3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦抛物线的几何性质，通过太阳灶、石拱桥等生活实例导入，类比椭圆、双曲线的研究方法，引导学生从范围、对称性等方面自主探究，搭建知识迁移支架，衔接圆锥曲线的前后学习脉络。 其特色在于融合数学眼光、思维与语言，以生活实例激发观察现实世界的意识，通过类比思考培养逻辑推理思维，用表格梳理性质、例题解析规范表达。包含判断、多选及中国天眼等实际应用题，学生能提升应用能力，教师可借分层训练与总结提高教学效率。

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.3 抛物线 3.3.2 抛物线的几何性质 2 生活中不乏以抛物线为原型的例子，太阳灶、石拱桥、抛物线型灯具 等.除了美观外,主要也是借用了抛物线的一些性质,比如抛物线型石拱桥利 用了其跨距大的特点等等.如前面学习椭圆、双曲线一样,下面我们来研究 一下抛物线的一些几何性质. 返回导航 新课导入 3 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题. 3.掌握并会判断直线与抛物线的位置关系． 4.会解决弦长与中点弦问题． 5.能解决与直线和抛物线位置关系有关的综合问题． 返回导航 学习目标 4 第3章 圆锥曲线与方程 5 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 6 PART 01 新知学习 探究 7 一 抛物线的几何性质 思考1 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研 究抛物线的哪些几何性质? 提示 范围、对称性、顶点及离心率等. 思考2 抛物线与椭圆、双曲线比较有什么明显的区别？ 提示 抛物线没有对称中心，只有一条对称轴，不是封闭图形. 返回导航 8 ［知识梳理］ 标准方程 图形 _________________________ __________________________ __________________________ _________________________ 范围 在 轴右侧 在 轴左侧 在 轴上方 在 轴下方 对称轴 轴 轴 轴 轴 返回导航 9 标准方程 开口方向 向右 向左 向上 向下 顶点 ①______ 通径长 ②____ 原点 续表 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形.( ) × （2）抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上.( ) √ （3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ) √ （4）抛物线上任意一点的横坐标的取值范围是 .( ) × 返回导航 11 2.（多选）已知抛物线与抛物线关于 轴对称，则下列说法正确 的是( ) A.抛物线的焦点坐标是 B.抛物线关于 轴对称 C.抛物线的准线方程为 D.抛物线 的焦点到准线的距离为4 解析：选.因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线 的 方程为，则抛物线的焦点坐标是，准线方程为 ， 故A，C正确； 抛物线关于 轴对称，故B错误； 抛物线 的焦点到准线的距离为2，故D错误. √ √ 返回导航 12 3.已知等腰梯形的四个顶点在抛物线 上，且 ，则原点到的距离与原点到 的距离之比为_____. 解析：由抛物线的对称性可知，且 轴， 设,，,，则，可知 ，所以 原点到的距离与原点到的距离之比为 . 返回导航 13 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 （1）开口：由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是<m></m>还是<m></m>,一 次项的系数是正还是负. （2）关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. （3）定值：焦点到准线的距离为<m></m>；过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通 径）长为<m></m>；离心率恒等于1. 返回导航 14 二 由抛物线的性质求标准方程 ［例1］ （对接教材例1）已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶 点，且经过点 .求抛物线的标准方程和准线方程. 【解】 当抛物线的焦点在 轴上时， 设其标准方程为 . 将点代入，得 . 所以抛物线的标准方程为 ； 当抛物线的焦点在 轴上时， 返回导航 15 设其标准方程为 . 将点代入，得 . 所以抛物线的标准方程为 . 故所求的抛物线的标准方程为或 . 准线方程分别为或 . 返回导航 16 由抛物线的几何性质求其标准方程，要先确定抛物线的焦点的位置， 不同的焦点设不同的方程，再利用已知的几何性质求参数，此处仍然使用 待定系数法求解. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 轴且与圆 相交的公共弦长等于 ，则抛物线的方程为______________ _____. 或 解析：根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为 ，交点横坐标为 ，则抛物线过点，或， ， 设抛物线方程为或，则 ， 所以抛物线方程为或 . 返回导航 18 三 抛物线性质的应用 ［例2］ （1）已知为坐标原点，，是抛物线 上的不 同两点，点是抛物线的焦点，且的重心恰为，若 ，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 返回导航 19 解析：易知,，设,,因为的重心恰为 ，则 解得由可知点,关于轴对称，即 ，则 ，即，又因为 ，解得 . 返回导航 20 （2）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线 的焦点， 若，则 的面积为____. 解析：设，由，可得 ，所以 ，则，即，所以 的面积为 . 返回导航 21 母题探究 本例（2）条件“”改为“ 的面积为2”，则 ___. 5 解析：由已知得抛物线的焦点为，设 ，则 ，所以，则，解得 ，于是 . 返回导航 22 利用抛物线的性质可以解决的问题 （1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题. （2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. （3）范围：解决与抛物线有关的最值问题. （4）焦点弦：解决焦点弦问题. 返回导航 23 ［跟踪训练2］ （1）设抛物线的焦点为，过的直线 与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线 的斜 率为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 24 解析：选C.因为,所以为的中点，过点 作 垂直于轴于点,所以为 的中位线，则 ,所以的坐标为,，而,，则直线 的斜率 . 返回导航 25 （2）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 上，则这个等边三角形的边长为___. 6 解析：由题意可知等边三角形的一个顶点位于原 点，另外两个在抛物线上的顶点关于 轴对称，如图所示.设等边三角形边长为，则 点 的横坐标为， 点的纵坐标为 ,则,，代入 得 ，解得（ 舍去）， 故等边三角形的边长为6. 返回导航 26 拓视野 圆锥曲线的统一定义 版选择性必修第一册 链接呈现了圆锥曲线的统一定义. 圆锥曲线的第二定义也是圆锥曲线的统一定义:平面内到一个定点 和 到一条定直线（不在上）的距离之比等于常数 的点的轨迹.当 时, 它表示椭圆；当时, 它表示双曲线；当 时, 它表 示抛物线,这里为离心率,为焦点, 为准线.注意：必须是点到焦点的距离 与点到相应准线的距离的比.（椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原 点，焦点在轴上的椭圆或双曲线，与焦点, 对应的准线 方程分别为, ） 返回导航 27 圆锥曲线的统一定义是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥 曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆锥曲线图象和性质的基础，而且在 很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功能. 返回导航 28 ［典例］ （1）点在椭圆上,它到左焦点 的距离是它到右焦 点距离的两倍,则点 的横坐标是___. 解析：由题可知，，，，所以 . 设，因为，设到椭圆左准线的距离为， 到椭 圆右准线的距离为，由椭圆第二定义可知， ，所以 ，，易得 ，又因为两条准线间的距离 ，所以，所以 ， 解得 . 返回导航 29 （2）已知点，,点在双曲线上，当 最小时，点 的坐标为_ _______. , 解析：因为, , 所以,所以 . 设点到与焦点相应的准线的距离为,则,所以 ， 所以,该问题就转化为在双曲线上求点,使点 到 定点的距离与到准线的距离和最小,即直线 垂直于准线时符合题意,所 以点的坐标为, . 返回导航 30 圆锥曲线统一定义的关注点 （1）利用统一定义，结合表达式的几何意义,可判断一些定点的轨迹; （2）利用统一定义，可将曲线上一动点到焦点的距离转化为到准线的距离; （3）椭圆和双曲线都有两个焦点、两条准线，注意左焦点和左准线相对 应，右焦点和右准线相对应，但抛物线只有一个焦点与一条准线. 返回导航 31 ［练习］ 定长为3的线段的两端点在抛物线上移动,设点 为线 段的中点,则点到 轴的最小距离为_ _. 解析：如图，抛物线焦点,,准线 ,设点 ，，在准线上的射影分别是，， ,设点 ,则 , ,又 ,,所以,所以 , 即的最小值是.所以点到轴的最小距离是 ,当且 仅当过点 时取得最小值. 返回导航 32 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.已知点在抛物线的准线上，记的焦点为 ， 则直线 的斜率为 ( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为抛物线的准线方程为，且点 在准线上，所以,解得,所以,所以焦点 的坐标为 ，故直线的斜率 . √ 返回导航 34 2.图1是世界上单口径最大、灵敏度最高 的射电望远镜“中国天眼” 口 径抛物面射电望远镜，反射面的主体是 一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所 A. B. C. D. 形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为 ，它的 一个轴截面是一个开口向上的抛物线 的一部分，放入如图2所示的平面直 角坐标系内，已知该抛物线上的点到底部水平线（ 轴）距离为 ，则点到该抛物线焦点 的距离为( ) √ 返回导航 35 解析：选A.令抛物线方程为且，由题设， 在 抛物线上，则，得，又 且 ，则点到该抛物线焦点 的距离为 . 返回导航 36 3.（多选）若抛物线上一点 到准线的距离等于它到顶点的距离， 则点 的坐标可以为( ) A., B., C., D., 解析：选.设抛物线的焦点为，则, ，依 题意可知，所以，则, . 所以点坐标可以为,，,.故选 . √ √ 返回导航 37 4.已知抛物线，过点作直线交于， 两点， 且，则点 的横坐标为__. 返回导航 38 解析：由题可设，直线的方程为， , ， 联立得， 恒成立， 所以 ，① ，② 又因为 ，结合图形可得 ，③ 联立①②③可得， ， 返回导航 39 所以 ， 即点的横坐标为 . 返回导航 1.已学习：抛物线的几何性质. 2.须贯通：（1）利用抛物线的标准方程，讨论抛物线的几何性质. （2）抛物线焦点弦的性质. （3）抛物线的实际应用. 3.应注意：抛物线建模时变量的实际意义和范围. 返回导航 41 $