（株）卷心菜． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，菱形判定，比例尺，勾股定理，垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握勾股定理的运用，矩形的性质，菱形的判定． 24. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求证：； （2）的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）与相等吗？请说明理由． 【答案】（1） 方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）的面积不是定值 （3） ，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； 【小问3详解】 略 25. 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． （1）若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； （2）如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】（1） 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蕉城区2025－2026学年度第一学期期中九年级质量检测 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，则（ ） A. 6 B. C. 1 D. 2. 一个几何体如图所示，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷一次，则掷得骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则k的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 7. 小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是，宽是的矩形剪纸．小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是，设留白部分的宽度是，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点A、点B为圆心，大于长的一半为半径作圆弧，两弧交于点M、点N，连结交于点D，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长是，面积是．则的值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 10. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11. 在“霍童线狮”表演中，艺人操控“线狮”在舞台上呈现精彩姿态，舞台上方的灯光照射在“线狮”上，形成的影子属于___________，（填写“中心投影”或“平行投影”） 12. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是___________． 13. 某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000 发芽的频率 由此可以估计这批菜种发芽的概率为___________（精确到）． 14. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 15. 已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为______．（请用“”连接） 16. 在正方形中，，点是中点，点在上．连接，，若，则_____． 三、解答题（本题有9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在菱形中，点，在上，且，连接，，求证：． 19. 《哪吒2》自年1月日上映以来，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． A—哪吒 B—太乙真人 C—申公豹 D—敖丙 （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）小明从中随机抽取两张卡片，想恰好组成“一套”（A与D组合或B与C组合），求小明抽到的两张卡片恰好是一套的概率． 20. 如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB=6m，某时刻AB在阳光下的投影为BC． （1）请在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）如果测得BC=4m，DE在阳光下的投影长为6m，请计算DE的长． 21. 如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 22. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 23. 综合实践 项目主题 “校园智慧菜园”折叠规划设计 项目情境 某校“智慧菜园”是一块矩形种植区．数学兴趣小组按的比例绘制出它的图纸．图纸为矩形，，．小组随后对该图纸进行了折叠操作研究，具体操作如图所示． （1）对折矩形菜园图纸，使与重合，得到折痕，展平图纸； （2）再次折叠图纸，使点落在上的点处，得到折痕，． 任务一 在“智慧菜园”的生菜种植区中，计划沿该区域的边布设一条防虫网，求所需防虫网的实际长度． 任务二 为了合理规划种植卷心菜的株数，工作人员对项目情境再次进行操作；延长交于点，延长交于点，连接．已知一株卷心菜合理种植面积是，求种植区四边形最多种植几株卷心菜．（取） 24. 如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求证：； （2）的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）与相等吗？请说明理由． 25. 在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． （1）若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； （2）如图2，若，，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $