3.3.1抛物线的标准方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

苏教版2019高二数学（选修一）第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1抛物线的标准方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． (难点) 学习目标 探照灯的内壁是由抛物线的一段旋转而成的．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是抛物线的一部分． 情景导入 如图，在画板上画一条直线l，把一个直角三角板的一边紧贴直线l，把一条细绳的一端固定在三角板的顶点A处，取细绳长等于点A到直角顶点H的距离，并且把细绳的另一端固定在点F处．用笔尖靠着直角三角板的边AH，并扣紧细绳，然后上下移动三角板，笔尖画出的曲线是抛物线的一部分． 新知探究 画一条直线l和直线外一点F,在平面内，到直线l和点F距离相等的点的轨迹是什么？ 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 两定点F叫做抛物线的焦点. 定直线l叫做抛物线的准线. 定点F在直线l上时， 则动点P的轨迹是______________________。 注：定点F不在直线l上. 过点F且垂直于l的直线 类似于椭圆和双曲线，我们继续借助平面直角坐标系，利用解析几何研究问题的一般方法来研究抛物线，那么 如何建立抛物线的方程？ 如何根据抛物线的方程研究抛物线的性质？ 步骤一：建立直角坐标系 步骤二：设动点坐标 设抛物线上任意一点P的坐标为(x，y) ， 步骤三：列等式 根据抛物线定义知：PF＝d， 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程 类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线的4种形式: 这四 种方程都叫作抛物线的标准方程 由上述过程可知，抛物线上的点的坐标（x，y）都满足上面这个 方程．可以证明以上面这个方程的解为坐标的点（x，y）都在已知的 抛物线上． 【四种形式抛物线的对比】 图 形 y x o F l y x o F l y x o F l y x o F l y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 焦点坐标 准线方程 标准方程 P： 焦点到准线的距离 【抛物线标准方程的特征】 等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项. 【小结】 一次项定轴，系数正负定方向； 焦点与方程同号，准线与方程异号. 解 课本例题 例2　求经过点P(－2，－4)的抛物线的标准方程． 解： 如图，因为点P在第三象限， 所以满足条件的抛物线的标准方程有两种情形： y2＝－2p1x(p1>0)和x2＝－2p2y(p2>0)． 分别将点P的坐标代入方程， 故满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 y2＝－8x，x2＝－y. 课本例题 课本例题 1.过点(1，-2)的抛物线的标准方程是( ____ ) A.y2=4x或x2= y B.y2=4x C.y2=4x或x2=- y D.x2=- y 【解析】解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax, 将点(1，-2)代入可得a=4， 故抛物线的标准方程为y2=4x ②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by,将点(1，-2)代入可得b=- 故抛物线的标准方程为x2=- y. 综上，过点(1，-2)的抛物线的标准方程是y2=4x或x2=- y. 故选：C． C 课本练习 15 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(6，0)； (2)焦点为F(0，-5)； (3)准线方程为y= ； (4)焦点到准线的距离为5． 【解析】解：(1)因为焦点为F(6，0)， 所以可设抛物线的标准方程为y2=2px(p＞0)，其中 =6， 所以p=12，所以抛物线的标准方程y2=24x. 16 (2)因为焦点为F(0，-5)， 所以可设抛物线的标准方程为x2=-2py(p＞0)，其中 =5， 所以p=10， 所以抛物线的标准方程x2=-20y. 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(6，0)； (2)焦点为F(0，-5)； (3)准线方程为y= ； (4)焦点到准线的距离为5． 17 (3)因为准线方程为y= ， 所以抛物线的焦点在y轴的负半轴，且 = ， 所以p= ， 所以抛物线的标准方程x2=- y. 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(6，0)； (2)焦点为F(0，-5)； (3)准线方程为y= ； (4)焦点到准线的距离为5． 18 (4)由焦点到准线的距离为5，知p=5， 当抛物线的焦点坐标在x轴上时，其标准方程为y2=10x或y2=-10x； 当抛物线的焦点坐标在y轴上时，其标准方程为x2=10y或x2=-10y, 综上，抛物线的标准方程为y2=10x或y2=-10x或x2=10y或x2=-10y. 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(6，0)； (2)焦点为F(0，-5)； (3)准线方程为y= ； (4)焦点到准线的距离为5． 3.已知抛物线C的焦点是直线2x-3y+6=0与坐标轴的一个交点，求抛物线C的标准方程． 【解析】解：直线2x-3y+6=0与x轴的交点坐标为(-3，0)，与y轴的交点坐标为(0，2)， 当抛物线C的焦点为(-3，0)时，抛物线的标准方程为y2=-12x； 当抛物线C的焦点为(0，2)时，抛物线的标准方程为x2=8y, 综上，抛物线C的标准方程为y2=-12x或x2=8y. 20 4.已知直线l过点(1，2)且与抛物线y2=4x只有一个公共点，求直线l的方程． 【解析】解：当直线l与x轴平行时，直线l的方程为y=2， 显然直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点， 当直线l与x轴不平行时， 设直线l的方程为x=k(y-2)+1， 联立 ，消x可得：y2-4ky+8k-4=0， 又已知直线l与抛物线只有一个公共点， 则Δ=(-4k)2-4(8k-4)=0，即k=1， 即直线l的方程为x-y+1=0， 综上可得：直线l的方程为y=2或x-y+1=0． 21 5.已知点P在抛物线y2=2x上． (1)若点P的横坐标为2．求点P到抛物线焦点的距离； (2)若点P到抛物线焦点的距离为4．求点P的坐标． 【解析】解：(1)抛物线y2=2x,则 ， 点P的横坐标为2，则点P到抛物线焦点的距离为： ； (2)设P(a,b)，点P到抛物线焦点的距离为4， 则 ，解得a= ， 点P为抛物线上一点， 则 ，解得b= ， 故点P的坐标为( ， ）或( ，- ） 22 6.已知动点M(x.y)到点F(4，0)的距离比到直线x+5=0的距离小1．试判断点M的轨迹是什么图形． 【解析】解：∵动点M(x,y)到点F(4，0)的距离比到直线x+5=0的距离小1， ∴动点M(x,y)到点F(4，0)的距离与到直线x+4=0的距离相等． 根据抛物线的定义可知：点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，x=-4为准线的抛物线，∴y2=16x. 23 易错警示　求抛物线的标准方程 一抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，则抛物线的方程为________． 错解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上， 因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)． 因为|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝8. 故所求抛物线的方程为y2＝8x. 错解分析：错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解． 正解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上， 因此设所求抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)． 因为|AB|＝|2a|＝8，所以2a＝±8. 故所求抛物线的方程为y2＝±8. 防范措施：求抛物线标准方程的两个注意点 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，此时a不具有p的几何意义． (2)在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解. 易错辨析　忽略抛物线标准方程的特征致误 若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________． 题型一：抛物线的标准方程 例1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为；(2)经过点. 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得. ∴所求抛物线的标准方程为或. 解(1)：因为抛物线的准线交轴于正半轴，且，则，所以所求抛物线的标准方程为 . (2)∵点在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为或. 典例剖析 1.用待定系数法求抛物线标准方程的4步骤： 设方程：根据焦点位置，设出标准方程；列方程：根据条件建立关于参数的方程； 解方程：解关于参数的方程，求出的值；得问题：根据参数的值，写出所求的标准方程. 2.求抛物线的标准方程时需注意的3个问题： (1)把握开口方向与方程间的对应关系. (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或，这样可以减少讨论情况的个数. (3)注意与的几何意义. 归纳总结 题型二：抛物线定义及应用 例2.若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程. 解：由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大， 所以动点到的距离与它到直线的距离相等. 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式，而，所以，，故点的轨迹方程为. 典例剖析 抛物线定义的两种应用 1.实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题. 2.解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两间间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 归纳总结 题型三：抛物线的实际应用 例3.某河上有座抛物线拱桥，当水面距拱桥时，水面宽，一木船宽，高，载货后船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：设以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知，点在抛物线(设为水面宽且)，所以，，所以抛物线方程为. 设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于，(与关于轴对称)时，船开始不能通航，设点坐标为，由，得，此时水面与抛物线拱顶相距. 典例剖析 求解抛物线实际应用题的5步骤 1.建系：建立适当的平面直角坐标系. 2.假设：设出合适的抛物线标准方程. 3.计算：通过计算求出抛物线的标准方程. 4.求解：求出所要求的量. 5.还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 归纳总结 随堂检测 【答案】C 2．若抛物线y2＝2px上横坐标为6的点的焦半径为10，则顶点到准线的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 3．以x轴为对称轴，过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是 (　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 【答案】C 【解析】由题意可知抛物线方程为y2＝±2px(p>0)的形式，因此过焦点且垂直于对称轴的弦长为8，所以2p＝8，故抛物线方程为y2＝±8x. 【答案】 C 4. (2023成都石室中学期中)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，P为抛物线C上一点．若PF＝20，则点P的横坐标为(　　) A. 12 B. 16 C. 18 D. 19 【解析】 由抛物线C：y2＝8x，得p＝4，所以准线方程为 l：x＝－2.如图，设点P(x1，y1)，其中x1≥0， 且PF＝20.过点P作PA⊥l，垂足为A. 由抛物线的定义，得点P到抛物线的准线l的距离等于20， 即PF＝PA＝20，所以x1＋2＝20，解得x1＝18，即点P的横坐标为18. 【答案】 BD 5. (多选)(2023孝感期中联考)以直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为(　　) A. x2＝－y B. x2＝－2y C. y2＝2x D. y2＝4x 7．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为____________． 【答案】x2＝－8y 【解析】设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．所以所求轨迹方程为x2＝－8y. 8．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标． 课堂小结 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.6.37 解得p1＝4，p2＝， 解析：把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝eq \f(1,a)y，所以－eq \f(1,4a)＝2，解得a＝－eq \f(1,8). 【易错警示】 易错原因 纠错心得 受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－eq \f(a,4)＝2，即a＝－8的错误结论. 根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程. 【解析】由准线方程为y＝eq \f(2,3)知抛物线焦点在y轴负半轴上，且eq \f(p,2)＝eq \f(2,3)，则p＝eq \f(4,3).故所求抛物线的标准方程为x2＝－eq \f(8,3)y. 1．准线方程为y＝eq \f(2,3)的抛物线的标准方程为 (　　) A．x2＝eq \f(8,3)y B．x2＝－eq \f(8,3)y C．y2＝－eq \f(8,3)x D．y2＝eq \f(8,3)x 【答案】B 【解析】依抛物线的定义得6＋eq \f(p,2)＝10，顶点到准线的距离为eq \f(p,2)，即4. 【解析】 直线x－2y－1＝0与坐标轴的交点为(1,0)，，故以(1,0)和为焦点的抛物线的标准方程分别为y2＝4x和x2＝－2y.故选BD. 【解析】双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3)＝1的右焦点为(eq \r(m＋3)，0)，抛物线y2＝12x的焦点F(3,0)．所以eq \r(m＋3)＝3，所以m＝6. 6．若双曲线eq \f(x2,m)－eq \f(y2,3)＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝__________. 【答案】6 解：由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py(p>0)或y2＝－2px(p>0)，把P(－2，－4)代入x2＝－2py或y2＝－2px得p＝eq \f(1,2)或p＝4， 故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x. 当抛物线方程是x2＝－y时，焦点坐标是Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)))，准线方程是y＝eq \f(1,4).,当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F(－2,0)，准线方程是x＝2. $$