3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及几何性质，从基础概念如实半轴长、虚轴长切入，逐步过渡到离心率、渐近线的综合应用，再延伸至与圆、抛物线的结合问题，构建从基础到综合的学习支架，助力学生深化理解。 其亮点在于分层设计基础达标、能力提升、素养拓展模块，通过具体实例如渐近线与圆相交求离心率、证明反比例函数图象是双曲线，培养学生的数学思维和创新意识。学生能分层巩固知识提升应用能力，教师可借助多样化题型有效评估教学效果。

课后达标检测 1 1.双曲线 的实半轴长为( ) A.16 B.8 C.4 D.3 解析：选C.由双曲线，可化为 ，可得 ，即，所以双曲线 的实半轴长为4. √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.已知双曲线的虚轴长为2，一个焦点为，则 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.由题意可知，双曲线的焦点在 轴上，设其标准方程为 , 由题意可得解得 故双曲线的渐近线方程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3.已知双曲线的离心率，则实数 的值为( ) A.0 B. C. D.2 解析：选A.由题意双曲线的标准方程为， ， 则，即 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.与双曲线共渐近线，且过点 的双曲线的标准方 程是( ) A. B. C. D. 解析：选D.由题意可设所求双曲线的标准方程为 .又该双 曲线经过点，则，解得 ，则所求双曲线的标准方 程为 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.若双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为4，则 的离心率为( ) A. B. C. D.2 解析：选D.由可得其渐近线方程为 ，即 ,依题意，圆的圆心到 的 距离为，化简得，则 . √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6.（多选）双曲线的左、右顶点分别为，，， 两点在 上，且关于 轴对称，则下列说法正确的是( ) A.以的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 B.双曲线的离心率为 C.直线与的斜率之积为 D.双曲线 的焦点到渐近线的距离为2 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 解析：选.对于A， 的焦点和顶点分别为 ，，从而以 的焦点和顶点分别 为顶点和焦点的椭圆方程为 ，故A错 误； 对于B，双曲线的离心率为 ，故B正确； 因为点,都在双曲线 上， 且， ， 对于C，显然，异于， ，不妨设 ， , 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 所以直线与的斜率之积为 ，故C正确； 对于D，双曲线的焦点、渐近线方程分别是 ， ，所以焦点到渐近线的距离 ，故D正确. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知双曲线的实轴长为 ，离心率为2，则双曲线的标准方 程为_ __________. 解析：由题得解得 所以双曲线的标准方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 8.已知圆与双曲线 的渐 近线有公共点，则双曲线 的离心率的取值范围为________. 解析：圆，双曲线 的渐近 线方程为，因为圆与双曲线 的渐近线有公共点， 所以圆心到渐近线的距离 ， 所以，所以，即，所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 9.已知为双曲线的右焦点，过点作 轴的垂 线与双曲线及它的渐近线在第一象限内分别交于点和点.若 ， 则双曲线 的渐近线方程为_____________. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 解析：设，过点作 轴的垂线，直线方程为 ， 将代入双曲线方程得 ，所以 ， 又点在第一象限，所以, ，双曲线的一条渐 近线方程为，令可得，即 , ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 又，所以是线段 的中点，则 ，即 ，所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为，即 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.（13分）（2025·孝感期中）已知双曲线与双曲线 有共 同的渐近线. （1）若经过抛物线的顶点，求双曲线 的方程；（5分） 解：依题意可设的方程为 . 抛物线的顶点为，将 代入 的方程，得，则的方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （2）若双曲线的两个焦点分别为，，点为 上的一点，且 ，求双曲线 的方程.（8分） 解：由题意易知， . 当焦点在轴上时，设双曲线的方程为， ，则 ， ， 则双曲线的方程为 ； 当焦点在轴上时，设双曲线的方程为， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则， ， 则双曲线的方程为 . 综上所述，双曲线的方程为或 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 11.已知双曲线的左、右焦点分别为,，右顶点为 ，点 是右支上一点，点是的重心，若，则点到 的 两条渐近线的距离之和为( ) A. B. C. D.4 √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 解析：选B.如图，由已知可得 ，设点 ，由可得点 的横坐标 ,因为点是 的重心，则 ，将 代入双曲线方程可得 ，解得，则点的坐标为 或，由双曲线的对称性，可知点 的两个 坐标到渐近线的距离之和相同，取点 ，由双曲线方程可得渐近线方 程为，则点到双曲线 的两条渐近线的距离之和为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 12.（多选）已知双曲线的离心率为 ，焦距 为，直线与双曲线交于，两点，点位于第一象限，过点 作轴的垂线，垂足为，点 为双曲线的左焦点，则( ) A. B.若，则 C.若，则 D.若，则 √ √ √ 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 解析：选.对于A，设双曲线的右焦点为 ， 因为直线过原点，所以四边形 为平行四 边形，所以 ,所以 ,故A正确；对于 B,因为，所以四边形 为矩形，所以 ，故B正确；对于C，若 ， 由渐近线的性质可知 ，所以 ，故C正确；对于D，若 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 ，则 ，由渐近线的性质可 知，在 中， ， 故D错误. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知双曲线的左、右焦点分别为， ， 过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，在 中， ， ，则双曲线 的离心率是_____. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 23 解析：因为，所以 ， 由双曲线的定义知 ， 所以 . 如图，取的中点，连接 , 所以 ， 又 ，得 ， 所以在中， ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 24 即，得，所以 ， 解得 ， 因为，所以双曲线的离心率是 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.（15分）（2025·潍坊期末）已知双曲线 ， 点,都在双曲线上，且的右焦点为 . （1）求 的离心率及其渐近线方程；（6分） 解：由题意，把点，代入双曲线 的方程,得 解得 所以双曲线的方程为 ， 故离心率，渐近线方程为 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 26 （2）设点是双曲线右支上的任意一点，记直线 和 的斜率分别为,，证明： .（9分） 证明：由题意得，,一定存在且 ， ，且 ， ， ， 则 ， 又点的坐标满足 ， 则 ， 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 27 故 ， 所以 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.（15分） （1）根据双曲线的定义证明反比例函数 的图象是双曲线；（7分） 解：证明：观察图象可知若函数 的图象是双曲线，则它 一定是等轴双曲线， 且轴、轴是图象的渐近线，直线 是双曲线的 对称轴，它与双曲线的两个交点为, 是双曲线的两个顶 点，实轴长 . 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 两焦点坐标为, . 设点在函数的图象上，则，即, ， ①当时， ， 所以 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 . ②当时， ，同理， 有 . 因此，无论点 在第一象限或者在第三象限，均有 . 综上，函数 的图象是双曲线. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 （2）我们知道，双曲线上的任意一点到与 的距离 之积是常数，即 . 探讨双曲线 上的任意一点是否有类似结论，若有， 写出结论并证明；若没有，请说明理由.（8分） 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 解：因为与是双曲线的两条渐近线，且 . 类似地，双曲线 上的任意一点到它的两条渐近线 的距离之积是常数. 证明如下：设是双曲线 上任意一点，则 有 . 双曲线的渐近线方程为 . 于是点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 ，结论成立. 课后达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 $