3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 1 很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如神舟十九 号在进入太空后,先以椭圆轨道运行，后经过变轨调整为 圆形轨道.那么在椭圆轨道中，近地点高度、远地点高度 是如何计算的呢?首先,我们要认识椭圆的一些几何性质. 返回导航 新课导入 2 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中，， 的几何意义. 2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 3.会判断直线与椭圆的位置关系. 4.体会设而不求的数学方法，求弦长及中点弦等有关问题. 返回导航 学习目标 3 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 4 PART 01 新知学习 探究 5 一 椭圆的简单几何性质 思考1 根据方程 画出椭圆，你能 确定椭圆的边界吗? 提示：由方程得 , 得，同理可得 ，故椭圆位于 和 围成的矩形内. 返回导航 6 思考2 根据上面所画的图形，椭圆具有怎样的对称性?如何用方程加以说明? 提示：既关于坐标轴轴对称,又关于原点中心对称.若 满足方程,则易知 ,, 也满足方程. 思考3 根据上面所画的图形，椭圆中有哪些特殊点?坐标是什么? 提示：令,则;令，则.故, 为特殊点. 返回导航 7 ［知识梳理］ 焦点的位 置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图形 _________________________________________ ______________________________ 标准方程 范围 ①________________________ ②________________________ 且 且 返回导航 8 焦点的位 置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 顶点 ③________________________ __________________ ④________________________ __________________ 轴长 短轴长为⑤____,长轴长为⑥____ 焦点 ⑦________________ ⑧________________ 焦距 ⑨____ 对称性 对称轴：⑩__________,对称中心：⑪______ 离心率 ⑫_ _ ,, , ,, , , , 轴和轴 原点 续表 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例4）求椭圆 的长轴长、短轴长、焦距、 顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出它的草图. 【解】 将化为标准方程为，所以， ， 则 ，所以椭圆的长轴长为12，短轴长为4， 焦距为，顶点坐标为,,,，焦点坐标为 和，离心率为 ，椭圆的草图如图. 返回导航 10 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式. （2）确定焦点位置.（焦点位置不确定的要分类讨论） （3）求出<m></m>,<m></m>,<m></m>. （4）写出椭圆的几何性质. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（多选）（2025·佛山月考）已知， 是椭圆 的两个焦点，点在上且不在 轴上，则( ) A.椭圆的长轴长为5 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的焦距为4 D.的取值范围为 √ √ 解析：选.由椭圆方程知,, ，所以椭圆的长轴长为 ，焦距，离心率，A，C错误，B正确；椭圆中，点 在 上且不在轴上，所以 ，D正确. 返回导航 12 （2）如图，将椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作 轴的 垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点， 是椭圆的 一个焦点，则 ____. 28 返回导航 13 解析：根据题意，,设另一焦点为 ，则根据椭圆的对称性知， ，同理，其余两对的和也是 ，又 ，所以 . 返回导航 14 二 椭圆的简单几何性质的应用 角度1 由椭圆的简单几何性质求标准方程 ［例2］ 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在 轴上，长轴长为4，焦距为2； 【解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以设椭圆的方程为 ，因为长轴长为4，焦距为2，所以, ， 所以， ， 所以 , 所以椭圆的标准方程为 . 返回导航 15 （2）一个焦点坐标为 ，短轴长为2； 【解】因为焦点坐标为 ，短轴长为2， 所以设椭圆的方程为 ， 所以，，所以 ,所以椭圆的标准方程为 . 返回导航 16 （3）离心率为 ，短轴长为4. 【解】由题意知解得 所以椭圆的标准方程为或 . 返回导航 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其 步骤是： （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种 标准方程）； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数，列 方程（组）时常用的关系式有<m></m>,<m></m>等. 返回导航 18 角度2 求椭圆的离心率 ［例3］ 设椭圆的左、右焦点分别为，， 是上的点，， ，则 的离心率为___. 解析：方法一：由题意可设，结合条件可知 ， ，故离心率 . 方法二：由可知点的横坐标为，将 代入椭圆方程,解得 ，所以.又由 可得 ，故 ，变形可得，等式两边同除以 ，得 ，解得或 （舍去）. 返回导航 19 母题探究1 若将本例中“， ”改为“ ， ”，求 的离心率. 解：在中，因为 ， ，所以 ，设，，， ， 则在中，有 ， 所以 ， 所以 . 返回导航 20 母题探究2 若将本例中“， ”改为“ 为钝角”， 求 的离心率的取值范围. 解：由题意知以为直径的圆与椭圆有四个交点，故 ，所以 .又，所以，即.所以 ， 又，所以，所以的离心率的取值范围为， . 返回导航 21 求椭圆的离心率的方法 （1）直接法：若已知<m></m>，<m></m>可直接利用<m></m>求解.若已知<m></m>，<m></m>或<m></m>，<m></m>，可借 助<m></m>求出<m></m>或<m></m>，再代入公式<m></m>求解. （2）方程法或不等式法：若<m></m>，<m></m>的值不可求，则可根据条件建立<m></m>，<m></m>，<m></m> 的关系式，借助于<m></m>，转化为关于<m></m>，<m></m>的齐次方程或不等式， 再将方程或不等式两边同除以<m></m>的最高次幂，得到关于<m></m>的方程或不等式， 即可求得<m></m>的值或取值范围. 返回导航 22 ［跟踪训练2］ （1）（2025·新乡期中）与椭圆 有相同焦点， 且长轴长为 的椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由椭圆可知，且焦点在 轴上，故所 求椭圆焦点在轴上，，由长轴长为，可知 ，则 ，所以所求椭圆的方程为 . √ 返回导航 23 （2）已知椭圆的左、右焦点分别为， ，若 上存在一点，使得，则椭圆 的离心率的取值范围是 ( ) A., B., C.， D.， 解析：选D.根据椭圆定义可得，又 ，故 ，因此，故 ，得 ，故 . √ 返回导航 24 （3）已知为坐标原点，，，分别是椭圆 的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若 ， 则椭圆 的离心率为___. 解析：如图，点，， ， 因为，所以点, ， 因为，所以 ， 得， ， 所以离心率 . 返回导航 25 PART 02 课堂巩固 自测 26 1.已知椭圆的焦点在 轴上，长轴长是短轴长的两倍， 则 的值为( ) A. B. C.2 D.4 解析：选D.由及椭圆的焦点在轴上，知, ，因为 长轴长是短轴长的两倍，所以，所以，得 . √ 返回导航 27 2.（多选）（2025·太原期中）已知椭圆 ，则下列说法正确的 是( ) A.是椭圆的一个顶点 B.是椭圆 的一个焦点 C.椭圆的离心率 D.椭圆的短轴长为 解析：选.由椭圆，可知椭圆的焦点在轴上，且 , ,，椭圆的四个顶点分别为,, , ，焦点分别为,，椭圆的短轴长为 ，离心率为 ，故A错误，B,C,D均正确. √ √ √ 返回导航 28 3.（教材PT改编）若椭圆比椭圆 更扁，则椭圆 的长轴长的取值范围是___________. 解析：的离心率为，由于椭圆比椭圆 更 扁，故的离心率满足，即 ，解得 ，故长轴长为 . 返回导航 29 4.（教材PT ，T4改编）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点， ； 解：由题意可得椭圆焦点在轴上，且, ， 故椭圆的标准方程为 . （2）焦点在轴上，短轴长为12，离心率为 . 【解】因为焦点在轴上，所以设椭圆方程为 ， 由题意得，,得，而 ， 由①②解得， , 故椭圆的标准方程为 . 返回导航 30 1.已学习：由椭圆的标准方程研究几何性质、由几何性质求椭圆的标准方 程、离心率及取值范围. 2.须贯通：确定椭圆的几何性质：首先化椭圆方程为标准形式，确定焦点 在哪个坐标轴上；求椭圆离心率及范围的方法有直接法、方程法和不等式 法，求解时应用分类讨论的数学思想. 3.应注意：不要忽略椭圆离心率的取值范围及长轴长与 的关系. 返回导航 31 $