第5章 5.3.1 第3课时 函数单调性的应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数单调性的应用核心知识点，基于导数与单调性的关系（如f'(x)≥0是增函数的必要条件，有限个导数为0点不影响单调性），构建从参数范围求解（通过恒成立问题转化）、函数值比较（构造函数利用单调性）到导函数与原函数图象关联（导数绝对值与图象陡峭程度）的递进学习支架，衔接导数判断单调性的基础，延伸至实际应用。 资料以问题驱动（如“f'(x)≥0是否为增函数充要条件”）引导学生用数学眼光发现问题，通过例题与延伸探究（如例1及延伸求不同区间参数范围）培养数学思维中的推理能力，结合数形结合（如导函数图象与原函数增减快慢关系）强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练和课时对点练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第3课时　函数单调性的应用 学习目标　1.已知函数的单调性，会求参数的取值范围.2.能根据函数的单调性比较几个函数值的大小.3.会通过分析原函数的图象获得导函数图象的信息. 一、由单调性求参数的取值范围 问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f'(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f'(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？ 提示　在x＝0的左右两侧，都有f'(x)>0，且该函数在x＝0处连续，故不会影响该函数在R上是增函数.也就是说对于导函数有限个等于0的点，不影响函数的单调性. 问题2　对于函数y＝f(x)，f'(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？ 提示　不是，因为这里的“≥”有两层含义，大于或等于，对于这个复合命题而言，只要大于或等于这两个条件有一个成立，它就是真命题，如果f'(x)≥0成立的条件是f'(x)＝0，即该函数无增区间. 知识梳理 对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f'(x)>0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某区间上f'(x)<0，那么f(x)在该区间上单调递减. 若函数f(x)在某区间上单调递增，则f'(x)≥0；若函数f(x)在某区间上单调递减，则f'(x)≤0. 注意点： (1)一般采用分离参数的方法解决恒成立的问题. (2)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max；m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min(需要对等号进行单独验证). 例1　(1)已知函数f(x)＝x3－ax，若函数f(x)是增函数，求实数a的取值范围. 解　f'(x)＝x2－a，因为f(x)是增函数，故f'(x)＝x2－a≥0在R上恒成立，即a≤x2，所以a≤0.经验证，a＝0时成立，故a≤0. (2)设函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(0，3] B.(0，2] C.[3，＋∞) D.[2，＋∞) 答案　A 解析　函数f(x)＝4ln x－x2＋3x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝－x＋3＝， 令f'(x)>0，解得0<x<4， ∴函数f(x)的增区间为(0，4]， ∵函数f(x)＝4ln x－x2＋3x在区间[a，a＋1]上单调递增， ∴[a，a＋1]⊆(0，4]，即解得0<a≤3，即实数a的取值范围为(0，3]. 延伸探究1　本例(1)函数不变，若函数f(x)在区间上单调递增，求实数a的最大值. 解　由题意知f'(x)＝x2－a在区间上有f'(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，即a≤1，经验证a＝1时成立，故amax＝1. 延伸探究2　本例(1)函数不变，若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 解　由题意知f'(x)＝x2－a在区间(2，＋∞)上有f'(x)＝x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立， 即a≤4，经验证a＝4时成立，故 a≤4. 反思感悟　(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围的方法： ①转化为不等式的恒成立问题(常用)： f(x)在区间M上单调递增⇒f'(x)≥0在M上恒成立； f(x)在区间M上单调递减⇒f'(x)≤0在M上恒成立， 应注意检验参数取“＝”时是否满足题意. ②若已知函数在某含参区间上的单调性时，一般先求出函数的对应单调区间，继而令含参区间是求出的单调区间的子集，列出不等式，进行求解. (2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). 跟踪训练1　(1)函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，则m的取值范围是(　　) A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(1，＋∞) D.[1，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝x3＋x2＋mx＋2是R上的单调函数，即y'＝x2＋2x＋m≥0或y'＝x2＋2x＋m≤0(舍)在R上恒成立， ∴Δ＝4－4m≤0，解得m≥1. (2)若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A.(－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞) B.(－3，－1)∪(1，3) C.(－2，2) D.不存在这样的实数k 答案　B 解析　由题意得，f'(x)＝3x2－12＝0在区间(k－1，k＋1)上至少有一个实数根. 又f'(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f'(x)在x＝2或－2两侧导数异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2， 故只有2或－2在区间(k－1，k＋1)内，f(x)才能在区间(k－1，k＋1)上不单调， ∴k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1， ∴1<k<3或－3<k<－1. 二、比较大小 例2　(1)已知实数x，y满足2x＋2x<2y＋2y，则(　　) A.x>y B.x＝y C.x<y D.x，y的大小不确定 答案　C 解析　设f(t)＝2t＋2t， 所以f'(t)＝2＋2tln 2>0， 所以函数f(t)是增函数， 由题意得f(x)<f(y)， 所以x<y. (2)已知函数f(x)＝ln x－，则(　　) A.f(e)>f(π) B.f(e)<f(π) C.f(e)＝f(π) D.无法确定 答案　B 解析　f'(x)＝>0， 故f(x)是增函数， 又e<π，故f(e)<f(π). 反思感悟　比较大小的解题类型 (1)通过观察不等式的特点，构造合适的函数，利用导数研究该函数的单调性，比较大小. (2)通过判断导函数的图象，根据导函数的符号，确定原函数的单调性，比较大小. 跟踪训练2　已知x，y为正实数，ln x＋ln y＝－x，则(　　) A.x>y B.x<y C.x＋y>1 D.x＋y<1 答案　C 解析　因为ln x＋ln y＝－x， 所以ln x＋x＝－ln y＋＝ln， 构造函数f(t)＝ln t＋t(t>0)，则f'(t)＝＋1>0， 可知f(t)＝ln t＋t在(0，＋∞)上单调递增， 结合f(x)＝f ，得 x＝，即xy＝1， 由基本不等式可知x＋y≥2＝2， 当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y>1. 三、函数图象的增长快慢的比较 问题3　观察下图，试分析函数增长或减少的速度与导数的大小关系？ 提示　由图象可知若f'(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f'(x)越大，函数f(x)增长的就越快；同样，若f'(x)<0，则f(x)是减函数，显然越大，函数f(x)减少的就越快. 知识梳理 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注意点： 分析图象的变化与导数值的绝对值的大小关系. 例3　如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由导函数的图象，可知两个函数在x0处切线斜率相同，可以排除A，B，C. 反思感悟　如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 答案　A 解析　∵函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，∴对任意的a<x1<x2<b，有f'(a)<f'(x1)<f'(x2)<f'(b)，即在a，x1，x2，b处它们的斜率是依次增大的.∴A满足上述条件； 对于B，存在x1<x2使f'(x1)>f'(x2)；对于C，对任意的a<x1<x2<b，都有f'(x1)＝f'(x2)；对于D，对任意的x∈[a，b]，f'(x)不满足逐渐递增的条件，故选A. 1.知识清单： (1)根据函数的单调性求参数的取值范围. (2)根据单调性比较大小. (3)导数对函数图象增长快慢的影响. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论. 1.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是(　　) 答案　B 解析　由y＝f'(x)的图象知，y＝f(x)为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B. 2.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是(　　) A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)<f(c)<f(d) C.f(b)<f(0)<f(c) D.f(c)<f(d)<f(e) 答案　D 解析　由f(x)的导函数图象可知，f(x)在(a，b)，(c，e)上单调递增，在(b，c)上单调递减，所以f(a)<f(b)，A错误；f(b)>f(0)>f(c)，B，C错误；f(c)<f(d)<f(e)，D正确. 3.若函数f(x)＝x3－2ax2－(a－2)x＋5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(　　) A.－1≤a≤2 B.－2≤a≤1 C.a>2或a<－1 D.a>1或a<－2 答案　D 解析　若函数f(x)有3个单调区间， 则f'(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点， 故Δ＝16a2＋16(a－2)>0， 解得a>1或a<－2. 4.若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上单调递减，则b的取值范围是　　　　.  答案　(－∞，－1] 解析　∵f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， ∴f'(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立. ∵f'(x)＝－x＋， ∴－x＋≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立. 设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1， 则当x>－1时，g(x)>－1， ∴b≤－1. 经验证b＝－1时成立，故b≤－1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.设函数f(x)＝2x＋sin x，则(　　) A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2) C.f(1)＝f(2) D.以上都不正确 答案　B 解析　f'(x)＝2＋cos x>0，故f(x)是增函数，故f(1)<f(2). 2.已知函数f(x)＝x－－2ln x是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A.k>0 B.k>1 C.k≥0 D.k≥1 答案　D 解析　因为函数f(x)＝x－－2ln x是增函数， 所以f'(x)＝1＋≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 所以k≥－x2＋2x，因为－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，所以k≥1. 3.已知函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋1在区间(m，m2－2m)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　) A.(－3，0) B.[－1，0) C.(3，5) D.(5，7) 答案　B 解析　∵f(x)＝2x3－6x2－18x＋1， ∴f'(x)＝6x2－12x－18＝6(x－3)(x＋1)， 令f'(x)<0，得－1<x<3，即函数f(x)的减区间为(－1，3). ∵f(x)在区间(m，m2－2m)上单调递减， ∴ 解得－1≤m<0， ∴实数m的取值范围是[－1，0). 4.已知函数f(x)，g(x)对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，有f'(x)>0，g'(x)>0，则当x<0时，有(　　) A.f'(x)>0，g'(x)>0 B.f'(x)>0，g'(x)<0 C.f'(x)<0，g'(x)>0 D.f'(x)<0，g'(x)<0 答案　B 解析　由已知，得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数. ∵当x>0时，f'(x)>0，g'(x)>0， ∴f(x)，g(x)区间在(0，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，g(x)在区间(－∞，0)上单调递减， ∴当x<0时，f'(x)>0，g'(x)<0. 5.设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中，下列选项不正确的是(　　) 答案　D 解析　检验易知A，B，C均适合，D选项y＝f(x)和y＝f'(x)在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数. 6.若函数f(x)＝(x2－cx＋5)ex在区间上单调递增，则实数c的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，4] C.(－∞，8] D.[－2，4] 答案　B 解析　易得f'(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex. ∵函数f(x)在区间上单调递增，等价于x2＋(2－c)x－c＋5≥0对任意x∈恒成立， ∴c≤对任意x∈恒成立. ∵x∈，∴＝x＋1＋≥2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立，∴c≤4. 7.(5分)若函数f(x)＝(x2＋mx)ex的减区间是，则实数m的值为　　　　　　　.  答案　－ 解析　f'(x)＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex， 因为f(x)的减区间是， 所以f'(x)＝0的两个根分别为x1＝－，x2＝1， 即解得m＝－. 8.(5分)若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，<e，则m的最小值是　　　　.  答案　 解析　由x1<x2，<e，得ln x2－ex2<ln x1－ex1， 令g(x)＝ln x－ex，则g(x)在(m，＋∞)上单调递减. ∵g'(x)＝－e，x>0，∴当x∈时，g'(x)>0；当x∈时，g'(x)<0， ∴g(x)的减区间为， ∴m≥，∴m的最小值为. 9.(10分)已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若函数f(x)是增函数，求实数a的取值范围；(5分) (2)若函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减，求实数a的取值范围.(5分) 解　由f(x)＝x3－ax－1，得f'(x)＝3x2－a. (1)因为f(x)是增函数， 所以f'(x)≥0对∀x∈R恒成立， 即a≤3x2对∀x∈R恒成立，只需a≤， 而＝0，所以a≤0，经检验，当a＝0时，符合题意， 故a的取值范围是(－∞，0]. (2)因为函数f(x)在区间(－1，1)上单调递减， 所以f'(x)<0对∀x∈(－1，1)恒成立， 即a≥3x2对∀x∈(－1，1)恒成立， 易得函数y＝3x2的值域为[0，3)，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞). 10.(11分)已知函数f(x)＝x2－4x＋(2－a)ln x，a∈R. (1)当a＝8时，求f(x)的单调区间；(5分) (2)若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围.(6分) 解　(1)当a＝8时，f(x)＝x2－4x－6ln x，定义域为(0，＋∞)，即f'(x)＝2x－4－， ∴令f'(x)>0，得x>3；令f'(x)<0，得0<x<3， ∴f(x)的增区间是(3，＋∞)，减区间是(0，3). (2)由题意知，f'(x)＝2x－4＋≥0在[2，＋∞)上恒成立，则a≤2x2－4x＋2在[2，＋∞]上恒成立， 令g(x)＝2x2－4x＋2＝2(x－1)2，x≥2， 则a≤g(x)min. 而g(x)在[2，＋∞)上的最小值为g(2)＝2. ∴a≤2，经验证a＝2时成立，故a≤2. 11.已知函数f(x)＝在上存在增区间，则实数b的取值范围是(　　) A. B.(－∞，3) C. D.(－∞，) 答案　A 解析　易得f'(x)＝＋x－b＝. 根据题意，得f'(x)>0在上有解. 令h(x)＝2x2－2bx＋1， 因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0， 解得b<. 12.函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x为增函数的充要条件是(　　) A.a≥2 B.a＝2 C.a≥1 D.a>2 答案　B 解析　由函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x是增函数， 得f'(x)＝ax－(a＋2)＋≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， ①当a＝0时，－2x＋2≥0⇒0<x≤1，不满足题意； ②当a<0时，ax2－(a＋2)x＋2 ＝a(x－1)≥0，又<0， 即(x－1)≤0⇒0<x≤1，不满足题意； ③当a>0时，ax2－(a＋2)x＋2 ＝a(x－1)≥0， 又>0，ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则Δ＝[－(a＋2)]2－8a＝(a－2)2≤0⇒a＝2. 若a＝2，则f(x)＝x2－4x＋2ln x，定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝2x－4＋≥0恒成立，故此时f(x)为增函数. 综上，函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x为增函数的充要条件为a＝2. 13.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R，下列结论正确的是(　　) A.<0 B.>0 C.f > D.f < 答案　AD 解析　由题图可知，函数y＝f(x)的大致图象如图所示. A选项表示x1－x2与f－f异号， 即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确； B选项表示x1－x2与f－f同号， 即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确； f 表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标， 显然有f <，故C不正确，D正确. 14.(5分)函数f(x)的导函数为f'(x)，若在f(x)的定义域内存在一个区间D，f(x)在区间D上单调递增，f'(x)在区间D上单调递减，则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)＝aex－x2，区间是其一个渐缓增区间，那么实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　对于函数f(x)＝aex－x2，x∈， f'(x)＝aex－2x，令g(x)＝aex－2x， 则g'(x)＝aex－2， 因为f'(x)(即g(x))在区间上单调递减， 所以g'(x)＝aex－2≤0在上恒成立，即a≤在上恒成立， 又>， 所以a≤，经验证当a＝时成立. 又f(x)在区间上单调递增， 所以f'(x)＝aex－2x≥0在上恒成立， 因为f'(x)在区间上单调递减， 所以f'＝a－1≥0，解得a≥，经验证当a＝时成立， 综上可得≤a≤. 15.若a＝，b＝，c＝，则(　　) A.a<c<b B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 答案　D 解析　因为a＝，b＝，c＝， 所以令g(x)＝，则a＝g(e)，b＝g(8)，c＝g(9)，g'(x)＝， 当x∈(，＋∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(，＋∞)上单调递减. 又<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a. 16.(13分)已知函数f(x)＝ax2＋ln(x＋1). (1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；(5分) (2)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围.(8分) 解　(1)当a＝－时， f(x)＝－x2＋ln(x＋1)(x>－1)， f'(x)＝－x＋ ＝－(x>－1). 当f'(x)>0时，解得－1<x<1； 当f'(x)<0时，解得x>1. 故函数f(x)的增区间是(－1，1)， 减区间是(1，＋∞). (2)因为函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减， 所以f'(x)＝2ax＋≤0对任意x∈[1，＋∞)恒成立， 即a≤－对任意x∈[1，＋∞)恒成立. 令g(x)＝－，x∈[1，＋∞)，h(x)＝－2x(x＋1)，x∈[1，＋∞)，则g(x)＝， 易知h(x)在区间[1，＋∞)上单调递减， h(x)max＝h(1)＝－4， 则g(x)min＝－，故a≤－，经验证，当a＝－时成立. 即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $