1.2 空间向量基本定理-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的基底、共线、数量积及在几何体中的应用，从基础概念辨析（如基底的充要条件）逐步过渡到综合应用（如正方体、三棱柱中的向量运算），构建从概念到实践的学习支架。 其亮点在于通过多样化题目与分层解析，结合数学思维（推理能力）和空间观念，如向量共线定理的方程组应用、正方体中数量积计算等实例，培养学生逻辑推理与符号表达能力。学生能系统掌握知识，教师可利用分层素材提升教学效率。

课后达标检测 1 1.若,,是三个非零向量；,,}为空间的一个基底，则是 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B.空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若,, 是三 个共面的非零向量，则{,, }不能作为空间的一个基底，不满足充分性； 若{,,}为空间的一个基底，则,,不共面，即,, 是三个非零向量， 满足必要性，所以是 的必要不充分条件. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.已知{，，}是空间的一个基底，若 ， ,若，则 ( ) A.2 B.3 C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 解析：选 ， ， 因为，所以存在实数 ，使 ， 所以 ， 所以所以 解得所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3.如图所示的三棱锥中，令 ， ，，且，分别是， 的中点， 则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为，，，所以 ， ，所以 ， 所以 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4.在正方体中，是上底面的中心，则 与 的位置关系是( ) A.重合 B.垂直 C.平行 D.异面 解析：选B.设，，，则{，， }构成空间的一个 基底，， ，设正方体的棱 长为1，则，故，即与垂直.因为与 都在平面 上，所以与 共面. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 5.在如图所示的斜三棱柱中， ， ，若，则异面直线与 所 成的角为( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 解析：选C.因为 ， 所以 ， 所以，因为 ， 所以 . 又因为，所以异面直线与所成的角即为且为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 6.（多选）若{,,}是空间的一个基底，则下列向量中可以和 ， 构成空间的一个基底的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A， ， 所以，， 共面，不能构成基底，A不符合题意； 对于B，，所以， ， 共面，不能构成基底，B不符合题意； √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 对于C，设，则 无实数 解，所以，， 不共面，可以构成基底，C符合 题意； 对于D，设，则 无实 数解，所以，， 不共面，可以构成基底，D符 合题意. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 7.已知{，，}是空间的一个单位正交基底，向量 ， ，，}是空间的另一个基底，用基底{，， }表示 向量 __________________________. 解析：设 ， 依题意，，而{，， }是空 间的基底， 则解得 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几 何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面 为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 中，，分别是， 的中 1 点，是的中点，若，则 ___. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 解析： ， 所以解得所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形， 底面 ， 底面，且，是正方形 的中心，若 ，则 ___. 2 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 解析：因为底面是边长为1的正方形， 底面，， 底面 ， 所以，，，设，以， ， }为基底, 因为 ， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 ， 解得，故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.（13分）如图，在直三棱柱中， ， ，，，分别为， 的中点. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 （1）若，求 的值；（6分） 解：连接 （图略），由向量的线性运算法则可得 ， 又因为 ， 则，， ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 （2）求 .（7分） 解：由题意可知,， ， 又因为 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 11.如图，在三棱锥中，点为 的重心， 点是线段上靠近点的三等分点，过点 的平面 分别交棱，，于点，， ，若 ，， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 解析：选C.由题得 ， 而 ， 所以 ， 又，，，四点共面，则 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 12.（多选）如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，为 的重心， ，若 ， ，则( ) A. B. C. D. √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 解析：选.对于A，为等边三角形，为 的重心， 故 ， 又 ， 故 ，A正确； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 对于B， ， 故 ，故 ，B正确； 对于C， ， 又 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 设，即 无解，故与 不平行，C错误； 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 对于D， ， 故 ，D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 13.（13分）如图，三棱柱中，， 分 别是，上的点，且, .设 ,, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 （1）试用,,表示向量 ;（5分） 解： . 又,, , 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若 , ,,求 的长.（8分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 29 解：因为 , 所以 . 因为 ,所以 . 因为 , 所以 , 所以 , 所以,即的长为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.（15分）如图，在矩形和 中， ，， ， ，，，记 ， ， . （1）将用，， 表示出来；（5分） 解：由题图知, . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 31 （2）当 等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与 夹角 的余弦值.（10分） 解：由题意，， ， ， 由（1）得 ， 所以当时， 有最小值， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 即有最小值，线段 的长度取得最小值. 此时， ， ， 故 ， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 则 ， 设与的夹角为 ， 则， . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 $