第3章 3.1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦椭圆标准方程的综合应用，系统梳理椭圆方程的常见设法（如共焦点椭圆、焦点位置不确定时的一般形式）、椭圆定义的应用（焦点三角形面积计算）及动点轨迹方程求解（相关点代入法），构建从基础定义到综合方法的学习支架，为圆锥曲线后续学习奠定基础。 资料通过一题多解（如例1两种设法对比）和方法归纳（反思感悟总结规律），培养学生数学抽象与逻辑推理能力，相关点法解决轨迹问题体现模型意识。课中助力教师系统授课，课后学生可借助跟踪训练与反思查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题 [学习目标]　1.了解椭圆方程的常见设法.2.掌握椭圆定义的应用.3.会求和椭圆相关的动点的轨迹方程． 一、椭圆方程的设法 例1　求下列椭圆的方程． (1)过(－3,2)且与＋＝1有相同的焦点； (2)经过点P，Q. 解　(1)方法一　由方程＋＝1可知，其焦点的坐标为(±，0)，即c＝. 设所求椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则a2＝b2＋5，因为过点(－3,2)，代入方程得＋＝1(a＞b＞0)， 解得a2＝15(a2＝3舍去)，b2＝10， 故椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　设椭圆方程为＋＝1(m>－4)． 将点(－3,2)代入方程得＋＝1， 解得m＝6. 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)方法一　①当椭圆的焦点在x轴上时， 设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 依题意，有解得 因为a＞b＞0，所以方程组无解． ②当椭圆的焦点在y轴上时， 设标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 依题意，有解得 所以所求方程为＋＝1. 方法二　设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)， 依题意得解得 故所求方程为5x2＋4y2＝1，即＋＝1. 反思感悟　(1)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆的方程可设为＋＝1(m<b2)． (2)椭圆过两定点，焦点位置不确定时，椭圆方程可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)． 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 解　(1)方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 若焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由已知条件得解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)方法一　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上， 所以＋＝1， 即＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二　设椭圆方程为＋＝1(m>－9)， 将(，－)代入方程，解得m＝－5， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 二、椭圆定义的应用 例2　设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解　由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝， 所以c＝，2c＝5. 在△F1PF2中，由余弦定理得 F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°， 即25＝PF＋PF－PF1·PF2.① 由椭圆的定义，得10＝PF1＋PF2， 即100＝PF＋PF＋2PF1·PF2.② 由②－①，得3PF1·PF2＝75， 所以PF1·PF2＝25， 所以＝PF1·PF2·sin 60°＝. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a. (2)求椭圆焦点三角形的面积时，常常借助余弦定理来建立两边和与积的关系式． (3)椭圆焦点三角形的面积S＝b2tan . 跟踪训练2　(1)已知椭圆＋＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么PF1∶PF2等于(　　) A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3 答案　C 解析　依题意知，线段PF1的中点在y轴上，又原点为F1F2的中点，易得y轴∥PF2，所以PF2⊥x轴，则有PF－PF＝4c2＝16，又根据椭圆定义知PF1＋PF2＝8，所以PF1－PF2＝2， 从而PF1＝5，PF2＝3，即PF1∶PF2＝5∶3. (2)已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且△PF1F2的面积为3，则∠F1PF2＝________. 答案　120° 解析　由＋＝1， 可知b2＝3,＝b2tan ＝3tan ＝3， 则tan ＝， 因为∠F1PF2是△PF1F2的内角， 则＝60°， 所以∠F1PF2＝120°. 三、与椭圆有关的轨迹问题 例3　点B是椭圆＋＝1上的动点，A(2a,0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 解　设动点M的坐标为(x，y)，点B的坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB的中点，可得 ⇒ 即点B的坐标可表示为(2x－2a,2y)． 又点B(x0，y0)在椭圆＋＝1上， ∴＋＝1，从而有＋＝1. 整理得动点M的轨迹方程为＋＝1. 反思感悟　相关点代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立平面直角坐标系，设所求动点的坐标为(x，y)，其相关动点的坐标为(x0，y0)． (2)找出(x，y)与(x0，y0)之间的等量关系，用x，y表示x0，y0. (3)将x0，y0代入其所在的曲线方程． (4)化简方程得所求方程． 跟踪训练3　已知点P为椭圆E：＋＝1上的动点，点Q满足＝，则点Q的轨迹方程为__________________． 答案　＋＝1 解析　设Q(x，y)，P(x0，y0)， 则＝(x，y)，＝(x0，y0)， 又由＝得(x，y)＝(x0，y0)， 则 又点P(x0，y0)在椭圆E上， 所以＋＝1， 即＋＝1， 故点Q的轨迹方程为＋＝1. 1．知识清单： (1)椭圆方程的设法． (2)椭圆定义的应用． (3)与椭圆有关的轨迹问题． 2．方法归纳：数形结合、待定系数法、分类讨论法． 3．常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除的点． 1．与椭圆3x2＋4y2＝12有相同焦点，且过点(4,0)的椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　C 解析　椭圆3x2＋4y2＝12，即＋＝1，设所求椭圆方程为＋＝1(λ>－3)，将点(4,0)代入得＝1，解得λ＝12，所以所求椭圆的方程为＋＝1. 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．直线 答案　B 解析　设椭圆的右焦点为F2， 由题意，知PO＝MF2，PF1＝MF1， 又MF1＋MF2＝2a， 所以PO＋PF1＝a>F1O＝c， 故由椭圆的定义，知点P的轨迹是椭圆． 3．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大值为12，则椭圆方程为____________________． 答案　＋＝1 解析　如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大， ∴×8b＝12，∴b＝3. 又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 4．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________. 答案　120° 解析　由椭圆的定义知a2＝9，b2＝2， ∴a＝3，c2＝a2－b2＝7，即c＝，∴F1F2＝2. ∵PF1＝4，∴PF2＝2a－PF1＝2. ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝－， 又0°<∠F1PF2<180°. ∴∠F1PF2＝120°. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．6 C．4 D．12 答案　C 解析　设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，得BA＋BF＝2，CA＋CF＝2，便可求得△ABC的周长为4. 2．已知m>0，则“m＝3”是“椭圆＋＝1的焦距为4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　由题意知2c＝4，∴c＝2. 若焦点在x轴上，则c2＝m2－5＝4，又m>0， ∴m＝3； 若焦点在y轴上，则c2＝5－m2＝4， 又m>0，∴m＝1. 因此“m＝3”是“椭圆＋＝1的焦距为4”的充分不必要条件． 3．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 答案　B 解析　由△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，可得AB＋AC＝12>BC，所以顶点A的轨迹为椭圆，其中2a＝12,2c＝8，所以a＝6，c＝4.所以b2＝a2－c2＝20，则轨迹方程为＋＝1.因为A，B，C三点构成三角形，三点不能共线，所以x≠0，故点A的轨迹方程为＋＝1(x≠0)． 4．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1. 5．已知点A(0,2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则PA的最大值是(　　) A．3 B．4 C. D. 答案　C 解析　设P(x0，y0)， ∴PA2＝x＋(y0－2)2. ∵＋y＝1， ∴PA2＝4(1－y)＋(y0－2)2 ＝－3y－4y0＋8 ＝－32＋. ∵椭圆＋y2＝1， 令x＝0，则y＝±1， ∴－1≤y0≤1， ∴当y0＝－时，(PA)＝， 即(PA)max＝. 6.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足OP＝OF，且PF＝4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　B 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，右焦点为F′，连接PF′，如图所示． 因为F(－2，0)为C的左焦点，所以c＝2.由OP＝OF＝OF′知，∠FPF′＝90°，即FP⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得PF′＝＝＝8.由椭圆定义，得PF＋PF′＝2a＝4＋8＝12，所以a＝6，a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(2)2＝16，所以椭圆C的方程为＋＝1. 7．(5分)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足＝＋，则动点Q的轨迹方程是________． 答案　＋＝1 解析　设Q(x，y)， ∵＝＋， ∴＝－＝， ∵P是椭圆＋＝1上的任意一点， ∴＋＝1，∴＋＝1. 8．(5分)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________________． 答案　(3，) 解析　由已知可得a2＝36，b2＝20， ∴c2＝a2－b2＝16， ∴c＝4. 由于M为C上一点且在第一象限，则MF1>MF2， ∴MF1＋MF2＝2a＝12>2MF2， ∴MF2≠F1F2＝8， ∵△MF1F2为等腰三角形， ∴MF1＝F1F2＝8， ∴MF2＝2a－MF1＝12－8＝4， 设点M的坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 则＝F1F2·y0＝4y0， 又＝×4×＝4， ∴4y0＝4，解得y0＝， ∴＋＝1， 解得x0＝3或x0＝－3(舍去)， ∴M的坐标为(3，)． 9．(10分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程；(5分) (2)设点P在这个椭圆上，且PF1－PF2＝1，求∠F1PF2的余弦值．(5分) 解　(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2， 且3a2＝4b2， 所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于点P在椭圆上，所以PF1＋PF2＝2a＝2×2＝4.又PF1－PF2＝1，所以PF1＝，PF2＝.又F1F2＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝. 故∠F1PF2的余弦值等于. 10．(12分)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA＋EB为定值，并写出点E的轨迹方程． 解　圆A的方程整理可得(x＋1)2＋y2＝16，点A的坐标为(－1,0)，如图所示， 因为AD＝AC， 所以∠ACD＝∠ADC. 因为EB∥AC， 所以∠EBD＝∠ACD， 故∠EBD＝∠ADC. 所以EB＝ED， 故EA＋EB＝EA＋ED＝AD. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16， 从而AD＝4， 所以EA＋EB＝4. 由题设得A(－1,0)，B(1,0)．AB＝2， 由椭圆定义可得点E的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． 11．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　) A．9 B．12 C．10 D．8 答案　A 解析　方法一　∵·＝0，∴PF1⊥PF2. ∴PF＋PF＝F1F且PF1＋PF2＝2a. 又a＝5，b＝3，∴c＝4， ∴ 由②2－①，得2PF1·PF2＝36， ∴PF1·PF2＝18， ∴△F1PF2的面积S＝PF1·PF2＝9. 方法二　∵·＝0， ∴PF1⊥PF2， ∴∠F1PF2＝， 则△F1PF2的面积S＝b2·tan ＝b2＝9. 12.如图所示，已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，B在x轴上，∠BAF2＝90°，且F1是BF2的中点，O为坐标原点，若点O到直线AB的距离为3，则椭圆C的方程为(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　∠BAF2＝90°且BF1＝F1F2，则△AF1F2是等边三角形， 设F1F2＝2c，则a＝2c，① ∴直线AB的方程为＋＝1，即bx－3cy＋3bc＝0， ∴O到直线AB的距离为＝3，② 又a2＝b2＋c2，③ 联立①②③，解得a2＝16，b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1. 13．(多选)已知椭圆C：＋＝1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若OF1＝OA，△OF1A的面积为2，则AF1的值可以为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　BD 解析　设AF1的中点为N，连接ON，如图，因为OF1＝OA， 所以ON⊥AF1，记AF1＝m，AF2＝n， 因为点O为F1F2的中点，所以ON为△F1AF2的中位线， 所以ON＝AF2＝n， 又因为AF1＋AF2＝2a＝6， 则有得 解得或所以AF1＝2或4. 14．(5分)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 AN＋BN＝________. 答案　12 解析　取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有GF1＝AN，GF2＝BN， 所以AN＋BN＝2(GF1＋GF2)＝4a＝12. 15．若点P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　B 解析　由椭圆的定义， 可得PF1＋PF2＝6，F1F2＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝＝－1. 又PF1＋PF2＝6≥2， ∴PF1·PF2≤9， ∴－1≥－1＝－，当且仅当PF1＝PF2＝3时等号成立， ∴cos∠F1PF2的最小值为－. 16．(12分)(1)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，求PF1·PF2的最大值；(4分) (2)已知A(1,1)，F1是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求PA＋PF1的最大值和最小值．(8分) 解　(1)∵a＝10,20＝PF1＋PF2≥2， ∴PF1·PF2≤100，当且仅当PF1＝PF2时取等号，∴PF1·PF2的最大值为100. (2)设F2为椭圆的右焦点，5x2＋9y2＝45可化为＋＝1，由已知，得PF1＋PF2＝2a＝6， ∴PF1＝6－PF2，∴PA＋PF1＝6－(PF2－PA)． ①当PA>PF2时，有0<PA－PF2≤AF2，等号成立时，PA＋PF1最大，此时点P是射线AF2与椭圆的交点，PA＋PF1的最大值是6＋. ②当PA<PF2时，有0<PF2－PA≤AF2，等号成立时，PA＋PF1最小，此时点P是射线F2A与椭圆的交点，最小值是6－. 综上，可知PA＋PF1的最大值为6＋，最小值为6－. 学科网（北京）股份有限公司 $