3.3.1 抛物线的标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

课后达标检测 1 1.下列拋物线中，焦点坐标为， 的是( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题可设抛物线的标准方程为，则，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.（2025·南通期中）已知为抛物线 上一点，则 抛物线 的准线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为为抛物线 上一点，所以 ，解得，所以抛物线的方程为 ，所以准线方程 为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.若点到点的距离比它到直线的距离小2，则点 的轨迹 方程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.由题意可知点到点的距离与到直线 的距离相 等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点 的轨迹 方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.已知抛物线上一点到焦点的距离为6，则的中点到 轴的距 离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选A.由已知抛物线的焦点，准线，又点到焦点 的距离为6，结合抛物线定义可知，点到准线的距离 ，则 ，所以中点的横坐标，即的中点到 轴的距离为3. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（2025·北京期末）已知点是抛物线上的一个动点，则点 到点 的距离与点到 轴的距离之和的最小值为( ) A. B.2 C.3 D.4 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 解析：选B.抛物线的焦点 ，准线 ，过点作于点，交轴于点 ，则 ， ， 记点为点 ，于是 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号，所以点到点 的距 离与点到 轴的距离之和的最小值为2. ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.（多选）已知为抛物线的焦点，点在上且 ，则 直线 的方程可能为( ) A. B. C. D. 解析：选.抛物线的焦点坐标为，准线方程为 ， 设，因为，所以，解得 ，所以 ，解得，所以或，则 或 ，所以直线的方程为或 ， 即或.故选 . √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 7.已知抛物线 ，则其焦点到准线的距离为 __. 解析：由得，所以抛物线的焦点到准线的距离 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 8.（2025·天津期中）已知抛物线的焦点为, 为坐标原 点，点在抛物线上，且, ，则 ___. 1 解析： 过点作垂直抛物线的准线，垂足为，过点 作 于点，由于, ， 则 ，故 ,所以 ，故 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 9.如图，为坐标原点，为抛物线 的焦点， 为上一点，若，则 的面积为_____. 解析：由题意，抛物线的焦点为 ，准线方程为 ，设，因为，可得 ， 则，即，则 的面积 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 10.（13分）求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，准线方程为 ；（4分） 解：由题意可知抛物线的焦点在轴负半轴上，且, ， 故抛物线的标准方程为 . （2）顶点在原点，且过点 ；（4分） 解：由题意知抛物线的焦点可能在轴正半轴或 轴负半轴上，则设抛物线 的标准方程为或 ， 分别将代入，则，，解得， ， 故抛物线的标准方程为或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 （3）焦点在轴上，且抛物线上一点 到焦点的距离为5.（5分） 解：由抛物线的焦点在轴上，且点 在抛物线上， 得抛物线的焦点在 轴正半轴上， 则设抛物线方程为，焦点为,，准线方程为 ， 又因为抛物线上一点 到焦点的距离为5， 根据抛物线的定义，得, ，故抛物线的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 11.已知直线，抛物线的准线是，点是 上一点，若点到直线，的距离分别是，，则 的最小值是 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.抛物线的焦点是,，准线，设点到直线 的 距离为，则，所以 ，当且仅当 且在与之间时等号成立，所以的最小值是 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 12.有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所 示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向 上的高度之差至少为，若行车道总宽度为 ，则车辆通过隧道 时的限制高度为____ . 3.8 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 解析：由题意，建系如图所示. 则， ， ， ，由图可设，抛 物线方程为，将 代入，可得 ，求得 ，故抛 物线方程为，将 代入抛物线 方程，可得 ，则 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.（13分）（2025·扬州期中）已知拋物线的顶点在坐标原点，其焦点 与双曲线的上焦点重合，，为拋物线 上两点. （1）求拋物线 的标准方程及其准线方程；（6分） 解：由题知双曲线 , 所以,，所以 ，即双曲线的上焦点 为 ， 则抛物线的焦点为，可设抛物线的标准方程为 ， 则， ， 所以抛物线的标准方程为 ， 其准线方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 （2）若，求线段的中点到 轴的距离.（7分） 解：设，，线段的中点记为 ，由 ， 得 ， 即，所以 ， 即线段的中点到 轴的距离为2. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 14.（15分）已知圆，圆心 到抛物线 的准线的距离为，圆截直线 所得弦长为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （1）求圆 的方程；（6分） 解：抛物线的准线为直线 ， 圆的圆心 ， 因为，所以 ， 解得，又到直线的距离 ， 所以 ， 则 ， 所以圆 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 （2）若，分别为圆与抛物线上的点，求， 两点间距离的最小值. （9分） 解：设，则 ， 所以 ， 当时，取最小值 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 又圆的半径为 ， 所以圆与抛物线无公共点，且的最小值为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.（2025·衡水期末）已知点在抛物线 上，若 抛物线的焦点到准线的距离为2，则 的最小值为 ( ) A. B. C.4 D. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 解析：选D.因为抛物线 的焦点到准线的距离为2， 所以 . 表示点 到轴的距离与点 到直线 的距离之和的 倍，设抛物线的焦点 所以的最小值为 . 为，则点到轴的距离为 ，故 ，设点到直线 的 距离为 ，如图，由图知 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 $