精品解析：云南省下关第一中学教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

下关一中教育集团2025~2026学年高二年级上学期期中考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 4. 已知，若与的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. 15 D. 5. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 13. 数列满足，，则______. 14. 若，且与相互独立，则_____，_____． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数． （1）若函数的最小正周期为，求的单调增区间 （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积． 16. 已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 17. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 18. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中教育集团2025~2026学年高二年级上学期期中考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合与集合在同一个数轴上分别表示出来，集合与集合重合的部分即为的结果. 【详解】解：由，得，如图所示数轴，阴影部分即为的结果，即； 故选：. 2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性和奇偶性对四个选项一一判断，即可得到答案. 【详解】对于A：函数是奇函数，不满足条件． 对于B：函数是偶函数.当时 是减函数，满足条件． 对于C：函数是偶函数，当时， 是增函数，不满足条件． 对于D：函数的定义域为 ，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件． 故选：B． 3. “”是“”（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】首先解对数不等式和指数不等式，即可得到答案. 【详解】，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：D 4. 已知，若与的夹角为，则（ ） A. 10 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积定义及乘法分配律，结合模长坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，与的夹角为， 所以， 则. 故选：B 5. 过点，，的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角坐标系内画出三角形，利用数形思想，结合两直线垂直的判定方法判定该三角形的形状，再利用直角三角形外接圆的性质，再结合圆的标准方程进行求解即可. 【详解】由如图，已知，，所以， 故该圆的圆心是的中点； 半径为， 所以圆的标准方程为， 故选：C 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面半径和高，利用圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 所以，则， 又圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为r， 则 ，， 则圆锥的高为， 故该圆锥的体积为， 故选：C 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则角A的大小可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据面积公式即可求解. 【详解】由三角形的面积公式可得， 故，故， 由于为三角形的内角，所以或， 故选：BD 10. 如图，四边形ABCD为正方形，平面平面CDF，，，，，且．记三棱锥，，的体积分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意几何体补形为正方体，再计算相关体积得出关系即可. 【详解】由已知，将几何体补形为正方体，如图，设该正方体的棱长为1， 则， ， ， 所以，． 故选：AC. 11. 设抛物线的焦点为，若直线与交于，两点，其中为第一象限内的点，与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抛物线焦点坐标求出判断A；联立直线与准线方程求得判断B；联立直线与抛物线方程，韦达定理得，由焦点弦弦长公式求得判断C；利用两点距离公式求得，由即可判断D. 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，解得，A正确； 易知的准线方程为，由解得，则，B错误； 由上可知，，联立方程组，整理得， 设，，则， 因为在直线上，所以，C正确； 又， 其中为第一象限内的点，则为第四象限内的点， 则，所以，D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，复数z满足，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数乘法和除法法则计算出，由模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故答案为： 13. 数列满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，代入即可求得. 【详解】由题意， 故答案为：. 14. 若，且与相互独立，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式和概率的加法公式求解即可. 【详解】因为，且与相互独立， 则，． 故答案为：； 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设函数． （1）若函数的最小正周期为，求的单调增区间 （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）有题意易知，再结合的单调递增区间，求出答案； （2）由题意易得，由可知角为钝角，则可得，由余弦定理结合可得，再带入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以 因为在区间 所以, 所以， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 当时，， 所以, 因为， 所以，即, 所以，所以， 所以， 由余弦定理有， 所以的面积. 16. 已知圆C过点和点，且圆心在直线上． （1）求圆C的方程； （2）若直线l过点，当直线与圆C相切时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，由题意得到，求解即可； （2）通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设圆心，由圆心在直线上及点和点都在圆C上， 得，即， 解得，即，圆C的半径， 所以圆C的方程是． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则， 圆心到直线的距离为半径，故直线为圆的切线． 若直线的斜率存在，设切线方程为， 则，解得，此时切线方程为． 综上，直线l的方程为或． 17. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 【答案】（1）和. （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解； （2）分有3个家庭回答正确和有2个家庭回答正确两种情况，根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率关系求解. 【小问1详解】 记事件为“甲家庭回答正确”，事件为“乙家庭回答正确”，事件为“丙家庭回答正确”． 由已知得， 解得， 设“乙、丙两个家庭至少有一家回答正确”为事件，则， 则， 即， 解得，则． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确的概率分别为和； 【小问2详解】 有3个家庭回答正确的概率. 有2个家庭回答正确的概率， 所以至少有2个家庭回答正确的概率． 18. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 在四棱锥中，连接，，由平面， 平面，得，由正方形，得， 而，，平面，所以平面. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解. （3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方形，得，而平面， 平面，则平面，又平面， 平面平面，因此. 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角. 由平面，平面，得，而, ，，平面，则平面. 又平面，因此，， 则，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接， 由平面，得，而，，平面， 则平面，是直线与平面所成的角. 取中点，连接，，由是的中点，则， 平面，而平面，则. 设，则EG＝，DG＝， 则DE＝，而DF＝， 由直线与平面所成角的正弦值为， ， 整理得，解得或，所以或. 19. 已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的方程； （2）已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C. （i）求证：直线过定点； （ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值. 【答案】（1）； （2）（i）证明：方法一：设，则， 因为三点共线，所以. 当轴时，三点不共线，所以斜率不为0， 设的方程为. 联立双曲线，得， 所以， 又，所以， 即， ，化简得. 显然，，所以，直线恒经过定点. 方法二：设，则，直线， 联立双曲线， 得， ， 且， 由，则直线， 整理得， 又， ，显然直线过定点，得证； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式以及点的坐标，联立方程即可求解， （2）（i）联立直线与双曲线的方程，可得韦达定理，根据斜率公式以及三点共线，即可求解，（ii）根据弦长公式以及三角形的面积公式，利用导数求解函数的单调性即可得最值求解. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 所以的方程为，代入点，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0， 可设，联立双曲线， 整理得， 则. 与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以， . 令，则， 令，则， 在上单调递减， 则，此时，即， 的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $