3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程（二）-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

课后达标检测 1 1.已知为椭圆上一点，,分别是椭圆 的左、右焦点.若点 的横坐标为，则 的面积为( ) A. B. C. D.4 解析：选C.因为，所以，又因为点的横坐标为 ，代 入的方程得，所以点的纵坐标为 ， 所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.若点为坐标原点，点为曲线上任意一点， ， 则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 解析：选B.设点，,因为，所以, ， 即,，又点为曲线上任意一点，所以 ，即 ，即点的轨迹方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知椭圆，为椭圆上一点，若 ， 为 的内切圆的半径，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选B.由椭圆定义及圆切线性质知 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线 交该椭 圆于，两点，若，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：选C.因为椭圆，所以，因为， 在椭圆上，所以 ，，所以 的周长为 ，因为 ，所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.设圆的圆心为,是圆内一定点， 为圆周上任一 点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 解析：选A. 设.因为点在线段 的垂直平分线上，所以 ，又点在圆的半径 上，所以 ,所以.故点 的轨迹是以，为焦点，的椭圆， ， 所以点的轨迹方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点 是椭圆上 一点，若为直角三角形，则 的面积可能为( ) A.1 B.2 C. D. √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选.椭圆中， ， 所以焦点,，当 或 时，此时 面积相等， 不妨取 ，如图， 将代入椭圆方程，则 ， 所以 ，所以 ； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 当 时，如图， 设, ，由条件可知 解得 ，所以 . 综上，的面积为1或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，是 上 一点，若的周长为6，则 ___. 2 解析：由题可知解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 8.已知，分别为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上一点.若 ，则点 的横坐标为____. 解析：由，得 ， 设,, ， 则, , 则 , 即，则解得 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 9.已知椭圆，，为椭圆的左、右焦点.若点 是椭圆上的 一个动点，点的坐标为，则 的范围为________________ ____. 解析：由椭圆的标准方程可知,，,，又点 在椭 圆上，根据椭圆定义可得 ，所以 ，所以 .易知 ，当且仅当,, 三点共线时等号成立.又 ，所以 ，即 的范围为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 10.（13分）已知圆，圆 .若动圆 与圆外切，且与圆 内切. （1）求圆和圆 的圆心和半径;（5分） 解：圆的圆心为 ，半径为1； 圆的圆心为 ，半径为3. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 （2）求动圆的圆心 的轨迹方程.（8分） 解：设动圆的半径为，因为动圆与圆外切且与圆 内切， 所以，所以，而 ，由 椭圆的定义可知，圆心在以， 为焦点的椭圆上，设椭圆的方程为 ， ， 则，，所以 ， 又易知圆与圆内切，所以点不能在切点处，即椭圆应去掉点 ， 所以圆心的轨迹方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 11.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，是 上的 动点，则( ) A. B. 的最大值为9 C.的面积的最大值为12 D.存在点，使得 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：选.由题意可知，，，所以 ， 对于A， ，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，设的顶点，则 ， ,C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，当点 为 此交点之一时， ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则 周长的最大值是_____. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 解析： 由题意可得，记椭圆右焦点为 ，如图所示， 则 的周长为 . 当且仅当直线 经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 13.（15分）已知，分别是椭圆 的左、右焦 点，为 上一点. （1）若，点的坐标为，求椭圆 的标准方程；（6分） 解：已知，所以.点 在椭圆上，将其代入椭圆方程 ，可得，解得 ，所以 . 所以椭圆的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）当时，的面积为4，求 的值.（9分） 解：方法一：因为 ， 所以的面积，则 . 根据椭圆定义知 . 由勾股定理可得 . 又 ，即 . 又，两式联立解得 . 方法二：令 ，由题意得 ,解得 （负值已舍去）. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 14.（15分）已知点，，动点 满足 ，将动点的轨迹记为 . （1）求轨迹 的方程；（7分） 解：因为，所以轨迹是以, 为焦 点的椭圆. 设的方程为，则，得，又 ，所以 ，所以轨迹的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 （2）若为上一点，且点到轴的距离，求 内切圆的 半径的取值范围.（8分） 解：的周长， 的面 积，所以 内切圆的半径 ,，故内切圆的半径的取值范围为， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 22 15.已知圆， 为圆内一点，将 圆折起使得圆周过点 （如图），然后将纸片展开，得到 一条折痕 ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折 痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 ( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 解析：选A.由题知，,，记点关于折痕 的 对称点为，折痕与相交于点，则点 在圆周上，折 痕为线段的垂直平分线，如图所示，则有 ， 可知 ， 所以点的轨迹是以,为左、右焦点的椭圆，其中， ，所以 ,,，所以点 的轨迹方程，即折痕围成的轮廓的圆锥曲 线的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 $