3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与双曲线的位置关系，涵盖位置判断、弦长及中点弦问题。通过梳理双曲线几何性质，衔接直线与椭圆位置关系的已有知识，以知识梳理为支架，帮助学生构建逻辑清晰的知识脉络。 其亮点在于分类讨论斜率与二次项系数情况培养数学思维，点差法与韦达定理应用发展数学眼光，实例解析与跟踪训练提升数学语言表达。学生能系统掌握解题方法，教师可借助丰富例题与巩固题提高教学效率。

第3章 圆锥曲线与方程 3.2 双曲线 1 3.2.2 双曲线的几何性质 第2课时 直线与双曲线的位置关系 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 判断直线与双曲线的位置关系 ［知识梳理］ 设直线 ,① 双曲线 ,② 把①代入②得 . 返回导航 5 （1）当,即 时，直线与双曲线①____________. 相交于一点 （2）当,即 时， . 直线与双曲线有②___个公共点； 直线与双曲线有③___个公共点； 直线与双曲线有④___个公共点. 2 1 0 返回导航 6 ［例1］ 已知双曲线,直线 ，试分别确定满足下 列条件的实数 的取值范围. 【解】 联立消去 , 整理得 当,即 时, . （1）直线 与双曲线有两个不同的公共点； 返回导航 7 （1）由 得且 , 此时方程 有两个不同的实数解， 即直线 与双曲线有两个不同的公共点. 返回导航 8 【解】 联立消去 , 整理得 当,即 时, . （2）直线 与双曲线有且只有一个公共点； 返回导航 (2)由得 , 此时方程 有两个相同的实数解， 即直线 与双曲线有且只有一个公共点； 当,即 时， 方程（*）化为 ， 方程（*）只有一个实数解，即直线 与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当或 时， 直线 与双曲线有且只有一个公共点. 返回导航 10 （3）直线 与双曲线没有公共点. (3)由得或 ，此时方程（*）无实数解， 即直线 与双曲线没有公共点. 【解】 联立消去 , 整理得 当,即 时, . 返回导航 11 （1）解决直线与双曲线公共点问题时，不仅要考虑判别式，更要注意二 次项系数为0时的情况. （2）双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与 双曲线相切或与直线或 平行. （3）注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）若直线与曲线 有且 只有一个交点，则满足条件的直线 有( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 解析：选C.直线，即 恒过点 ， 又双曲线的渐近线方程为，则点在其中一条渐近线 上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线过点且平行于或过点 且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线 有2条. √ 返回导航 13 （2）若直线与双曲线 的左、右两支各有一个交点， 则 的取值范围为________. 解析：联立得 ,① 由题知方程①有一个正根，一个负根， 所以 解得 . 返回导航 14 二 与双曲线有关的弦长及中点弦问题 ［例2］ （1）过点能否作一条直线与双曲线 交于 两点，，且点是线段的中点？若能，求出直线 的方程；若不能， 请说明理由. 【解】若能作出直线，则直线的斜率存在，设为，设 , ,则两式相减得 , 返回导航 15 整理可得 , 因为是线段的中点，所以,即 ， 故直线的方程为 ， 即 ， 将直线方程代入双曲线方程可得 , ，此时直线与双曲线不相交. 故不能作出这样的直线 . 返回导航 16 （2）已知直线和双曲线相交于,两点， 为原点，求 的面积. 【解】方法一:联立 得，设, ， 则, ，所以 . 返回导航 17 又因为点到直线的距离为 ， 所以 . 方法二：由方法一易得 . 设直线与轴的交点为 ,则 . 返回导航 18 弦长及中点弦问题的解题策略 （1）利用弦长公式<m></m> <m></m>，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时 要始终保持两根之和、两根之积的形式. （2）涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的 中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之 间的关系. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ （1）（2025·天津期中）若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且 的中点为 ，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. √ 返回导航 20 解析：选B.设双曲线方程为， ， ,则两式相减得 ,由题 意知,所以，为线段 中点，则 ， ， 又，所以，即 ， 而是双曲线的焦点，所以，，则 ， 经验证双曲线符合题意，所以双曲线的方程为 . 返回导航 21 （2）已知双曲线，直线被 所截得的弦长为 ，则 _______. 解析：设双曲线与直线交于,两点，由 消 去整理得 ，则 ，解得 ，且 ， ,所以 . 由，解得，所以 . 返回导航 22 三 与双曲线有关的综合问题 ［例3］ 已知双曲线的左、右焦点分别为 , ,为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为 ，满足 ，且 . 返回导航 23 （1）求双曲线 的离心率； 【解】由对称性可知，故 ， 由双曲线定义可知，即 ， 所以，又因为 ， 在中，由余弦定理得 ， 即 ， 解得，故离心率为 . 返回导航 24 （2）若双曲线过点，过圆上一点作圆 的切线，直线交双曲线于,两点，且的面积为，求直线 的方程. 【解】因为双曲线过点 ， 所以，又由（1）知 ， 解得，,所以双曲线方程为，圆 ， 当直线的斜率不存在时，则,, , ， 所以当直线 的斜率不存在时不成立. 返回导航 25 当直线的斜率存在时，设直线的方程为,，， 又点到直线的距离 , 所以, ， 联立消去 得 ， 返回导航 26 则由的面积为，即 ,所以 ， ， 将代入上式得 ， 返回导航 所以或即或 经检验，满足，所以直线的方程为或 . 返回导航 与双曲线有关的综合问题 （1）当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系， 转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联 系求解. （2）当与直线知识结合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用 一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解. 返回导航 29 ［跟踪训练3］ 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，过点的直线交的右支于，两点，且当垂直于轴时，与 的 两条渐近线所围成的三角形的面积为4. （1）求 的方程； 解：根据题意有，的渐近线方程为 ， 将代入两个渐近线方程得到交点坐标为 ， ， 与的两条渐近线所围成的三角形的面积为 ， 所以，的方程为 . 返回导航 30 （2）若，求 的值. 【解】设， ， 其中， ， 由（1）可知， ， 当轴时，显然与 不垂直. 当不垂直于轴时，设的方程为，代入 的方程有 ， 故， ， ， ， 返回导航 31 当 时有 ，① 由 得到 ， 代入 ， 整理有 ，② 由①，②可得 . 所以 . 返回导航 PART 02 课堂巩固 自测 33 1.若直线与双曲线相交于,两点，则 ( ) A.6 B. C. D.9 解析：选B.由消去并整理得 ， ，设, ，则 , ，所以 . √ 返回导航 34 2.（多选）已知直线，双曲线 ，则( ) A.当时，与 只有一个交点 B.当时，与 只有一个交点 C.当时，与 的左支有两个交点 D.当时，与 的左支有两个交点 解析：选.由题意知直线过定点 ， 当时，与的渐近线平行，与 只有一个交点，故A，B正确； 当时，与 的左支和右支各有一个交点，故C错误； 当时，与 的左支有两个交点，故D正确. √ √ √ 返回导航 35 3.已知直线与双曲线交于，两点，且弦的中点为, ， 则直线 的方程为________________. 返回导航 36 解析：设，，则， ，又 两式相减得 , 即 ， 因为,整理得 ， 所以直线的方程为 ， 即 . 返回导航 4.已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为 . （1）求 的方程和焦点坐标； 解：因为的离心率，又的虚轴长为2，所以 ,又 ,联立解得,, , 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为， . 返回导航 38 （2）设的右焦点为，过点的直线交于，两点，若线段 中点的 横坐标为3，求 . 【解】由（1）知，根据题意易得过点 的直线斜率存在，设直线的 方程为,, ， 联立化简得 , 则 返回导航 39 所以, , 因为线段中点的横坐标为3，所以,解得 ，经 检验，满足条件，所以 ,则 ,则 . 返回导航 40 1.已学习：直线与双曲线位置关系的判断. 2.须贯通：（1）解决直线与双曲线问题的通法. （2）弦长问题、中点弦问题. 3.应注意：“点差法”解题要验证直线与双曲线的交点是否存在. 返回导航 41 $