4.2.2 等差数列的通项公式（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列通项公式，通过“4,7,10…求第100项”实例导入，引导学生观察归纳规律，再用叠加法严谨推导公式，衔接等差数列定义，为公式运算和实际应用搭建学习支架。 其亮点在于结合奥运会年份、彗星出现等生活实例及杨辉高阶等差数列等数学文化，培养数学眼光。推导证明与“知三求一”方法训练数学思维，实际应用问题强化数学语言表达。学生能提升建模与运算能力，教师可直接使用分层例题和题型拓展教学。

4.2 等差数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.2.2 等差数列的通项公式 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一元一次函数的关系. 能利用等差数列的通项公式进行基本的运算. 能在实际问题中抽象出等差数列，并解决一些简单的问题. 观察等差数列 {an} 4，7，10，13，16，…，如何写出它的第 100 项 a100 呢? 我们有 a1＝4，a2＝7＝ 4＋3，a3＝10＝4＋3×2，a4＝13＝4＋3×3，··· 从而 a100＝4＋3×99＝301. 设 {an} 是一个首项为 a1，公差为 d 的等差数列，你能写出它的第 n 项an 吗? 一般地，对于等差数列 {an} 的第 n 项an，有 an＝a1＋ (n－1)d. 这就是等差数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项，d 为公差. 新知探究 证明 因为 {an} 为等差数列，所以当 n≥2 时，有 a2－a1＝d，a3－a2＝d，···an－an－1＝d. 将上面 n－1 个等式的两边分别相加，得 an－a1＝(n－1)d. 所以 an＝a1＋(n－1)d. 当 n＝1 时，上面的等式也成立. 新知探究 典例分析 方法技巧 解题的关键： 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 在等差数列 {an} 中， (1) 已知 a1＝3，公差 d＝－2，求 a6； (2) 已知 a3＝10，a9＝28，求 an . 例 1 解 (1) 由等差数列的通项公式，得 a6＝3＋(6－1)(－2) ＝－7. (2)设等差数列的公差为d,那么 ， 解得 ，所以an=4+(n-1)•3=3n+1． 教材P132 例题 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次. 奥运会如因故不能举行，届数照算，按此规则，问：2050年举行奥运会吗? 例 2 解：由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列， 这个数列的通项公式为 ， 假设an=2050，则2050=1892+4n,解得n=39.5， 所以an=2050无正整数解， 所以按此规则，2050年不举行奥运会． 方法技巧 解题的关键： 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列. 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 典例分析 教材P132 例题 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an＝2n－1，求首项 a1 和公差 d . 例 6 或 d＝an＋1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2. 解：a1=2×1-1=1，a2=2×2-1=3， 所以d=a2-a1=3-1=2． 在例6中，等差数列的通项公式 an＝2n－1 是关于 n 的一次式从图象上看 ，表示这个数列的各点 (n，an) 均在直线 y＝2x－1 上. 教材P133 例题 典例分析 如果一个数列 {an} 的通项公式为 an＝kn＋b，其中 k，b 都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗? 思考 解：∵一个数列的通项公式是an=kn+b, ∴数列是公差为k的等差数列． 1.求下列等差数列的第n项： (1)2，6，10，……；(2)13，9，5，……；(3)- ， ， ，……． 解：(1)2，6，10，……的通项公式为：an=2+4(n-1)=4n-2． (2)13，9，5，……的通项公式为：an=13-4(n-1)=-4n+17． (3)- ， ， ，……．的通项公式为：an=- +(n-1)=n- ． 教材P133 练习 9 2.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项； (2)等差数列-5，-9，-13，…的第几项是-401？ (3)-20是不是等差数列0，- ，-7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由． 解：(1)等差数列8，5，2，…的通项公式为：an=8-3(n-1)=11-3n, ∴a20=11-3×20=-49． (2)等差数列-5，-9，-13，…的通项公式为：an=-5-4(n-1)=-1-4n,令-1-4n=-401， 解得n=100． (3)等差数列0，- ，-7，……的通项公式为：an=0- (n-1)=- n+ ，令- n+ =-20，解得n= 不是整数，因此-20是不是等差数列0，- ，-7，……的项． 教材P133 练习 10 3.差数列{an}的首项为a1，公差为d,项数为n. (1)已知a1=3，d=2，n=6，求an；(2)已知a1=1，d=2，an=15．求n； (3)已知a1= ，n=5，an=8，求d；(4)已知d=- ，n=12，an=-8，求a1． 【解析】解：(1)a1=3，d=2，n=6，可得an=a1+(n-1)d=3+5×2=13； (2)a1=1，d=2，an=15，由an=a1+(n-1)d可得，15=1+2(n-1)，解得n=8； (3)a1= ，n=5，an=8，可得8= +(5-1)d,解得d= ； (4)d=- ，n=12，an=-8，则-8=a1-(12-1)× ，解得a1= ． 教材P133 练习 11 4.已知等差数列的通项公式为an=1- n,求它的首项和公差，并画出它的图象． 解：an=1- n, 可得：a1=1- = ，d=- ． 教材P133 练习 12 5.诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次． (1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？ (2)你认为这颗彗星在2500年会出现吗？为什么？ 解：(1)依题意得，彗星出现的年份构成以1740为首项，以83为公差的等差数列， ∴an=a1+(n-1)d=1740+83(n-1)=83n+1657， ∴a8=83×8+1657=2321， ∴彗星第8次出现是在2321年； (2)由(1)可知，an=83n+1657，令83n+1657=2500，解得n= ∉N*， ∴这颗彗星不会在2500年出现． 教材P134 练习 13 6.某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm,求中间四个滑轮的直径． 解：设此等差数列为{an}，公差为d＞0， 由题意可得：a1=15，a6=25，∴d= =2．∴a2=17cm,a3=19cm,a4=21cm,a5=23cm. 7.在等差数列{an}中． (1)已知a5=19，a6=l0．求a1和公差d；(2)已知a4=10，a10=4．求a14． 解：(1)∵a5=19，a6=l0，∴a1+4d=19，a1+5d=10，解得：a1=55，d=-9； (2)∵a4=10，a10=4，∴a1+3d=10，a1+9d=4，解得：a1=13，d=-1． ∴a14=13-(14-1)=14-14=0． 教材P134 练习 14 等差数列的通项公式 题型一 题型探究 1.将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得到等差数列的前四项， 则数列 的通项公式为( ) D A. B. C. D. 解析 记减1的项的项数为，加1的项的项数为 ， 因为 ，可知变化的两项为第一项和第四项或第二项和第三项， 若, ，可得数列为0，3，6，9,为等差数列， 此时首项为0，公差为3，所以 ； 若, ，可得数列为2，3，6，7,不为等差数列； 若, ，可得数列为1，2，7，8,不为等差数列； 若, ，可得数列为1，4，5，8,不为等差数列. 综上所述,数列的通项公式为 .故选D. 等差数列的通项公式 题型一 题型探究 2.（多选）［江苏苏州高新区一中2024高二月考］等差数列中，，公差 ，且 ，则实数 的可能取值为( ) AB A. B. C. D. 解析 因为等差数列中，，且 ， 所以 ， 整理得 ， 因为，所以， ， 所以 ， 所以在四个选项中实数 的可能取值为，.故选 . 构造等差数列求数列的通项公式 题型二 题型探究 3.已知数列满足,且 ，则数列 的第100项为( ) B A. B. C. D. 解析 ， ，则为等差数列， 首项为，第2项为，公差 ，则有 ， .故选B. 4.已知数列满足,且，则 的通项公式 ________________. 解析 由可知数列是以 为首项，1为公差的等差数列， 可得，所以 . 数学文化中的等差数列 题型三 题型探究 5.［江苏南京五校2025高二调研］数学家杨辉在《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等 差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起， 每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4， 7，11，16为二阶等差数列.现有二阶等差数列 ，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27， 记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则 ( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 解析 由题意得数列的前几项为3,4,5,6,7，且数列为等差数列，所以 ，故 .故选C. 题型探究 6.“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物 几何？”最早记载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将1到1000 这1000个数中，被5除余4且被7除余4的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则该数列 共有____项. 29 数学文化中的等差数列 题型三 解析 由题意可知被35除余4，即，所以 ， 令，即，解得 ， 因为，所以 ，故该数列共有29项. 等差数列的实际应用 题型四 题型探究 7.体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数.如果冬冬报17,阿奇 报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有____人. 20 [解析] 由题意知，每位同学报的数是一个等差数列，其中首项为17，公差为7，末项为150. 设末项为第 项,则 ，解得 ，故队伍里一共有20人. 当一组数按次序“定量”增加或减少时,这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题. 规律方法 8.某公司经销一种数码产品,第一年可获利200万元,从第二年起，由于市场竞争方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销此产品将亏损? 解 设第 年的利润为 万元， 则 ， ，所以每年的利润构成一个等差数列 . 从而 . 若 ，则该公司经销此产品将亏损，令 ，得 . 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损. 等差数列的实际应用 题型四 题型探究 21 等差数列的综合应用 题型五 题型探究 9.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的 切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是( ) C A.8 B.9 C.10 D.100 解析 设这100个圆的半径从小到大依次为,, ,，则由题知 . 每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2， 有，则 是首项为1，公差为1的等差数列，则 ,,2, ,100， 所以，得 .故选C. 题型探究 等差数列的综合应用 题型五 10.设为平面内异于，，三点的任一点,且点不在直线 上， ，当，，三点共线时,数列 为( ) B A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 解析 由题意，当，， 三点共线时，根据平面向量 基本定理，可得，即，所以数列是一个公差为 的等差数列，所以数列 是递减数列.故选B. 规律方法 等差数列的单调性：已知等差数列的公差为,当时,数列为递增数列;当时,数列 为递减数列;当时，数列 为常数列. 1.等差数列通项公式:an＝a1＋ (n－1)d. 2.等差数列通项公式的性质： 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+） 特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap． 3.等差数列的实际应用. 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $