5.3.1 第1课时 函数的单调性-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦导数与函数单调性的关系，通过股票曲线走势实例导入，衔接导数概念与函数性质，构建“实例感知—概念辨析—应用实践”的学习支架，帮助学生理解导数正负与函数增减的关联。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，用数学思维严谨推导单调性判断方法，如例1通过导函数图象分析原函数增减，跟踪训练强化理解。课堂小结系统梳理步骤，提升学生逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

第5章 导数及其应用 1 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 单调性 2 研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势（走高或走低）， 以及股票价格的变化范围（封顶或保底）.从股票走势曲线图来看，股票有 升有降.我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性， 能否用导数研究函数的单调性呢？ 返回导航 新课导入 3 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数及含参函数的单调性. 3.会求函数的单调区间. 4.会利用函数的单调性求不等式. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 函数图象与导函数图象的关系 ［知识梳理］ 根据以直代曲思想,函数在某一点附近的图象可近似看作直线 ,我们可 以用直线 的斜率来刻画函数图象经过该点时上升或下降的变化趋势. 返回导航 7 ［例1］ （1）已知的导函数 的图象如图所示，那么 的图象最有可能是( ) A. B. C. D. 解析：由题意可知，当和时，导函数，函数 单调 递减；当时，导函数，函数单调递增，故函数 的图象如图D． √ 返回导航 8 （2）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 的图 象可能是( ) A. B. C. D. 解析：由函数的图象，知当时， 是单调递减的， 所以 ； 当时，先单调递减，后单调递增，最后单调递减，所以 先 负后正，最后为负． 故选B． √ 返回导航 9 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断，即符号为正，图象 上升；符号为负，图象下降.看导函数图象时，主要是看图象在 轴上方还 是下方，即关心导数值的正负，而不是其单调性.解决问题时，一定要分清 是函数图象还是导函数图象. 返回导航 10 ［跟踪训练1］ 已知是的导函数，若 的图象如图所示，则 的图象可能是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题图可知，当时，，即函数 单调递增； 当时，，即函数单调递减；当 时， ，即函数 单调递增．结合选项易知C正确． √ 返回导航 11 二 利用导数判断或证明函数的单调性的思路 思考 “在某区间内”是否是“函数 在此区间上单调 递增（减）”的充要条件？ 提示 “在某区间内”是“函数 在此区间上单调递增 （减）”的充分条件，而不是必要条件.如果出现个别点使 ，不会 影响函数 在包含该点的某个区间上的单调性. 返回导航 12 ［知识梳理］ 对于函数 ，如果在某区间上： 的正负 的单调性 函数 在该区间上单调递增 函数 在该区间上单调递减 返回导航 13 ［例2］ （1）判断函数在区间 上的单调性. 【解】由于 ， 所以 . 由于，所以， . 故 . 所以函数在区间 上单调递增. 返回导航 14 （2）求证：函数在 上单调递减． 证明：由于 ， 并且当时，， ， 因此 ， 所以 ， 故函数在 上单调递减． 返回导航 15 利用导数判断或证明函数的单调性的思路 返回导航 16 ［跟踪训练2］ （1）证明函数在 上是增函数. 证明：由题意知， ,所以 在 上是增函数. （2）判断函数在 上的单调性． 解： ， 因为当时， ， 所以，当且仅当 时等号成立， 所以在 上单调递增． 返回导航 17 三 求函数的单调区间 ［例3］ （对接教材例1）确定下列函数的单调区间： （1） ； 【解】设，，因为时， 恒成立， 则当，即时，，此时函数 单调递增， 当，即时，，此时函数 单调递减， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 . 返回导航 18 （2） ； 【解】设 ， ， 令，解得或 ， 则当或时，，此时在, 上单调递增； 当时，，此时在 上单调递减； 则的单调递增区间为,，单调递减区间为 . 返回导航 19 （3） . 【解】函数的定义域为, , 令，得，所以函数在 上单调递增； 令，得，所以函数在 上单调递减，则 函数的单调递减区间是，单调递增区间是 ． 返回导航 20 求可导函数<m></m>的单调区间的一般步骤 （1）确定函数<m></m>的定义域； （2）求导函数<m></m>; （3）解不等式<m></m>（或<m></m>），并写出解集； （4）根据（3）的结果确定函数<m></m>的单调区间. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ （1）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. 解析：选C．由题意，函数的定义域为 ，且 ， 因为，可得 ， 令 ， 即，解得 ， 所以函数的单调递减区间为 . √ 返回导航 22 （2）函数 的单调递增区间为______. 解析：易知函数的定义域为 . ， 令，则 ， 所以的单调递增区间为 ． 返回导航 23 PART 02 课堂巩固 自测 24 1.若函数的图象如图所示，则 的图象可能是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题中的图象可知，在区间上， ， 单调递增，在区间上，， 单调递减，可排除A， D； 在处，，即在处， 的切线的斜率为0，可排 除B． √ 返回导航 25 2.（多选）已知定义在上的函数，其导函数 的大致图象如图所 示，则下列叙述正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.由题意得，当时，，所以函数 在 上单调递增，因为，所以 ，C选项正确; 当时，，所以函数在 上单调递减， 因为，所以，D选项正确.故选 . √ √ 返回导航 26 3.函数在 上的单调递减区间是______. 解析：令 ， 即 ， 又,得 ， 即函数在上的单调递减区间是 . 返回导航 27 4.判断下列函数的单调性. （1） ； 解：的定义域为， ， 令,得,在， 上单调递减； 令,得,在， 上单调递增. 返回导航 28 （2） . 【解】的定义域为 ， ， 令，得且，所以在区间和 上单调递 减； 令，得，所以在区间 上单调递增. 返回导航 29 1.已学习：导数与函数的单调性的关系. 2.须贯通：（1）证明单调性的方法. （2）利用导数求函数 的单调区间的一般步骤. 3.应注意：讨论函数单调性时不要忽略定义域. 返回导航 30 $