3.2.1 双曲线的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 2 取一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边各选择一点，分别固定在点 ，上，如图，把笔尖放在 处，随着拉链的拉开或闭拢，画出曲线. 返回导航 新课导入 3 1.理解并掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决相关问题. 2.掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程，掌握求双曲线标准方程的基 本方法. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 双曲线的定义 思考 同学们还记得椭圆的定义吗？把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离 之差的绝对值等于常数（小于 ）”，那么点的轨迹会怎么样? 提示 将拉链拉开一段，其中一边的端点固定在 处，在 另一边上截去一段（小于），作为动点 到两定点 和距离之差，而后把它固定在 处，这时将铅笔 （粉笔）置于 处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画 出一条曲线，同理可画出另一支.（如图）显然所画的曲 线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到 两定点的距离之差或 是同一个常数”这个条件. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.定义：平面内到两个定点, 的距离之差的①________等于常数（ ②______ 的正数）的点的轨迹叫作双曲线. 绝对值 小于 2.几何表示：（常数） . 3.焦点：两个定点③________. 4.焦距：④____________的距离. ， 两个焦点间 返回导航 8 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.( ) × （2）平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲 线.( ) × （3）平面内两个定点，，满足条件 的动点 的轨迹是双曲线.( ) √ （4）平面内两个定点，，满足条件 的动点 的轨迹是双曲线.( ) × 返回导航 9 2.相距的,两地，听到炮弹爆炸的时间相差.若声速为每秒 ， 则炮弹爆炸点 的轨迹可能是( ) A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.直线 解析：选B.由已知条件可得 .根据双曲线的 定义可知，点在以, 为焦点的双曲线上. √ 返回导航 10 3.已知,，满足条件的动点 的轨 迹是双曲线的一支，则 的取值范围是_ ___________________. 且 解析：由双曲线的焦点坐标,，可得 ，要使得 满足条件的动点 的轨迹是双曲线的一支， 则 解得且 . 返回导航 11 记动点到定点,的距离分别为,, , , . , 的轨迹为双曲线； , 的轨迹为两条射线； , 无轨迹图形； ，的轨迹为线段 的垂直平分线. 返回导航 12 二 双曲线的标准方程 思考 类比椭圆的方程，结合双曲线的形成过程，怎样建立坐标系才使双 曲线的方程更简单些？ 提示 以，所在的直线以及线段 的垂直平分线作为坐标轴，所得 方程应该更简单. 返回导航 13 ［知识梳理］ 类别 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 焦点坐标 ， ， ，， 的关系 _________ 返回导航 14 ［例1］ （对接教材 ）根据下列条件求双曲线的标准方程： （1）以椭圆的长轴端点为焦点，且经过点 ； 【解】依题意，双曲线的焦点在轴上，且 . 设双曲线的标准方程为 . 代入点得 . 又,解得, . 所以所求双曲线的标准方程为 . 返回导航 15 （2）双曲线经过点，, . 【解】设双曲线方程为 . 因为点，,在该双曲线上，所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 返回导航 16 求双曲线标准方程的方法 （1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的<m></m>,<m></m>,<m></m>，再写出双曲线的标准 方程. （2）待定系数法：先设出双曲线的标准方程<m></m>或 <m> </m>,<m></m>均为正数<m></m>，然后根据条件求出待定的系数，最后代入方程即可. 注意 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为 <m></m>的形式，注意标明条件<m></m>. 返回导航 17 ［跟踪训练1］ （1）已知双曲线的上、下焦点分别为 ， ，是双曲线上一点且满足 ，则双曲线的标 准方程为( ) A. B. C. D. 解析：选D.依题意，, ， 所以 ， 由于双曲线的焦点在 轴上， 所以双曲线的标准方程是 . √ 返回导航 18 （2）以，为焦点，经过点 的双曲线的标准方程为 _ __________. 解析：由已知得，且焦点在 轴上． 因为点 在双曲线上，所以 ， 则， ， 所以所求双曲线的标准方程是 . 返回导航 19 三 双曲线中的焦点三角形问题 ［例2］ 若，是双曲线的两个焦点，点 是双曲线上的一 点，且 ，求 的面积. 【解】 由双曲线的定义和余弦定理得， ， ，所以 ，所以 ， 所以 或 . 返回导航 20 母题探究 若将本例中的“ ”改为“ ”，求 的面积. 解：将 ，两边平方得 ，所以 . 在 中，由余弦定理的推论得， ，所以 ，所以 . 返回导航 21 （1）双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾 股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一 些变形技巧的灵活运用. （2）若双曲线中焦点三角形的顶角 ，则焦点三角形的面积 . 返回导航 22 ［跟踪训练2］ （1）设双曲线的左、右焦点分别为，， 为双曲线右支上一点，，则 的大小为( ) A. B. C. D. 解析：选C.根据双曲线的定义得 ，又因为 ，所以，.又因为 ，所以 在中结合余弦定理的推论得, ，因 为 ，所以 . √ 返回导航 23 （2）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为, ，且 双曲线上有一点使得，则点 的坐标为____________. , 解析：由双曲线的标准方程，可得, ，则 ， 设，则，解得，因为点 在 双曲线上，代入可得，解得，故, . 返回导航 24 四 双曲线标准方程的实际应用 ［例3］ 如图所示，某接报中心 接到其正西、正东、正北方向三个观测 点，，的报告：，两个观测点同时听到了一声巨响， 观测点听到 的时间比观测点晚，假定当时声音传播的速度为 ，各观测点到 该中心的距离都是，设发出巨响的位置为点，且,,,, 均在同 一平面内.请你确定该巨响发生的点 的位置. 返回导航 25 【解】 如图，以接报中心 为原点，正东、正 北方向为轴、 轴正方向，建立平面直角坐标 系. 则，，，设 为巨响发生点，由， 同时听到巨响声，得 ， 故在的垂直平分线上， 的方程为 ，因为观测点比观测点晚 听到巨响， 返回导航 26 故 ，由双曲线定 义知点在以,为焦点的双曲线 的 左支上，依题意得， ，所以 ，故双曲 线方程为，将 代入上式， 得 ， 因为，所以，，即 ， 故 . 故巨响发生的点在接报中心的北偏西 距接报中心 处. 返回导航 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 （1）建立适当的坐标系； （2）求出双曲线的标准方程； （3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）. 返回导航 28 ［跟踪训练3］ 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双 曲线的一部分，当拱顶到水面的距离为 时，水面宽为，则当水面宽度为 时，拱 顶到水面的距离为_________ . 解析：根据题意，，，故，解得 ， 即，当水面宽度为，即 时， ，所以拱顶到水面的距离为 . 返回导航 29 PART 02 课堂巩固 自测 30 1.已知点，，动点满足，则 的轨迹 方程为( ) A. B. C. D. 解析：选D.因为，所以 的轨迹为双曲线， 且焦点在轴上，设该双曲线的方程为 ，则 ，，.所以的轨迹方程为 .故选D. √ 返回导航 31 2.与椭圆共焦点，且过点 的双曲线方程为( ) A. B. C. D. 解析：选B.方法一:由题意得椭圆的焦点为， ， 所以双曲线的焦点在 轴上且焦距为6，设双曲线的方程为 ， 所以解得 所以双曲线的方程为 . √ 返回导航 32 方法二：设双曲线的方程为 ，又因为双 曲线过点 ， 可得 ， 解得（舍去）或 . 所以双曲线的方程为 . 返回导航 33 3.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数 的取值范围为 ________. 解析：由方程表示焦点在 轴上的双曲线， 则 解得 . 返回导航 34 4.已知双曲线的上、下焦点分别是，, 为双曲线 上支上的动点， . （1）求双曲线 的方程； 解：，得，，所以双曲线 的方程为 . 返回导航 35 （2）若，求 . 【解】设，则 ，在 中，由余弦定理得 ， 整理得，解得或 （舍去）， 故，故 . 返回导航 36 1.已学习：（1）双曲线的定义.（2）双曲线的标准方程.（3）直线与双曲 线的交点. 2.须贯通：掌握求标准方程的2种方法：（1）待定系数法.（2）定义法. 3.应注意：忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错. 返回导航 37 $