3.1.1 椭圆的标准方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及轨迹方程，从哈雷彗星轨迹、橄榄球等生活实例导入，通过细绳固定两点画椭圆的动手操作引出定义，衔接圆的知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过生活情境与动手实验培养数学眼光，结合焦点三角形问题解析和跟踪训练发展数学思维，课堂小结明确定义法、待定系数法等方法与注意事项。学生能深化理解，教师可提升教学效率，助力核心素养落地。

第3章 圆锥曲线与方程 1 3.1 椭 圆 3.1.1 椭圆的标准方程 2 生活中有许多椭圆形的例子：哈雷彗星的运行轨迹、风靡全球的橄榄 球、甘甜可口的西瓜、神奇的“跳舞草”……椭圆有着怎样的几何性质，它 是否像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 返回导航 新课导入 3 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，会求椭圆的标准方程. 3.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题. 4.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 椭圆的定义及应用 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的 同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖 （动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开 一段距离，分别固定在图板中的两点， （如图）， 思考1 在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示 笔尖到两个定点的距离的和等于常数. 思考2 在这一过程中，绳子的长度与两定点， 间的距离有何关系？ 提示 绳子的长度大于两定点， 间的距离. 套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出如图所示的轨迹. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.定义：平面内到两个定点,的距离之和等于①______（大于 ） 的点的轨迹叫作椭圆. 2.焦点：两个定点②_______. 常数 , 3.焦距：两个焦点间的距离. 4.几何表示：③____（常数），且④___ . 返回导航 8 ［例1］ （1）已知,，动点满足 ，则点 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.线段 D.点 解析：因为,，所以，知点 的轨 迹是线段 . √ 返回导航 9 （2）已知,为椭圆的焦点且，， 是椭圆上两点，且 ，以为直径的圆经过点，则 的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 解析：由于为直径的圆经过点，所以 ， 不妨设,则 ， 由椭圆定义可得,, , 由勾股定理可得和 ， 即和，解得 , ， 故的周长为 . √ 返回导航 10 椭圆定义的双向运用 一方面，符合定义中条件的动点的轨迹为椭圆；另一方面，椭圆上所 有的点一定满足定义中的条件（即到两焦点的距离之和为常数），题目中 遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（2025·南京期中）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为方程表示焦点在 轴上的椭圆，所以 解得，即 . √ 返回导航 12 （2）已知椭圆的左、右焦点分别为， ，则椭圆的焦距 的长为( ) A.1 B.2 C.4 D. 解析：选B.由椭圆的左、右焦点分别为，，可得 , ，则，则 . √ 返回导航 13 二 椭圆的标准方程 思考1 在研究圆的方程时，不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？ 提示 坐标系不同，得到的圆的方程不相同. 思考2 类比圆的方程，结合椭圆的形成过程，怎样建立坐标系才能使椭圆 的方程更简单些？ 提示 结合图形的对称性，以所在的直线以及线段 的垂直平分 线作为坐标轴建立坐标系，所得的方程更简单. 返回导航 14 ［知识梳理］ 焦点位置 在 轴上 在 轴上 标准方程 图形 __________________________________________ __________________________________________ 焦点坐标 ①________ ②________ ,, 的关系 ③________ 返回导航 15 ［例2］ （对接教材例1、例2）求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是，，并且椭圆经过点， ； 【解】由题意知，椭圆的焦点在轴上，且 . 方法一:由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于 ， 所以 , 所以，所以 ，故椭圆的标准方程为 . 返回导航 16 方法二：可设椭圆方程为 ， 将，代入此方程为，解得 （负值已舍去）， 故椭圆的标准方程为 . 返回导航 17 （2） ，且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为26. 【解】由题意知， ， 即，又，所以 ，所以 ，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭 圆的标准方程为或 . 返回导航 18 求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定<m></m>,<m></m>的值，结合焦点位置写出椭圆方 程. （2）待定系数法：①作判断：依据条件判断椭圆的焦点是在<m></m>轴上还是在 <m></m>轴上，还是两个坐标轴上都有可能. ②设方程：依据上述判断设出椭圆的方程. ③寻关系：依据已知条件，建立关于<m></m>,<m></m>,<m></m>的方程组. ④解方程组：将求得的结果代入所设方程即为所求. 返回导航 19 注意 在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆 的方程为 ，不必考虑焦点位置，用 待定系数法求出, 的值即可. 返回导航 20 ［跟踪训练2］ （1）已知椭圆 的左、右焦点分 别为，，上、下顶点分别为，.若四边形 是正方形且面积 为4，则椭圆 的方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.由四边形是正方形可得 ， 再由四边形的面积为4可得，即 ， 所以 . 又，所以 ， 所以椭圆的方程为 . √ 返回导航 21 （2）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点 的椭 圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 解析：选.若椭圆的焦点在轴上，则,，得 ，此时椭圆 方程是 ； 若焦点在轴上，则,，则 ，此时椭圆方程是 ．故选 . √ √ 返回导航 22 三 与椭圆有关的轨迹方程 ［例3］ 已知圆，圆内有一定点，圆 过 点且与圆内切，求圆心 的轨迹方程. 返回导航 23 【解】 如图，设圆的半径为，又圆过点，所以 . 又因为圆与圆内切，圆的半径为10，圆的圆心为 ， 所以两圆的圆心距 ， 即（大于 ）. 所以圆心的轨迹是以， 为焦点的椭圆， 其中， . 所以， ， 所以 . 所以圆心的轨迹方程为 . 返回导航 24 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 （1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的 定义，则可用定义法直接求解. （2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等 式后化简，得出动点的轨迹方程. （3）相关点法（代入法）<m></m>根据相关点所满足的方程，通过转换求出动 点轨迹的方程. 返回导航 25 ［跟踪训练3］ （1）若动点 满足方程 ，则动点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. √ 返回导航 26 解析：选B.已知动点 满足方程 ， 设,，且 ， 则有 ， 故点的轨迹是以,为焦点，长轴长为 的椭圆， 且中心在原点，焦点在轴，即点 的轨迹方程为椭圆的标准方程， 则,， ， 故所求轨迹方程为 . 返回导航 27 （2）已知曲线，从曲线上任意一点向 轴作垂线，垂足为 ，且，则点 的轨迹方程为___________. 解析：因为，所以，，三点共线，且 ，由 题意设，则,，因为点在 上，所以 ，整理得，则点的轨迹方程为 . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.（多选）平面上，动点满足以下条件，其中 的轨迹为椭圆的是 ( ) A.到两定点， 的距离之和为4 B.到两定点， 的距离之和为6 C.到两定点， 的距离之和为6 D.到两定点， 的距离之和为8 解析：选.因为两定点，的距离为4，且 ，所以选项A 不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；因为两定点， 的距离 为6，且 ，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合椭圆定义. √ √ 返回导航 30 2.已知椭圆的左焦点为，则 的值为( ) A.9 B.4 C.3 D.2 解析：选C.由题意可知，解得 （负值已舍去）. √ 返回导航 31 3.已知是椭圆上的一点，且以点及焦点， 为顶点的三角 形的面积等于1，则 ____. 解析：由椭圆，得，， , 设,, ， 设，因为的面积为1，则，解得 ，不 妨设在第一象限，当时，，解得 ， . 返回导航 32 4.如图，长为是正常数的线段的两个端点， 分别在互相垂直的两条直线上滑动，点是线段 上靠 近的三等分点，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什 么图形. 返回导航 33 解：设两直线的交点为,以为轴，为 轴建立平 面直角坐标系，设，由于点是线段上靠近 的三等分点，设，，则 ，即 ，故, ，由 ，故，即 ， 整理得到，所以点 的轨迹方程为 ，该方程表示焦点在 轴上的椭圆. 返回导航 34 1.已学习：（1）椭圆的定义.（2）椭圆的标准方程. 2.须贯通：（1）掌握求标准方程的2种方法：待定系数法，定义法.（2） 轨迹问题的解法：定义法，相关点法. 3.应注意：若椭圆焦点位置不确定，一定要分类讨论. 返回导航 35 $