1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 （第1课时） 题型一：求直线方向向量 1．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．在四棱锥中，是平行四边形，点在上，且，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 题型二：已知点坐标求平面法向量 1．若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 4．若两个向量,则平面的一个法向量为 A． B． C． D． 题型一：利用直线的方向向量求参 1．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则 . 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知，若直线的一个方向向量为，则 . 4．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 题型二：利用平面法向量求参 1．已知，若平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 题型三：建系求平面法向量 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 1．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为 . 2．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 3．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 （第1课时） 题型一：求直线方向向量 1．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 2．在四棱锥中，是平行四边形，点在上，且，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【答案】 【分析】直接利用向量线性运算，把用基底表示． 【详解】如图所示， ． 故直线的一个方向向量是． 题型二：已知点坐标求平面法向量 1．若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面法向量的性质判断即可. 【详解】因为，所以，所以也为平面的法向量， 其它选项中的向量都不合题意， 故选：D． 2．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则 ， 令，，得. 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 4．若两个向量,则平面的一个法向量为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解. 【详解】设平面ABC的法向量为， 则，即，令，则， 即平面ABC的一个法向量为，故选A. 题型一：利用直线的方向向量求参 1．已知直线的一个方向向量，且直线过点和，则 . 【答案】4 【分析】由和共线，即可求解. 【详解】由题得，设，则，解得. 故答案为：4 2．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量为共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 3．已知，若直线的一个方向向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由直线方向向量的定义，设,2,，即,,,2,,,，由此分析可得答案． 【详解】根据题意，,,，若直线的一个方向向量为,2,， 则设,2,，即,,,2,,,， 则，解得. 故答案为：． 4．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 【答案】A 【分析】由题意可得，由空间向量坐标关系得向量共线，列方程求解即可. 【详解】由题意可得，所以 则，所以，解得. 故选：A. 题型二：利用平面法向量求参 1．已知，若平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用法向量和平面内直线的方向向量之间的关系求解即可. 【详解】由得： ， 面的一个法向量为， 所以， 即， 解得， 所以， 故选：C． 2．（多选）已知平面内两向量，且，若为平面的一个法向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积运算的坐标形式以及法向量的性质计算求解. 【详解】， 由为平面的一个法向量，得 得 解得，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 3．已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【详解】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 4．在空间直角坐标系内，平面经过三点、、，向量是平面的一个法向量，则 ． 【答案】7 【分析】根据题意可得，求出，从而可求出结果. 【详解】因为、、， 所以， 因为向量是平面的一个法向量， 所以，解得， 所以. 故答案为：7 题型三：建系求平面法向量 1．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可. 【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 1．在空间直角坐标系中，点，，，若点在平面内，则，，，应满足的关系为 . 【答案】 【分析】求出平面的法向量，根据点在平面内，即可求解. 【详解】点，，， 所以：，， 设平面的法向量为， 则：,令得： 在平面内,所以 即： 故答案为： 2．已知在空间直角坐标系中，，，，点在平面内，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出平面的法向量，借助空间向量数量积求出的关系，再利用“1”的妙用求解作答. 【详解】依题意，，设平面的法向量为， 则，令，得，依题意，，则， 则，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 3．如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量： (1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， （1）由于平面，所以为平面的一个法向量， （2）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量， （3）设平面的法向量为，则，从而可求出法向量 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 所以平面的一个法向量为， （2）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， （3）设平面的法向量为， 因为， 所以，令，则 所以平面的一个法向量为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$