3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.若椭圆的右焦点坐标是 ，长轴长是4，则椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意，椭圆焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ， 则可得所以该椭圆的标准方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.若椭圆的离心率为 ，上顶点到焦点的距离为4， 则椭圆的短轴长为( ) A.2 B. C.4 D. 解析：选D.由题知则，故 ，所以短轴长为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知是椭圆上的一动点，且 与椭圆长轴两端点 连线的斜率之积为 ，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 解析：选B.椭圆长轴的两端点为, ， 设，则由题设可得 , 即，又 ， 故，故 , 即，故 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.（2025·南通期末）已知椭圆，则“ ”是“椭 圆的离心率为 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 解析：选A.当时，可得 ，此时椭圆的离心率为 ， 由，可得，解得 ； 当时，可得，此时椭圆的离心率为 ， 由，可得 ， 解得，即可推出椭圆的离心率为 ，反之则推不出，所以“ ”是“椭圆的离心率为 ”的充分不必要条件. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 5.（多选）（2025·常州期中）某颗人造地球卫 星的运行轨道是以地球的中心 为一个焦点的椭 圆，如图所示，已知它的近地点 （离地面最近 的点）距地面千米，远地点 （离地面最远的 点）距地面千米，并且，， 三点在同一直 A. B. C. D. 线上，地球半径约为 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为 ，， ，则( ) √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选.由题设，， ,所以 ，， ,故A，B正确，C错误； 而 ，故D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 6.（多选）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，在 轴上，短轴长为2， 焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于， 两点，则下列说法正确 的是( ) A.椭圆的方程为 B.椭圆的离心率为 C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 解析：选.对于椭圆，由已知可得 则,， , 对于A，因为椭圆的焦点在轴上，故椭圆的方程为 ，故A正 确； 对于B，椭圆的离心率为 ，故B正确； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 对于C，设点为椭圆的左焦点，易知点，将 代入椭圆 方程可得 ， 故 ，故C正确； 对于D，，故 ，故D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 7.已知是椭圆上一点，，则 的最小值为____. 解析：设 , 所以 , 由于 ， 故当时，取最小值 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 8.若椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则 的 值为__. 解析：设椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意可得 ，则 ， 因为椭圆方程为，即，且焦点在 轴上，则 ,，可得，解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 9.已知椭圆的左、右焦点分别为,，若 上存 在一点，使线段的中垂线过点，则 的离心率的最小值是 __. 解析：设椭圆的半焦距为 ， 由题意可知 ， 根据存在性,结合椭圆性质可知 ，解得，可得 的 离心率,，所以 的离心率的最小值 是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 10.（13分）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的离心率为，短轴长为 ；（6分） 解：由题得解得 所以椭圆的标准方程为或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （2）与有相同的焦点，且经过点, .（7分） 解：由椭圆得，故该椭圆的焦点坐标为 ， 由题可设椭圆的方程为，故 化简得 ， 即，解得（舍去）或 ，故 . 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.（2025·无锡期中）如图，某同学用两根木条钉成 十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另 一活动木条的 处钻一个小孔，可以容纳笔尖， ，各在一条槽内移动，可以放松移动以保证 与 的长度不变，当，各在一条槽内移动时， 处 A. B. C. D. 笔尖就画出一个椭圆.已知，且在右顶点时，恰好在 点， 则 的离心率为( ) √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 解析：选B.由题意知与 的长度不变， 已知，设,，则 ， 当滑动到位置处时，点在上顶点或下顶点，则短半轴长 ， 又由已知可得，当在右顶点时，恰好在点，则长半轴长 . 所以 , 故椭圆的离心率为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 12.（多选）已知椭圆的焦点为， ，上顶点 为，直线与椭圆的另一个交点为，若 ，则( ) A.椭圆的焦距为2 B. 的周长为8 C.椭圆的离心率为 D.的面积为 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 解析：选.由题意可知， ， ， 故为等边三角形，则， ， 又 ， 所以，， ， 所以焦距 ，A正确； 离心率 ，C错误； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 由椭圆定义可知，的周长为 ，B正确； 设，则，又 ，由余弦定理可得 ，解得 ，所以 ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 13.已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在一点，使得的内切圆的半径为 ，则椭 圆 的离心率的取值范围是_______. ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 解析：令点的纵坐标为，则， 的周长为 ，依题意， ， 解得，因此 ， 即 ， 而，则 ， 解得，即，所以椭圆的离心率的取值范围是， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 14.（15分）（2025·广州期中）设椭圆 的左、右焦 点是,，离心率为，上顶点坐标为 . （1）求椭圆的方程；（5分） 解：由题意知 解得 ， 所以椭圆的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 （2）设为椭圆上一点，且 ，求 的周长和面积.（10分） 解：由（1）知 ， 所以 ， 又因为为椭圆上一点，所以 ，所以 的周长 . 在 中，由余弦定理得 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 即 ,① 由，得 ，② ，整理得 ， 所以的面积 或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 15.（17分）（2025·天津期中）已知椭圆， 点 为椭圆短轴的上端点，点为椭圆上异于点的任一点，若点到 点距离 的最大值仅在 点为椭圆短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”， 已知，椭圆的离心率 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 （1）求椭圆 的标准方程；（4分） 解：由，椭圆的离心率 ， 得，解得 ， 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 （2）试判断椭圆 是否是“圆椭圆”?并证明你的结论；（5分） 解：椭圆 是“圆椭圆”，证明如下： 由（1）知，，设， ， 则 ， 于是 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 而，因此当且仅当 时， ，此时点 ， 即点到点距离的最大值仅在 点为椭圆短轴的另一端点时取到，所以椭 圆 是“圆椭圆”. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 （3）点为点关于原点的对称点，点也异于点，直线， 分别 与轴交于，两点，试问以线段 为直径的圆是否过定点?证明你的结 论.（8分） 解：以线段 为直径的圆过定点，证明如下： 由（2）知，，， ， 则， ， 直线 ， , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 则,，, , 若以线段为直径的圆过定点，由对称性知点在轴上，设 ， 则,，, , 于是 ， 即 ， 解得，所以以线段为直径的圆过定点 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 $