15.2.2坐标平面中的轴对称 课件-2025-2026学年 人教版数学八年级上册

幻灯片 1：封面 标题：15.2.2 坐标平面中的轴对称 副标题：人教版初中数学（八年级上册） 制作人：[你的名字] 日期：[具体日期] 衔接提示：上节课我们学习了画轴对称图形，其中在坐标平面内可通过坐标变换规律作图。今天将聚焦 “坐标平面中的轴对称”，系统推导不同对称轴下点的坐标变化规律，解决更复杂的坐标与轴对称结合问题。 幻灯片 2：课程导入 旧知回顾： 平面直角坐标系：由 x 轴（水平轴）和 y 轴（垂直轴）组成，点的坐标用 (x,y) 表示，x 表示横坐标，y 表示纵坐标； 初步坐标变换：上节课提到 “点 P (x,y) 关于 x 轴对称的点为 (x,-y)，关于 y 轴对称的点为 (-x,y)”，这一规律如何推导而来？ 问题引导： 若对称轴为任意直线（如 x=2、y=-3），点的坐标会如何变化？ 如何利用坐标变化规律，快速判断两个图形是否关于某条直线对称？今天我们就来深入探究坐标平面中轴对称的核心规律。 情境展示：呈现平面直角坐标系中的点 A (3,2)，分别画出其关于 x 轴、y 轴、x=1 的对称点 A₁、A₂、A₃，引导学生观察坐标变化，提出猜想。 幻灯片 3：探究一 - 关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标规律 实验推导（以点 P (x,y) 为例）： 关于 x 轴对称的点 P₁： 画图分析：在坐标系中描出 P (x,y)，作 P 关于 x 轴的对称点 P₁，观察 P 与 P₁的位置关系 ——x 轴为对称轴，两点的横坐标相同，纵坐标到 x 轴的距离相等且方向相反； 坐标规律：P₁的横坐标 = x，纵坐标 =-y，即 P₁(x, -y)； 实例验证：P (2,3) 关于 x 轴对称的点为 (2,-3)，测量两点到 x 轴距离均为 3，横坐标相同，验证规律成立。 关于 y 轴对称的点 P₂： 画图分析：作 P (x,y) 关于 y 轴的对称点 P₂，两点的纵坐标相同，横坐标到 y 轴的距离相等且方向相反； 坐标规律：P₂的横坐标 =-x，纵坐标 = y，即 P₂(-x, y)； 实例验证：P (-1,4) 关于 y 轴对称的点为 (1,4)，测量两点到 y 轴距离均为 1，纵坐标相同，验证规律成立。 规律总结（表格呈现）： 对称轴 原点点坐标 对称点坐标 坐标变化特点 x 轴 P(x,y) P₁(x,-y) 横坐标不变，纵坐标取相反数 y 轴 P(x,y) P₂(-x,y) 纵坐标不变，横坐标取相反数 幻灯片 4：探究二 - 关于直线 x=a、y=b 对称的点的坐标规律 1. 关于直线 x=a 对称的点 P₃： 定义理解：直线 x=a 是平行于 y 轴的直线，与 x 轴交于 (a,0)，所有点的横坐标均为 a； 推导过程： 点 P (x,y) 到直线 x=a 的水平距离为 | x - a|（横坐标差值的绝对值）； 对称点 P₃到直线 x=a 的水平距离也为 | x - a|，且在直线 x=a 的另一侧； 因此 P₃的横坐标为 a + (a - x) = 2a - x，纵坐标与 P 相同（直线 x=a 平行于 y 轴，垂直方向无变化）； 坐标规律：P₃(2a - x, y)； 实例验证：P (1,2) 关于直线 x=3 对称，a=3，横坐标 = 2×3 - 1=5，纵坐标 = 2，即 P₃(5,2)，测量两点到 x=3 的距离均为 2，验证成立。 2. 关于直线 y=b 对称的点 P₄： 定义理解：直线 y=b 是平行于 x 轴的直线，与 y 轴交于 (0,b)，所有点的纵坐标均为 b； 推导过程： 点 P (x,y) 到直线 y=b 的垂直距离为 | y - b|（纵坐标差值的绝对值）； 对称点 P₄到直线 y=b 的垂直距离也为 | y - b|，且在直线 y=b 的另一侧； 因此 P₄的纵坐标为 b + (b - y) = 2b - y，横坐标与 P 相同（直线 y=b 平行于 x 轴，水平方向无变化）； 坐标规律：P₄(x, 2b - y)； 实例验证：P (4,-1) 关于直线 y=2 对称，b=2，纵坐标 = 2×2 - (-1)=5，横坐标 = 4，即 P₄(4,5)，测量两点到 y=2 的距离均为 3，验证成立。 幻灯片 5：坐标平面中轴对称的核心规律（汇总表） 对称轴类型 原点点坐标 P (x,y) 对称点坐标 P' 关键特征 示例（P (3,4)） x 轴 (x,y) (x, -y) 横不变，纵取反 关于 x 轴：(3,-4) y 轴 (x,y) (-x, y) 纵不变，横取反 关于 y 轴：(-3,4) 直线 x=a（平行 y 轴） (x,y) (2a - x, y) 纵不变，横关于 a 对称 关于 x=2：(2×2-3,4)=(1,4) 直线 y=b（平行 x 轴） (x,y) (x, 2b - y) 横不变，纵关于 b 对称 关于 y=1：(3,2×1-4)=(3,-2) 记忆口诀：“轴平行 x，纵变横不变；轴平行 y，横变纵不变；对称中心在直线，坐标计算用‘2 倍减’”。 幻灯片 6：实例 1 - 求已知点的对称点坐标 例题：已知点 A (-2,5)，分别求其关于以下对称轴的对称点坐标： x 轴；2. y 轴；3. 直线 x=3；4. 直线 y=-1。 解题步骤： 关于 x 轴：横不变（-2），纵取反（-5）→ A₁(-2,-5)； 关于 y 轴：纵不变（5），横取反（2）→ A₂(2,5)； 关于 x=3：纵不变（5），横 = 2×3 - (-2)=8 → A₃(8,5)； 关于 y=-1：横不变（-2），纵 = 2×(-1) - 5=-7 → A₄(-2,-7)。 验证方法：在坐标系中描出 A 及四个对称点，观察是否符合轴对称特征（如 A 与 A₁关于 x 轴对称，到 x 轴距离均为 5）。 幻灯片 7：实例 2 - 判断图形是否关于某直线对称 例题：已知△ABC 的顶点坐标为 A (1,2)、B (3,1)、C (2,4)，△A'B'C' 的顶点坐标为 A'(-1,2)、B'(-3,1)、C'(-2,4)，判断△ABC 与△A'B'C' 是否关于 y 轴对称。 解题步骤： 逐一验证对应点的坐标关系： A (1,2) 与 A'(-1,2)：纵不变，横取反，符合关于 y 轴对称的规律； B (3,1) 与 B'(-3,1)：纵不变，横取反，符合规律； C (2,4) 与 C'(-2,4)：纵不变，横取反，符合规律； 结论：所有对应点均关于 y 轴对称，且对应线段、对应角相等（由坐标可计算 AB=A'B'、BC=B'C'、AC=A'C'），因此△ABC 与△A'B'C' 关于 y 轴对称。 幻灯片 8：实例 3 - 利用轴对称求最短路径（综合应用） 例题：如图，在平面直角坐标系中，点 A (1,3)、B (4,1)，在 x 轴上找一点 P，使 PA + PB 的值最小，求点 P 的坐标。 解题思路（利用轴对称性质）： 原理：两点之间线段最短，作 A 关于 x 轴的对称点 A'，则 PA=PA'，因此 PA + PB=PA' + PB，当 P 在 A'B 与 x 轴的交点时，PA' + PB 最小（即 A'B 的长度）； 步骤： 求 A (1,3) 关于 x 轴的对称点 A'(1,-3)（横不变，纵取反）； 求直线 A'B 的解析式：设 y=kx + b，代入 A'(1,-3)、B (4,1)，得： -3 = k + b 1 = 4k + b 解得 k=4/3，b=-13/3，解析式为 y=(4/3) x - 13/3； 求 P 点坐标：x 轴上 y=0，代入解析式得 0=(4/3) x - 13/3 → x=13/4，因此 P (13/4, 0)。 答案：点 P 的坐标为 (13/4, 0)。 幻灯片 9：课堂练习（分层巩固） 基础题： 已知点 M (5,-2)，求其关于 x 轴、y 轴、直线 x=0（即 y 轴）、直线 y=3 的对称点坐标； 已知△DEF 的顶点 D (-3,4)、E (1,-2)、F (-1,1)，画出△DEF 关于 x 轴的对称图形△D'E'F'，并写出 D'、E'、F' 的坐标。 提升题： 3. 已知点 P (a,b) 关于直线 x=2 的对称点为 P'(5,-4)，求 a、b 的值（提示：利用 x=2 的对称规律 2×2 - a=5）； 4. 在坐标系中，点 Q (2,5)，在直线 y=1 上找一点 R，使 QR 的长度最小，求 R 的坐标（提示：最短路径为垂直距离，QR⊥y=1）。 解题提示： 第 1 题：关于 x 轴 (5,2)，关于 y 轴 (-5,-2)，关于 x=0 (-5,-2)，关于 y=3 (5,8)； 第 2 题：D'(-3,-4)、E'(1,2)、F'(-1,-1)，描点连线即可； 第 3 题：2×2 - a=5→a=-1，b=-4； 第 4 题：y=1 平行 x 轴，QR 垂直于 y=1 则 QR 平行 y 轴，R 的横坐标 = 2，纵坐标 = 1，即 R (2,1)。 幻灯片 10：易错点与注意事项 规律混淆：将 “关于 x=a 对称” 与 “关于 y=b 对称” 的规律颠倒（如误将 x=a 的对称点横坐标算成 2b - x），需牢记 “轴平行 y 轴，横变纵不变；轴平行 x 轴，纵变横不变”； 符号错误：计算 “2a - x” 或 “2b - y” 时忽略负号（如 P (-1,2) 关于 x=3 的对称点，误算为 2×3 - (-1)=5，实际正确，但需注意原横坐标为负数时的计算）； 最短路径应用错误：忽略 “作对称点” 的步骤，直接连接两点与对称轴的交点，导致路径不是最短（如实例 3 中需先作 A 的对称点 A'，再连 A'B）； 坐标书写错误：混淆横坐标和纵坐标的位置（如将 (x,-y) 写成 (-y,x)），需严格遵循 “先横后纵” 的书写规则。 幻灯片 11：课堂小结 核心知识梳理： 类别 具体内容 坐标对称规律 1. 关于 x 轴：(x,y)→(x,-y)；关于 y 轴：(x,y)→(-x,y)；2. 关于 x=a：(x,y)→(2a - x,y)；关于 y=b：(x,y)→(x,2b - y) 应用场景 1. 求已知点的对称点坐标；2. 判断图形是否关于某直线对称；3. 利用轴对称求最短路径（如 x 轴、y 轴、直线 x=a/b 上的动点问题） 关键思想 1. 数形结合：通过坐标系将几何轴对称转化为代数坐标计算；2. 转化思想：将最短路径问题转化为线段长度问题（作对称点） 幻灯片 12：课后作业 完成课本对应练习题（如习题 15.2 第 3、4 题）； 实践任务： 在坐标系中，描出点 A (2,3)、B (5,1)、C (3,-2)，分别画出△ABC 关于 y 轴和直线 x=4 的对称图形，并写出对称图形的顶点坐标； 已知点 D (1,-1)，在 y 轴上找一点 E，使 DE + DA（A (3,2)）的值最小，求 E 的坐标； 拓展思考：已知点 P (x,y) 关于直线 y=x 的对称点为 P'(y,x)，请推导这一规律，并求点 Q (4,-2) 关于直线 y=x 的对称点坐标。 【2024新教材】2025-2026学年人教版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 15.2.2坐标平面中的轴对称 第15章 轴对称 a i T u j m i a N g (1)观察上图中两个圆脸有什么关系? 想一想 导入新知 x y 探究新知 想一想 (2)已知右边图脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1)。你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗? 导入新知 x y 探究新知 已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗? A A′ M N ∴A′就是点A关于直线MN的对称点. O （2）延长AO至A′,使A′O=AO. （1）过点A作AO⊥MN，垂足为点O. 探究新知 平面直角坐标系中的轴对称 知识点 问题1： 探究新知 x y O 如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗? A (2,3) A′(2,–3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗？ 探究新知 问题2： 探究新知 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点. C (3,–4) C '(3,4) B(–4,2) B '(–4,–2) (x , y) 关于 x 轴 对称 ( , ) x –y 探究新知 做一做: 探究新知 关于x轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标相等,纵坐标互为相反数. （简称：横同纵反） 1.点P(–5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________. 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于x轴对称，则a=_____, b =_____. (– 5 , –6 ) –2 5 探究新知 归纳总结 练一练 探究新知 如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗? x y O A (2,3) A′(–2,3) 你能说出点A与点A'坐标的关系吗？ 探究新知 问题3： 探究新知 x y O 在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点. C (3,–4) C '(– 3,– 4) B(–4,2) B '(4,2) (x , y) 关于 y轴 对称 ( , ) –x y 探究新知 做一做: 探究新知 关于y轴对称的点的坐标的特点是: 横坐标互为相反数,纵坐标相等. （简称：横反纵同） 1.点P(–5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________. 2.点M(a, –5)与点N(–2, b)关于y轴对称，则a=_____, b =_____. (5 , 6 ) 2 –5 探究新知 归纳总结 练一练 探究新知 例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(–5,1), B(–2,1),C(–2,5),D(–5,4), 画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形. x y A B C D A ′ B ′ C ′ D ′ A′′ B′′ C′′ D′′ O 探究新知 在平面直角坐标系内作轴对称图形 素养考点 1 方法点拨 对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形. (一找二描三连） 探究新知 平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，–1）. （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标. 课堂练习 解：如图所示： 巩固练习 x y O A (0,4) B (2,4) C (3,–1) A' (0,–4) B' (2,–4) C' (3,1) 课堂练习 例2 已知点A(2a–b，5＋a)，B(2b–1，–a＋b)． (1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值； (2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2025的值． 解：(1)∵点A、B关于x轴对称， ∴2a–b＝2b–1，5＋a–a＋b＝0， 解得a＝–8，b＝–5. (2)∵A、B关于y轴对称， ∴2a–b＋2b–1＝0，5＋a＝–a＋b， 解得a＝–1，b＝3， ∴(4a＋b)2025＝ – 1. 解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解． 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值 素养考点 2 探究新知 课堂练习 已知点A(2a＋3b，–2)和点B(8，3a＋2b)关于x轴对称，则a＋b＝ ． 若M(a，– )与N(4，b)关于y轴对称，则a，b的值分别为 ，MN＝ ． 2 –4， 8 巩固练习 例3 已知点P(a＋1，2a–1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围． 解：依题意得点P在第四象限， 解得 . 即a的取值范围是 探究新知 利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围 素养考点 3 方法总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知点所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解． 如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系，在这种变换下，如果△ABC内任意一点M(a，b)，那么它的对应点 N的坐标为 ． 已知点M(1–a，2a＋2)，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是 ． a>1 (–a，b) 巩固练习 1.蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽,深受人们喜爱，它的图案具有对称美,如图，蝴蝶图案关于y轴对称,点M的对应点为,若点M的坐标为(-2，-3),则点的坐标为（ ） 链接中考 A.（2，-3） B. （-3，2） C.（-2，3） D .（2，3） A 2.在平面直角坐标系中,将点P(1，-1)向右平移2个单位后，得到的点关于x轴的对称点坐标是（　　） A．（1，1） B．（3，1） C．（3，–1） D．（1，–1） 链接中考 B 1.平面直角坐标系内的点A（–1，2）与点B（–1，–2）关于（　　） A．y轴对称 B．x轴对称 C．原点对称 D．直线y=x对称 2.若点A（1+m，1–n）与点B（–3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A．–5 B．–3 C．3 D．1 D B 基础巩固题 课堂检测 3.在平面直角坐标系中，将点A（–1，–2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　） A．（–3，–2） B．（2，2） C．（–2，2） D．（2，–2） B 4.如图，在平面直角坐标系中，点P（–1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（2，2） C．（3，2） D．（4，2） C 课堂检测 1 1 -1 2 5.已知点P(2a+b,–3a)与点P′（8,b+2). 若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____， b=_______. 若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______. 2 4 6 –20 6.若|a–2|+(b–5)2=0，则点P (a，b)关于x轴对称的点的坐标为________. (2,–5) 课堂检测 1. 教材练习 在平面直角坐标系中，若点 关于 轴对称的点的坐标是，则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点 向右平 移2个单位长度后，得到的点关于 轴的对称点的坐标是 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 24 3. 小红同学误将点的横、纵坐标次序颠倒，写成 ， 另一学生误将点的坐标写成关于 轴对称的点的坐标，写成 ，则， 两点原来的位置关系是( ) A A. 关于轴对称 B. 关于 轴对称 C. 点和 重合 D. 以上都不对 4.［2025德阳期中］已知点与点关于 轴 对称，则 的值为____. 返回 考试考法 25 5. 如图是蜡烛平面镜成 像原理图，若以桌面为 轴，镜面侧面 为 轴（镜面厚度忽略不计）建立平面 直角坐标系，若某刻火焰顶尖 点的坐 6.已知点到轴、轴的距离分别是4和5，且点关于 轴对 称的点在第四象限，则点 的坐标是_________. 标是，此时对应的虚像的坐标是，则 的值 为____. 返回 考试考法 26 7. 在如图的 直角坐标系中，每个小方格都是边 长为1个单位长度的正方形， 的三个顶点都在格点上 （每个小方格的顶点叫格点），点 的坐标为 . 考试考法 27 （1）请画出关于轴对称的（其中，， 分别是，， 的对应点）； 【解】如图所示， 即为所求. （第7题） 考试考法 28 （2）写出,, 三点的坐标：_________ ____________________. ，， （3）若在轴上有一点，使得 的值最小，请画出点 的位置. 如图所示，点 即为所求. 返回 考试考法 29 8. 已知点关于 轴的对称点在第一象限，则 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 30 9. 剪纸是中国最 古老的民间艺术之一.如图是一张蕴含着 轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点 对称， 点与点 对称，将其放置在直角坐标系 A A. B. C. D. 中，点，，的坐标分别为，，，则点 的 坐标为( ) 返回 考试考法 31 10. 点 的横坐标为一元一次方程 的解，纵坐标为的值，其中， 满足 二元一次方程组 则点关于轴的对称点 的坐标为_________. 返回 考试考法 32 11.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为 .若 是关于直线对称的轴对称图形，则点 的坐标为 __________. 返回 考试考法 33 12.［2025天津南开区期中］在如图所示 的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，， 的顶点都在格 点上，在图中建立平面直角坐标系 ， 使与关于 轴对称，且使 点 的纵坐标为1. 考试考法 34 （1）请在图中画出平面直角坐标系 ； 【解】建立平面直角坐标系 如图. （第12题） 考试考法 35 （2）在图中作出关于 轴的轴对 称图形（点，， 的对称点 分别是，， ），并直接写出点 ，， 的坐标； 如图，即为所求. ， ， . 考试考法 36 （3）若在该坐标系内，存在一点 ，使 得与 全等，直接写出两个 符合条件的点 的坐标. 符合条件的点的坐标为 或 （答案不唯一） 返回 考试考法 37 13.小燕对平面直角坐标系中的格点问题非常感兴趣，进行了 深入探究.在平面直角坐标系中，轴上有一点，过点 画轴的垂线，轴上有一点，过点画轴的垂线 ， 点关于直线的对称点为点，线段交直线于点 . （1）当时，直接写出点， 的坐标; 【解】， . 考试考法 38 用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称的点的坐标特征 在坐标系中作已知图形的对称图形 关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同 关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看！ $