5.3.1导数与单调性(三)学案-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

导数与单调性(三) [例1](1)已知a=ln 2+,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为 (　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} (3)设f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)<sin x的解集为________.  [例2](1)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 　 (2)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________.  [例3](1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子成立的是 (　　) A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) C.f(a)< D.f(a)> 　(2)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为__________.  练习：已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则 (　　) A.f(2)>e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0) B.f(2)<e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0) C.f(2)>e2f(0),f(2 022)<e2 022f(0) D.f(2)<e2f(0),f(2 022)<e2 022f(0) 方法小结： 1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较. 2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式. 3.常构造的辅助函数:g(x)=xf(x),g(x)=,g(x)=exf(x),g(x)=, g(x)=ln x·f(x),g(x)=等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数与单调性(三) 构造函数比较大小或解不等式 [典例1](1)已知a=ln 2+,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 【解析】选B.令f(x)=,则f'(x)=, 令f'(x)>0,解得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递增, 令f'(x)<0,解得x>1, 所以f(x)在(1,+∞)上单调递减. a=ln 2+===f(4),b===f(e),c==f(π), 因为1<e<π<4,所以f(e)>f(π)>f(4),即b>c>a. 　(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为 (　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} 【解析】选B.令g(x)=f(x)-2x3-2x, 则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0, 所以g(x)在R上单调递增. 因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0, 故原不等式等价于g(x)>g(2), 所以x>2,所以不等式的解集为{x|x>2}. 构造y=f(x)±g(x)型可导函数 [典例2]设f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)<sin x的解集为________.  【解析】令φ(x)=f(x)-sin x, 当x≥0时,φ'(x)=f'(x)-cos x<0,所以φ(x)在[0,+∞)上单调递减, 又f(x)为R上的奇函数,所以φ(x)为R上的奇函数, 所以φ(x)在(-∞,0]上单调递减,故φ(x)在R上单调递减且φ(0)=0, 不等式f(x)<sin x可化为f(x)-sin x<0,即φ(x)<0,即φ(x)<φ(0),故x>0, 所以原不等式的解集为(0,+∞). 答案:(0,+∞) 利用f(x)与x构造可导型函数 [典例2](1)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 (　　) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 【解析】选B.令g(x)=x2f(x),x∈R, 当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x) =x[xf'(x)+2f(x)]>0, 即g(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为f(x)为R上的奇函数, 即f(-x)=-f(x), 于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x), 则g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增, 又f(-3)=0, 则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0, 当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(3),得x>3, 当x<0时,f(x)>0⇔g(x)>0=g(-3), 得-3<x<0, 综上,得-3<x<0或x>3,所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(-3,0)∪(3,+∞). 　(2)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________.  【解析】构造F(x)=, 则F'(x)=, 当x<0时,xf'(x)-f(x)>0,可以推出 当x<0时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增. 因为f(x)为偶函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增. 根据f(1)=0可得F(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 利用f(x)与ex构造可导型函数 [典例3](1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子成立的是 (　　) A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0) C.f(a)< D.f(a)> 【解析】选B.令g(x)=, 所以g'(x)==>0.所以g(x)在R上单调递增.又a>0,所以g(a)>g(0),即>,即f(a)>eaf(0). 　(2)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为__________.  【解析】构造F(x)=f(x)·e2x,所以F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0, 所以F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1, 不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),所以x>0, 所以原不等式的解集为(0,+∞). 答案:(0,+∞) 练习.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则 (　　) A.f(2)>e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0) B.f(2)<e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0) C.f(2)>e2f(0),f(2 022)<e2 022f(0) D.f(2)<e2f(0),f(2 022)<e2 022f(0) 【解析】选D.构造F(x)=,则F'(x)==,导函数f'(x)满足f'(x)<f(x), 则F'(x)<0,F(x)在R上单调递减,根据单调性可知选D. 　1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较. 2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式. 3.常构造的辅助函数:g(x)=xf(x),g(x)=,g(x)=exf(x),g(x)=,g(x)=ln x·f(x),g(x)=等. 学科网（北京）股份有限公司 $$