3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线与椭圆的位置关系”，系统涵盖位置关系判断、弦长计算、中点弦问题及最值范围等核心内容。从椭圆几何性质导入，通过知识梳理建立联立方程判别式、定点位置判断等方法，结合例题解析搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，如例2用点差法推导中点弦斜率体现逻辑推理，跟踪训练结合韦达定理和弦长公式强化运算能力。小结系统归纳设而不求、公式法等方法，帮助学生构建知识网络。学生能提升问题解决能力，教师可借助清晰结构高效开展教学。

第3章 圆锥曲线与方程 3.1 椭 圆 1 3.1.2 椭圆的几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 2 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 3 PART 01 新知学习 探究 4 一 直线与椭圆的位置关系 ［知识梳理］ 直线与椭圆 的位置关系的判断方法： 联立消去得到一个关于 的一元二次方程.直线与椭圆的位 置关系、直线与椭圆公共点的个数、对应一元二次方程解的个数及 的取 值的关系如表所示： 返回导航 5 直线与椭圆位置关系 直线与椭圆公共点的个数 解的个数 的取值 相交 两个不同的公共点 ①___个 ②___0 相切 一个公共点 ③___个 ④___0 相离 没有公共点 ⑤___个 ⑥___0 2 1 = 0 返回导航 ［例1］ 已知直线,椭圆.试问当 取何值时,直 线与椭圆 【解】 将直线的方程与椭圆的方程联立,得消去 整理得 .① 方程①的根的判别式 . （1）有两个不同的公共点? (1)当,即 时, 方程①有两个不相等的实数根, 即直线与椭圆 有两个不同的公共点. 返回导航 7 （2）有且只有一个公共点? (2)当,即 时, 方程①有两个相等的实数根, 即直线与椭圆 有且只有一个公共点. 【解】 将直线的方程与椭圆的方程联立,得消去 整理得 .① 方程①的根的判别式 . 返回导航 8 判断直线与椭圆的位置关系的方法 （1）研究直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程 组成的方程组解的个数. （2）对于过定点的直线，可以通过定点在椭圆内、在椭圆上或在椭圆外 判定直线和椭圆的位置关系. 返回导航 9 ［跟踪训练1］ （1）直线与椭圆 的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 √ 返回导航 10 解析：选C.方法一:联立消除得 ， 则 ， 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交.故选C. 方法二：直线过点，因为，点 在椭圆 内部，故直线与椭圆 相交. 返回导航 （2）（2025·杭州期中）若动直线 始终与椭圆 有公共点，则 的取值范围是__________________. , 解析：动直线即 ，易知动 直线过定点，若动直线 始终与椭圆 有公共点， 则解得且，所以的取值范围是 , . 返回导航 12 二 椭圆的弦长及中点弦问题 ［例2］ 已知椭圆的短半轴长为3，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； 【解】由题意可得且，即 ， 因为，可得 ， 解得，所以 ， 所以椭圆的方程为 . 返回导航 13 （2）过的直线交椭圆于,两点，且为的中点，求弦 的 长度. 【解】设,，因为为的中点，可得 , ，则 两式相减得 ， 即 ， 即 ， 返回导航 14 所以直线的方程为，即 ， 联立方程组整理得，可得 , ， 则 . 返回导航 （1）直线与椭圆相交弦长的求法 ①直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交 点坐标，再用两点间距离公式求弦长. ②利用弦长的公式：设直线的斜率为,方程为 ,设端点 , ， 则 . 返回导航 16 （2）解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知 数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方 程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知 , 是椭圆上的两个不同的点, 是线 段的中点,则 返回导航 17 由,得,变形得 ,即 . 返回导航 ［跟踪训练2］ （1）已知直线与椭圆相交于, 两 点，若中点的横坐标为1，则 ( ) A. B. C. D.1 解析：选C.设, , 把代入得 ， ，因为 中点的横坐标为1， 所以，解得 .故选C. √ 返回导航 19 （2）已知斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线 的 方程为__________. 返回导航 20 解析：设直线，直线与椭圆的交点为, ，联 立消去得 ，则 ，解得 ，可得 ， ，由题意可得 ，解得 ， 所以直线的方程为 . 返回导航 三 与椭圆有关的最值或范围问题 ［例3］ 已知直线交椭圆于， 两点， ，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形 面积的最大值. 【解】 由解得 或 因此 . 返回导航 22 设直线的方程为，设 ， . 由得 . ，故 . 又，的交点在， 之间， 故 . 因为直线 的斜率为1， ， ， 返回导航 所以 . 又四边形 的面积 ， 当时，取得最大值，最大值为 ， 所以四边形面积的最大值为 . 返回导航 与椭圆有关的最值问题的求解方法 求解与椭圆有关的最值问题时，一般先根据条件列出所求目标函数的 解析式,然后根据函数关系式的特征可化为（1）二次函数的最值问题求解； （2）基本不等式的最值问题求解；（3）三角函数的最值问题求解. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ （1）已知直线，当 变化时，此直线被椭圆 截得的弦长的最大值是( ) A.2 B. C.4 D. √ 返回导航 26 解析：选B.直线恒过定点，且点 在椭圆上， 设直线与椭圆另外一个交点为，所以，则 ， 弦长为 ， 当时，弦长最大，最大值为 . 返回导航 27 （2）若点和点分别为椭圆的两个焦点，点 为椭圆上的任 意一点，则 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：选A.由已知设,,，且 ， 则 ，代入 得 ， 因为 ， 所以 ， 即 的最小值为4. √ 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.已知椭圆，直线，则与 的位置关系为 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 解析：选A.由消去并整理得 ，显然 ， 因此方程组有两个不同的解，所以与 相交. √ 返回导航 30 2.（多选）已知椭圆，对于任意实数，下列直线被椭圆 截 得的弦长与被椭圆 截得的弦长一定相等的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 返回导航 31 解析：选.直线过定点 , 对于A，,即,过定点,两直线不关于轴、 轴、原点对称，故被椭圆 所截得的弦长不可能相等，故A错误； 对于B，,即,两直线关于轴对称，被椭圆 所 截得的弦长相等，故B正确； 对于C，，即,两直线关于轴对称，被椭圆 所截得的弦长相等，故C正确； 对于D，,即,两直线关于原点对称，被椭圆 所 截得的弦长相等，故D正确. 返回导航 32 3.已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上异于， 的 一点，直线，与直线分别交于，两点，则 的最小值为 ___. 6 解析：设 ， 则 ， 由椭圆方程可知 ， 故顶点， ， 则直线和直线的斜率之积 ， 返回导航 33 设直线的方程为 ， 则与的交点 ， 设直线的方程为 ， 则与的交点, ， 所以 ，当且仅当 ,即时，等号成立，所以 的最小值为6. 返回导航 34 4.已知椭圆方程为，其右焦点为，过点 的 直线交椭圆于，两点.若的中点坐标为 ，则椭圆的方程为 ___________. 返回导航 35 解析：的中点坐标为 ， 则 ， 设，，则， ， 相减得到， ， 即， ， 又，，解得， ，椭圆的方程为 . 返回导航 1.已学习：直线与椭圆的位置关系. 2.须贯通：三种方法：（1）设而不求法.（2）公式法求弦长.（3）点差法. 3.应注意：直线与椭圆相交时，不要忽略消元后的方程 ，避免所求值 无意义. 返回导航 37 $