5.1.2 第2课时 导数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“瞬时变化率——导数”，系统讲解导数的概念、导函数及几何意义。新课导入引用《庄子》“一尺之捶”与刘徽割圆术的古代极限思想，从数学文化视角衔接瞬时变化率，搭建从极限到导数的认知支架，帮助学生建立知识脉络。 其特色在于融合数学文化与逻辑推理，通过古代数学思想导入培养“数学眼光”，结合定义推导（如例1用导数定义求极限）和图像分析（例3比较切线斜率）发展“数学思维”。例题与跟踪训练步骤详尽，覆盖概念理解与应用，课堂小结梳理方法要点，助力学生掌握导数求法与几何意义，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

第5章 导数及其应用 5.1 导数的概念 1 5.1.2 瞬时变化率——导数 第2课时 导 数 2 庄周所著的《庄子·杂篇·天下》中，记有“一尺之捶，日取其半，万世 不竭”；刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至 于不可割，则与圆合体而无所失矣”.这些都是很典型的极限概念.那么这种 极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数. 返回导航 新课导入 3 1.理解导数及导函数的概念. 2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 导数的概念 思考 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 提示 瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义 是函数在该点的导数. 返回导航 7 ［知识梳理］ 设函数在区间上有定义，，若 无限趋近于 0时，比值①_____________无限趋近于一个②______，则称 在 处③______，并称该④______为函数在 处的⑤______， 记作 ． 常数 可导 常数 导数 返回导航 8 ［例1］ （1）已知函数在 处的导数为12，则 ( ) A. B.4 C. D.36 解析：根据题意可知， ， 则 . √ 返回导航 9 （2）已知函数，则 __. 解析： . 返回导航 10 由导数的定义求函数<m></m>在<m></m>处的导数的步骤 （1）求函数的增量<m></m>; （2）求平均变化率<m></m>; （3）由<m></m>，得导数<m></m>. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）已知且,则 的值为( ) A. B.2 C. D. 解析：选D.因为 ,所以 , 所以,即,解得 .故选D. √ 返回导航 12 （2）函数在 处的导数为___. 4 解析：因为 . 所以函数在 处的导数为4. 返回导航 13 二 导函数 思考 导函数和函数在一点处的导数有何区别和联系？ 提示 （1）是具体的值，是数值；是函数在某区间 上每 一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数． （2）是导函数在 时的函数值. 返回导航 14 ［知识梳理］ 若对于区间内任一点都可导，则 在各点处的导数也随 着自变量的变化而变化，因而也是自变量的函数，该函数称为 的导 函数，记作______. 返回导航 15 ［例2］ 求函数 的导函数. 【解】 令, ， 则 . 即函数的导函数为 . 返回导航 16 求导函数的一般步骤 （1）<m></m>; （2）<m></m>; （3）求<m></m>. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ 已知函数,求 . 解：因为 , 所以 . 所以 . 返回导航 18 三 导数的几何意义 ［知识梳理］ 导数的几何意义就是曲线 在点①____________处切线 的②______. 斜率 返回导航 19 ［例3］ （1）已知的图象如图所示，则与 的大小关 系是( ) A. B. C. D.不能确定 解析：由导数的几何意义知，，分别是曲线在点 ， 处切线的斜率，由图象可知 . √ 返回导航 20 （2）曲线在点 处的切线方程为________________. 解析： . 则曲线在点处的切线方程的斜率为 ，得切线方程为 ，即 . 返回导航 21 （1）求过曲线上已知点的切线方程的思路： 求出函数在该点处的导数（切线斜率），根据点斜式写出切线方程并化简； （2）若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐 标，根据点斜式写出切线方程. 返回导航 22 ［跟踪训练3］ 曲线在点 处的切线方程为_______________. 解析：曲线在点处切线的斜率 , 由直线的点斜式方程可得切线方程为 ，即 . 返回导航 23 PART 02 课堂巩固 自测 24 1.若，则的导函数 为( ) A. B. C. D. 解析：选C．由导数的定义可知， . √ 返回导航 25 2.（多选）已知函数 ，下列说法正确的是( ) A. 叫作函数值的增量 B.叫作函数在 上的平均变化率 C.在处的导数记为 D.在处的导数记为 解析：选中， 叫作函数值的改变量，即函 数值的增量，A正确；B中，称为函数在 到 之间的平均变化率，B正确；由导数的定义知函数在 处 的导数记为，故C错误，D正确.故选 . √ √ √ 返回导航 26 3.曲线在点 处的切线方程为______________. 解析： ， 所以，即 . 所以所求切线方程为 ． 返回导航 27 4.已知函数，其中，，为常数，求该函数在 和 处的导数. 解：由题知 ， 则 ， 当时，瞬时变化率为，即函数的导数为 ， 当时，瞬时变化率为，即函数的导数为 ， 所以 ， . 返回导航 28 1.已学习：（1）导数的概念及几何意义． （2）求函数在某点处的导数． （3）导函数的概念. 2.须贯通：（1）导数的求法. （2）求切线方程的方法. （3）切线的斜率与导数的关系. 3.应注意：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系. 返回导航 29 $