精品解析：四川省广元市苍溪县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年秋八年级学段质量监测数学试题 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可得到，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． B、添加，可得到，不能判定，故本选项符合题意． C、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． D、添加，由全等三角形的判定定理可以判定，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3. 如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，根据折叠得到，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴当时，为等边三角形；故A选项不符合题意； 当时，则：，为等边三角形；故B选项不符合题意； 当时，则， 故为等边三角形；故C选项不符合题意； 当时，无法得到为等边三角形；故D选项符合题意； 故选D． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，与角平分线有关的计算，平行线的性质，求出的度数，外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，再利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作角平分线的尺规作图，先理解题意，观察作图过程得，证明，则，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得， ∴， ∴， 即平分， 故选：B． 6. 点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握关于坐标轴对称的坐标特征是解题关键．根据坐标关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出、的值，再根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ，， ， 关于x轴的对称点的坐标是， 故选：A． 7. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，的面积为20，点D，E，F分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线平分三角形面积，先证明，再证明即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵F是的中点， ∴， ∵E是的中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 9. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．由角平分线的定义可得，，从而可求得，再利用三角形的外角性质得，从而可求解． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点， ，， ， ，， 是的外角，， ， 即， 解得：． 故选：． 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可判断①正确；先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可判断②正确；在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式可得，然后根据全等三角形的性质可得，，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，则结论②正确； 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论③正确； 如图，过点作于点，作于点， 由上已得：，即平分， ∴， ∴， 由上已证：，， ∴，， ∴，则结论④正确； 综上，结论中正确的有4个， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是______（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性原理，判断每个例子是否应用了该特性，即可作答． 【详解】解：①起重机的三角形吊臂：采用三角形结构，利用稳定性增强承重能力，故利用了三角形稳定性； ②校门口的自动伸缩栅栏门：基于四边形的不稳定性实现伸缩功能，未利用三角形稳定性； ③照相机的三脚架：三条腿构成三角形，确保支撑稳定，故利用了三角形稳定性； ④长方形门框的斜拉条：通过添加斜杠形成三角形，防止门框变形，故利用了三角形稳定性； ∴利用了三角形稳定性的是①③④， 故答案为：①③④． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 13. 如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义证，再根据等角对等边可得，据此求解． 【详解】如图，分别是与的平分线， ． 又， ，， ， ， 的周长． 又， 的周长． 故答案为：30． 14. 如图，∠A=75°，∠B=65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=35°，则∠1的度数为 ______度． 【答案】115 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-65°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=75°，然后利用平角的定义即可求出∠1． 【详解】解：如图， ∵∠A=75°，∠B=65°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-65°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠C′=∠C=40°， 而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=35°， ∴∠3+35°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=75°， ∴∠1=180°-75°=115°． 故答案为115． 【点睛】本题考查了折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及外角性质． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点A关于直线的对称点为点C，，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点A关于直线的对称点为点C，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：11． 16. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当___________秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：在 和 中， ， ， ， 即 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的判定，证明是解题的关键． 根据“边边边”判定，由全等三角形的性质可得 ，进而可得，判定即可． 【详解】略 18. 已知：如图，在中，，于，平分，；求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义，熟悉掌握角平分线的定义是解题的关键． 由，，可求出的度数，即可求出，再由角平分线的定义得到的度数，可求得，再利用外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，写出与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：为的角平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ∴点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； （2） 解：， 证明：为的角平分线，， ， ， 垂直平分, , ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的性质与判定以及垂直平分线： （1）先证明，得到即可证明； （2）根据角平分线得到，在中可得，利用角度转化得到，在中可得，进而得到与之间的数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 21. 设a，b，c是的三边， （1）化简 （2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）等腰三角形，理由如下： ∵， ∴且， ∴，， ∵a为方程的解， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，不能构成三角形，不符合题意； 当时，，能构成三角形； ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系得出，，再利用绝对值的性质化简即可； （2）根据非负数的性质得出，，再解绝对值方程，求出a值，根据三角形三边关系取舍，最后即可判断的形状． 【小问1详解】 解：∵a，b，c是的三边， ∴， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，等腰三角形的定义，非负数的性质，解题的关键是利用三角形三边关系得出式子的符号． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为______； （3）在y轴上确定一点P，使最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）y轴（或直线）， （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可． （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，则，此时最小，故点即为所求， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； 【小问3详解】 略 23. 如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线． 【答案】 证明：如图，过点E作于点F， ∴，平分， ∴． ∴点E是BC的中点， ∴， ∴． 又∵，， ∴是的平分线． 【解析】 【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得到，根据中点，得到，进而得到，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查角平分线的判定．熟练掌握到角两边相等的点在角的角平分线上，是解题的关键． 24. 在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵E是的中点，， ∴，即； ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）设，根据等边对等角和角平分线推出，，利用三角形内角和列方程求出x，可得； （2）依据E是的中点，即可得到，，可得垂直平分，进而得出，依据，即可得到，再根据，可得，进而得到，从而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，∵平分， ∴，， 在中，， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 25. 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），； （2），， 理由：和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； （2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； （3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 【详解】[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）略 （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 26. 已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． （2）如图2，过点作轴于，求证：； （3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：．理由如下：如图2， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 而， ； （3） 解：．理由如下： 如图3，设和的延长线相交于点D， ， ， ， ， 而， ， 在和中， ， ， ， x轴平分，轴， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作轴于H，证明，即可求解； （2）先证明，再证明，即可得到结论； （3）设和的延长线相交于点D，先证明，再证明，推出，再证，推出，即可得出． 【小问1详解】 解：作轴于H，如图1： 点A的坐标是，点B的坐标是， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级学段质量监测数学试题 考试时间120分钟 分值150分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点E，点F在直线上，，，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，对折直角边，使点与点重合，得到折痕，点，分别在上，连接，添加下列条件，仍不能判定为等边三角形的选项是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点F在边上，，作的平分线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是用尺规作的平分线的示意图，这样作图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为20，点D，E，F分别为的中点，则阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，平分交于点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的有（ ） ①若，则；②；③；④ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 下列例子：①起重机的三角形吊臂；②校门口的自动伸缩栅栏门；③照相机的三脚架；④长方形门框的斜拉条．其中，利用了三角形稳定性的是______（填序号）． 12. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 13. 如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为______． 14. 如图，∠A=75°，∠B=65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=35°，则∠1的度数为 ______度． 15. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______． 16. 如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当___________秒时，与全等． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，与相交于点，且，求证：是等腰三角形． 18. 已知：如图，在中，，于，平分，；求的度数． 19. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，写出与之间的数量关系，并证明． 20. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 21. 设a，b，c是的三边， （1）化简 （2）若b，c满足，且a为方程的解，判断的形状并说明理由． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在图中画出关于x轴对称的图形； （2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为______； （3）在y轴上确定一点P，使最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 23. 如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线． 24. 在中，，平分，交于点D，． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接AF．求证：． 25. 【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． 【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有______；线段和的数量关系是______； 【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，在同一条直线上．请判断线段和存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，请直接写出与的数量关系． 26. 已知，是等腰直角三角形，，点在轴负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1所示，若的坐标是，点的坐标是，则点的坐标______． （2）如图2，过点作轴于，求证：； （3）如图3，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $