1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

1.4 空间向量的应用 1 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 2 油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.油纸伞舞蹈表演， 更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂.观众甲、乙两人在不同地方观察到 舞台上方的一个彩灯，甲说彩灯在他的左上方，而乙为何却说彩灯在他的 右上方？当伞柄的方向改变时，伞面的位置是否也在改变？ 返回导航 新课导入 3 1.会用向量语言描述直线和平面. 2.理解直线的方向向量和平面的法向量. 3.会求直线的方向向量和平面的法向量. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 空间中点、直线的向量表示 思考 在空间中，如何确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线；直线上一点及这条直线的方向向量也可以确定 一条直线. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.点的位置向量 在空间中，取一定点作为①______，那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示，向量称为点 的②__________. 基点 位置向量 返回导航 8 2.空间直线的向量表示 如图，是直线的方向向量，在直线上取 ，取定空 间中的任意一点，可以得到点在直线 上的充要条件是存 在实数,使,①将代入①式,得 __________.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 3.空间任意直线由直线上一点及直线的__________唯一确定. 方向向量 返回导航 9 ［例1］ 如图，在四棱锥中，底面 为矩形， 平面，为 的中点， ， ，试建立恰当的空间直角 坐标系，求： 【解】 由题知，，， 两两垂直，如图 所示，以为原点，,,所在直线分别为 轴，轴，轴建立空间直角坐标系 ，则 ，, ， 返回导航 10 （1） 的坐标； 【解】因为为 的中点， 所以的坐标为，， . （2）直线 的一个方向向量. 【解】，，即为直线 的一个方向向量. 返回导航 11 （1）直线的方向向量为非零向量. （2）直线的方向向量有无数个，如果是直线的方向向量，则 必是直线的方向向量.求一条直线的方向向量,可以在该直线上取两点, ,则 即为该直线的一个方向向量. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ 已知直线的一个方向向量，且直线 过点 和，则 ( ) A.0 B.1 C. D.3 √ 返回导航 13 解析：选D.因为直线过点和 ，所以 ，又直线的一个方向向量 ，所以 ，所以存在实数，使得 ，所以 ， 所以解得所以 . 返回导航 二 空间平面的向量表示 思考1 过同一点的两个定方向可以确定一个平面吗？ 提示：不一定，若两个定方向共线，则不能确定平面；若两个定方向不共 线，则确定唯一平面. 思考2 一定点和一个定方向能确定一个平面吗？ 提示：可以，过定点且垂直于定方向的平面是唯一确定的. 返回导航 15 ［知识梳理］ 1.空间中平面的向量表示如图，取定空间任意一点 ，可以得到，空间一点位于平面 内的充要 条件是存在实数,，使 ①________________. 把这个式子称为空间平面 的向量表示式. 返回导航 16 2.平面的法向量如图，直线 ，取直线的 ②__________ ，我们称向 量为平面 的法向量.给定一个点和一个向量，那么过点 ，且以向量 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ③______________. 方向向量 返回导航 17 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）零向量可以作为平面的法向量.( ) × （2）平面 的法向量垂直于与平面 共面的所有向量.( ) √ （3）若点，是平面 上的任意两点，是平面 的法向量，则 .( ) √ （4）如果向量,与平面 共面且，,那么就是平面 的一个 法向量.( ) × 返回导航 18 2.（多选）在直三棱柱中，以下向量可以作为平面 法向 量的是( ) A. B. C. D. 解析：选 . 如图，由直三棱柱的性质知,,均垂直于平面 ，故选项A，D 中,可以作为平面 的法向量. √ √ 返回导航 19 3.已知是平面 的一个法向量，点, 在 平面 内，则 ___. 9 解析：由题得，因为是平面 的一个法向 量，点，在平面 内，所以，所以 ，即 ，解得 . 返回导航 20 （1）平面的法向量所在的直线垂直于该平面内的任何直线. （2）平面的法向量有无数个，且它们相互平行. 返回导航 三 求平面的法向量 ［例2］ （对接教材例1）如图，在长方体 中，,, , .以为原点，,, 所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）写出平面 的一个法向量； 【解】因为轴垂直于平面 , 所以是平面 的一个法向量. 返回导航 22 （2）当时，写出平面 的一个法向量. 【解】因为,,, ， 所以，， . 因此, . 设是平面 的法向量, 则, . 返回导航 23 所以 所以取,则, . 于是是平面 的一个法向量. 返回导航 母题探究 若平面的一个法向量为，求 ,的值及点 的坐标. 解：因为， , 所以 ， 所以 ， ， . 返回导航 25 又因为平面的法向量 ， 所以即 解得所以 ， 即 ， 故， , 此时点的坐标为 . 返回导航 26 待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为<m></m>; （2）选向量：在平面内选取两个不共线的向量<m></m>,<m></m>; （3）列方程组：由<m></m>，<m></m>，列出方程组<m></m> （4）解方程组：<m></m> （5）赋非零值：取其中一个为非零值（常取<m></m>）； （6）得结论：得到平面的一个法向量. 返回导航 27 ［跟踪训练2］ 如图所示，在四棱锥 中，底面是直角梯形， ， 底面，且， ，建立适 当的空间直角坐标系，求： 返回导航 28 解：因为 底面，底面是直角梯形且 ，所以 ， ，两两垂直.以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，0，，， . 则，1，，，0， . 返回导航 29 （1）平面 的一个法向量； 【解】易知向量，0，是平面 的一个法向量. （2）平面 的一个法向量. 【解】设为平面 的法向量， 则即 取，则，.所以平面的一个法向量为 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.若，在直线上，则直线 的一个方向向量为( ) A. B. C. D. 解析：选C.依题意，直线 的一个方向向量为 2.已知向量，平面 的一个法向量，若 ， 则( ) A., B., C. D. 解析：选C.由题意可知 ，故 . √ √ 返回导航 32 3.若向量,都是直线的方向向量，则 ____. 解析：因为，都是直线的方向向量，所以 .因此 ，解得,，所以 . 返回导航 33 4.（教材PT改编）如图所示，在三棱锥 中建立空间直角坐标系，， , ,，其中，求平面 的一 个法向量. 解：依题意，， ， ，设平面的法向量为 ， 则 令，则，，因此，所以平面 的一个 法向量为 . 返回导航 34 1.已学习：（1）空间中点、直线、平面的向量表示； （2）直线的方向向量与平面的法向量. 2.须贯通：（1）利用待定系数法求平面的法向量； （2）利用空间向量表示点、直线、平面，体现了数形结合的思想方法. 3.应注意：理解直线的方向向量和平面的法向量的不唯一性. 返回导航 35 $