4.3.1 等比数列的概念-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第4章 数列 1 4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 2 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”： “今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九 雏，雏有九毛，毛有九色，问:各几何？”构成数列：9,，，， ， ，， .这个数列有何特点？ 返回导航 新课导入 3 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念. 2.熟练掌握等比数列的判断方法. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等比数列的定义 观察下面几个问题中的数列，回答问题. （1）细胞分裂个数可以组成数列：1，2，4，8， ； （2）《庄子·杂篇·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这 句话中隐藏着一列数：1,，，，，， ； （3）的次幂按1次幂、2次幂、3次幂 ，依次排成一列数：- ， ，，， . 返回导航 7 思考 类比等差数列，你发现以上数列有什么共同特征？ 提示 对于（1），，，， ，也就是说从第二项起，每 一项与它的前一项的比都等于2；对于（2）,,， ；对于（3）, ，， ；也有相同的取值规律（从第二项起，每一项与 它的前一项的比都等于同一个常数）. 返回导航 ［知识梳理］ 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于 ①____________，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列 的②______，公比通常用字母 表示. 同一个常数 公比 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例1）判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出 它的公比． （1）1，，，，， ； 【解】不是等比数列； （2）10,10,10,10,10， ； 【解】是等比数列，公比为1； 返回导航 10 （3），，，， ； 【解】是等比数列，公比为 ； （4）1，,16，,256， . 【解】是等比数列，公比为 . 返回导航 要判断一个数列是否为等比数列，其依据是（ 是非零常 数）对一切且恒成立，或（ 是非零常数）对一切 恒成立. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ 以下数列中是等比数列的是( ) A.数列1,2,6,18， B.数列中，已知， C.常数列，， ，， D.数列中，，其中 解析：选D.对于A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列； 对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； 对于C，当 时，不是等比数列； 对于D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列． √ 返回导航 13 二 等比数列中的基本计算 ［例2］ （1）在等比数列中，已知, ，则 的值为( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析：因为数列为等比数列,所以,, 成等比数列, 所以，所以 ，同理 ,所以 .故选C. √ 返回导航 14 （2）已知在公差不为0的等差数列中，，且，， 成等 比数列，则公差为__． 解析：设等差数列的公差为，由，，， 成等 比数列，得，即 ，整理得 ，解得或（舍去），即数列的公差 . 返回导航 15 （1）回归定义：若几个数成等比数列，严格按照等比数列的定义列出等 式，通过解方程或方程组的方法求出未知量． （2）等比中项应用：若，，成等比数列，则称为和 的等比中项； 对于数，的等比中项，一定成立，但 的符号不一定，正负都 可取． 返回导航 16 ［跟踪训练2］ （1）等比数列，，， 的第4项为( ) A. B.0 C.12 D.24 解析：选A.由，，成等比数列得， ， 解得或（不合题意，舍去），第2项为，第3项为 ， 公比为，故数列的第4项为 . √ 返回导航 17 （2）若数列是等比数列，且是与的等差中项，则 ___. 2 解析：设数列的公比为，因为是与的等差中项，数列 是等比数列，所以，又，所以 ， ，即，解得 ，所以 . 返回导航 18 三 等比数列的判定与证明 ［例3］ 已知数列满足,,设 . （1）求，， ； 【解】因为数列满足 ， ，可得, ， 又因为，可得，， . 返回导航 19 （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由. 【解】数列为等比数列.理由如下：由数列满足 ，且 ， 可得，又因为，可得 ， 因为，所以数列是以1为首项， 为公比的等比数列. 返回导航 20 证明等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列<m></m>满足<m></m>（<m></m>是非零常数）或<m></m> （<m></m>,<m></m>，<m></m>是非零常数），则数列<m></m>是等比数列. （2）等比中项法：<m></m>. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ （1）下列数列是等比数列的是( ) A.10,,, B.1，,4， C.1,5,25， D.,,, 解析：选B.由等比数列的定义可知，只有B满足题意，其余均不满足． √ 返回导航 22 （2）若数列的通项公式为 ，则 ( ) A.数列是首项为，公比为 的等比数列 B.数列是首项为，公比为 的等比数列 C.数列是首项为，公比为 的等比数列 D.数列是首项为，公比为 的等比数列 √ 返回导航 23 解析：选B.因为 ， , , 所以是首项为，公比为 的等比数列．故选B. 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.（教材PT 改编）下列数列是等比数列的是( ) A.10，100，， B.4，6，9，12 C.，0，1，2 D.,,, 2.（多选）已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则 ( ) A.6 B. C. D.12 解析：选.由题意知 ， ，解得 ， 所以或 . √ √ √ 返回导航 26 3.（多选）下列说法正确的有( ) A.等比数列中的项不能为0 B.等比数列的公比的取值范围是 C.若一个常数列是等比数列，则公比为1 D.,,,， 是等比数列 解析：选 显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确； 由于 ，故D不是等比数列，故D错误． √ √ 返回导航 27 4.在由正数组成的等比数列中,， ，则 ___. 8 解析：由等比数列的性质可知，是和 的等比中项, 所以,则，故 . 返回导航 28 1.已学习：等比数列的概念. 2.须贯通：（1）基本量法求等比数列. （2）等比数列的证明 ①利用定义：（为与 无关的非零常数）. ②利用等比中项： . 3.应注意：两个同号的实数， 才有等比中项，而且等比中项有两个，为 . 返回导航 29 $