精品解析：湖北省孝感市大悟县2025-2026学年上学期期中学情调研检测九年级数学试卷

2025—2026学年度上学期期中学情调研检测 九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时长120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 一、选择题（将下列各题中唯一正确答案的序号填入答题卡中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分） 1. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值，最小值为 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 某地区2021年人均可支配收入为26000元，2023年人均可支配收入为31000元．设该地区2021年至2023年居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 8. 如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 当时，直线与抛物线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 12. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 14. 如图，将这个风车图案绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的最小角度是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为______． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点B的对应点的坐标为______； （2）求的面积． 19. 对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． （1）若，求x的值； （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 20. 抛物线的图象过点和两点． （1）求抛物线的解析式与顶点坐标； （2）方程的解集是______； （3）若方程无解，则m的范围是______； 21. 如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落人篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． （1）求抛物线的表达式． （2）求点B到所在直线的距离及点B到地面的距离． 22. 某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 23. 已知和都是等腰直角三角形（），． （1）如图①，连，，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转． ①如图②，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 24. 如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ （2）当t为何值时，矩形为正方形？ （3）当t为何值时，矩形的面积为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中学情调研检测 九年级数学试卷 （本卷满分120分，考试时长120分钟） 温馨提示： 1．答题前，考生务必将自己所在学校、姓名、考号填写在答题卡指定的位置． 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 一、选择题（将下列各题中唯一正确答案的序号填入答题卡中相应的题号栏内，不填、填错或填的序号超过一个的不给分，每小题3分，共30分） 1. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 2. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，函数有最小值，最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数， ，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 当时，函数有最大值，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3. 将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，解题的关键是明确抛物线平移的“左加右减，上加下减”的原则．根据抛物线的平移规律，左移3个单位对应x的变换，下移4个单位对应常数的调整． 【详解】解：原抛物线为，顶点在， 根据“左加右减”的平移规律，将替换为，得到新抛物线， 根据“上加下减”的规律，在整体表达式后减4，得到， 故选：A． 4. 某地区2021年人均可支配收入为26000元，2023年人均可支配收入为31000元．设该地区2021年至2023年居民人均可支配收入的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意可得等量关系：2021年的人均可支配收入增长率）年的人均可支配收入，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设该地区2021年至2023年居民人均可支配收入的年平均增长率为x， 由题意得：， 故选：B． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∆=≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ∆==≥0，a≠0 解得：且 故：选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 若，是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键掌握是方程的两根时，，． 【详解】解：是方程的两个根， ，． 故选∶ A． 7. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 如图，将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可求的度数． 【详解】解：∵将三角形绕点O按逆时针方向旋转后得到三角形， ∴，， ∴． 故选：B． 9. 当时，直线与抛物线有两个不同交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用数形结合法解答问题，直线与抛物线有2个不同交点，可以联立方程，根据决定m的值． 【详解】解：联立方程，， 得， 整理，得：， 因为直线与抛物线有两个不同交点， 所以，即， 解得， 当时，抛物线的y值为， 要使得时，直线与抛物线有2个不同交点，由图象性质可知：， 所以a的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查数形结合思想以及对一次函数和二次函数图象的掌握，综合性比较强． 10. 二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数的对称性可得出4a-2b+c＜0；当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是x=，可知当x=时，y有最大值． 【详解】∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴，即b=-a， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①正确； 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0）， ∴4a+2b+c=0， 又可知b=-a， ∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0， 故②正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），且对称轴为直线x= ∴点（2，0）关于对称轴的对称点为（-1，0）， ∴当x=-2时，y＜0， ∴4a-2b+c＜0， 故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=，且， ∴y1＞y2， 故选④正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是x=，a=-b， ∴当x=时，抛物线y取得最大值， 当x=m时，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠， ∴ymax＞ym， 故⑤正确， 综上，结论①②④⑤正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于的一元二次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，， 解得：， 故答案为：． 12. 根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是___________． x 0.4 0.5 0.6 0.7 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 13. 设，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，利用完全平方公式变形，再整体代入求值即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 14. 如图，将这个风车图案绕着它的中心点O进行旋转，若旋转后与自身重合，则旋转的最小角度是______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．据此解答即可． 【详解】解：风车绕着它的中心点旋转，若旋转后的风车与自身重合，旋转的最小角度是， 故答案为：90°． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，该抛物线的顶点为C．点P为该抛物线上一点，其横坐标为m．当时，设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最低点和最高点到x轴的距离分别为d、n，当时，则m的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性与最值，掌握二次函数图象的性质，数形结合思想是解题的关键． 过点B作轴交抛物线于点E，分三种情况讨论：①当点P在点B和点C之间时，②当点P在点C和点E之间时，③当点P在点E上方时，分别根据列式求解即可． 【详解】解：过点B作轴交抛物线于点E， ∵， ∴抛物线对称轴为，顶点坐标为， ∴点E与点B关于对称轴对称，，如图所示： ①当点P在点B和点C之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∵， ∴， 解得：（不合题意）； ②当点P在点C和点E之间时，即时，抛物线在点与点之间的部分最低点为点，最高点为点， ∴，， ∴符合题意， ∴， ③当点P在点E上方时，即时，最低点为点，最高点点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或或， ∵， ∴． 综上所述，m的取值范围为或． 三、解答题（本大题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟知各种解法并灵活应用是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：，． 17. 形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： （1）当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； （2）某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】（1）时，代数式有最小值，最小值为； （2）时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．用配方法把代数式整理成完全平方的形式是解决本题的关键． （1）把配方，配成完全平方式，可得当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； （2）设为x米，则，可得面积，进而整理成完全平方式，可得为多少米时，围成的长方形花园面积最大及最大面积． 【小问1详解】 解：， 时，代数式有最小值，最小值为； 【小问2详解】 解：设，长方形的面积为y，则，． ， 又， ． ，抛物线的开口向下， 时，y随x的增大而减小． 时，y有最大值为． 故时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于原点O成中心对称的，并写出点B的对应点的坐标为______； （2）求的面积． 【答案】（1）即为所求， （2）2 【解析】 【分析】本题考查了作中心对称图形，关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握作关于原点对称图形的方法和步骤． （1）先画出点A、B、C关于原点对称的对应点，再依次连接即可，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可得出点的坐标； （2）用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点B和点关于点O对称， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 19. 对于实数a、b定义运算“※”为，例如：． （1）若，求x的值； （2）若关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数． （1）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． （2）根据新定义得出关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，即可得出m的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴，． 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 20. 抛物线的图象过点和两点． （1）求抛物线的解析式与顶点坐标； （2）方程的解集是______； （3）若方程无解，则m的范围是______； 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入，利用待定系数法求解； （2）先求出函数图象与x轴的另外一个交点，根据函数图象即可求解； （3）求出抛物线的顶点坐标，结合抛物线图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：将点和代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令 解得：，， ∴点，, ∴根据函数图象可知，当时，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值为， ∴当时，方程无解； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式、求二次函数图象的对称轴与顶点坐标、二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 21. 如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落人篮筐内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离米．以O为坐标原点，建立直角坐标系，篮筐的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． （1）求抛物线的表达式． （2）求点B到所在直线的距离及点B到地面的距离． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）点B到所在直线的距离为，点B到地面的距离为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点B到地面的距离为，， ∵， ∴， ∴，即点B到所在直线的距离为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 22. 某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 【答案】（1） （2）当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元 （3）120盒 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每盒的利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）由题意，，求出的取值范围，结合，得到，再根据一次函数的性质，进行求解即可． 读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 由题意：， ∴当时，P取得最大值，最大值为2250， 答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元； 【小问3详解】 由题意得： 当时， ， ∴， 解得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， y最小（盒）， ∴超市每天至少销售元宵120盒． 23. 已知和都是等腰直角三角形（），． （1）如图①，连，，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转． ①如图②，当点恰好在边上时，求证：； ②当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ； （2） ①证明：如下图，连接， ， ， 即， 和是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）①连接，证明，得，结合等腰直角三角形的性质，即可证；②分当点在线段上时，和当点在线段上时，两种情况分类讨论．情况一：当点在线段上时，连接，过点作于，根据，得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出，，再根据计算即可；情况二：当点在线段上时，连接，过点作于，先利用证，得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②情况一：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于， 由（1）得， ， 和都是等腰直角三角形，，，，， ，， ， ， ； 情况二：如下图，当点在线段上时，连接，过点作于， ， ， 即， 和都是等腰直角三角形，，，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． 24. 如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线、于点E、F，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）①t秒后，为______个单位长度； ②求点P运动的速度是多少？ （2）当t为何值时，矩形为正方形？ （3）当t为何值时，矩形的面积为5． 【答案】（1）①t；②点P运动的速度是每秒2个单位长度； （2）t为2或4； （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合，相似三角形的判定及性质，一元二次方程的应用.能根据题意表示相关线段的长度是解决此题的关键． （1）①当秒时，，根据四边形为矩形，点在直线上，即可求解； ②根据直线与坐标轴分别交于点，得出点的坐标，再利用，得出，可知，据此可以求得点P的运动速度． （2）当时，以及当时，矩形为正方形，分别求出即可． （3）根据题意求列出方程即可． 【小问1详解】 解：①当秒时，， ∵四边形为矩形，点在直线上， ∴，即， 故答案为：； ②直线与坐标轴分别交于点， 时，，时，， ∵四边形为矩形， ∴， ， ， ∴， ， ， 动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动， 点运动的速度是每秒2个单位长度； 【小问2详解】 如图1，当时，矩形为正方形， 则，， ， ， 解得：； 如图2，当时，矩形为正方形， ，， ， ， ，解得：； 当或4时，矩形为正方形． 【小问3详解】 如图1，当在点的左边时， ，， ， ， 依题意有 解得，； 如图2，当在点的右边时， ，， ， ， ， ， 当点、其中一点停止运动时，另一点也停止运动， ， 依题意有， 解得（不合题意舍去），； 综上所述，当或或时，矩形的面积为5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $