2.3 圆与圆的位置关系-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，通过奥运五环、自行车轮等生活实例导入，类比上一节课圆与直线位置关系的研究方法，搭建从已知到未知的学习支架，系统呈现位置关系判定、公共弦长计算及相切问题等核心内容。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，结合几何法与代数法培养数学思维，通过表格梳理位置关系、公式规范表达公共弦方程等强化数学语言。例如例1用几何法判断两圆相交，例2结合勾股定理求公共弦长，步骤清晰且注重方法总结。学生能掌握判定技巧，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第2章 圆与方程 1 2.3 圆与圆的位置关系 2 圆与圆之间的关系是日常生活中经常见到的现象，如奥运五环、自行 车轮、啮合的齿轮等，你知道这些圆有着怎样的位置关系吗？本节课我们 一起来探讨吧！ 上图反映了圆与圆的位置关系.本节课我们类比上一节课研究圆与圆的 位置关系. 返回导航 新课导入 3 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 两圆的位置关系及其判定 思考 两个半径不同的圆的公共点个数出现几种情况？每种情况对应的圆 的位置关系一样吗？ 提示 公共点个数有0个、1个及2个的情况，其中当公共点个数为0时，位 置关系有外离和内含；当公共点个数为1时，位置关系有外切和内切；当 公共点个数为2时，位置关系为相交. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.几何法：若两圆的半径分别为,,两圆的圆心距为 ,则两圆的位置关系 如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 _____________________ _______________________ _____________________ __________________ __________________ 与, 的关系 ①___ ②___ ③___ ④___ ⑤___ ⑥___ = = 返回导航 8 2.代数法：设两圆的一般方程为 , , 联立方程组 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 两圆的位置关系 ⑦______ ⑧______或 ⑨____________ ⑩______或⑪ ______ 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 相交 外切 内切 外离 内含 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例1）已知两圆 和 . （1）当 时，两圆位置关系如何？ 【解】当时，圆 ，圆 ，圆心,半径，圆心 ， 半径，所以圆心距, ， ，因为 ，所以两圆相交. 返回导航 10 （2）当 为何值时，两圆外切、内切？ 【解】由 ， 可得 ， 即圆心为，半径 ， 由，可得 ， 即圆心为，半径 ， 所以圆心距 ，若两圆外切， 则 ， 即 ， 返回导航 11 所以或 . 若两圆内切，则 ， 即 ， 所以或 . 返回导航 （1）几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①将两圆的一般方程化为标准方程； ②求两圆的圆心坐标和半径， ； ③求两圆的圆心距 ； ④比较与， 的大小关系，从而判断两圆的位置关系. （2）代数法判断圆与圆的位置关系的注意点 将两圆的方程联立，消元后化为一元二次方程， ①由 得两圆相切，但无法判断内切还是外切； ②由 得两圆相离，但无法判断内含还是外离； ③由 得两圆相交. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）已知圆 ，圆 ，则圆与圆 的位置关系为( ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 解析：选C.由题意知，圆的圆心与圆的圆心 ，所以两 圆的圆心距为3， 又圆的半径为1，圆的半径为2，且圆心距等于圆与圆 的半径之 和，所以圆与圆 的位置关系为外切.故选C. √ 返回导航 14 （2）若圆和圆 有两个不同的公共点，则实 数 的取值范围是_ __________________. 返回导航 15 解析：圆的圆心为，半径 ， 由，得，所以圆心为 ， 半径 ， 因为圆和圆 有两个不同的公共点， 所以两圆相交，因为圆 恒过原点， 所以圆 的直径大于2， 所以，解得或 ， 所以实数 的取值范围是 . 返回导航 16 二 两圆相交问题 ［例2］ 求圆与圆 的公共弦的长. 【解】 根据题意，设两圆的交点为和 , 又由圆,圆 , 得直线的方程为 ， 圆的圆心为，半径 , 圆心到直线 的距离 ， 返回导航 17 则 . 即圆与圆的公共弦的长为 . 返回导航 18 母题探究 求经过圆 和圆 的交点,圆心在直线 上的圆的方程. 解：方法一:联立方程组 解得或 得两圆的交点， . 设所求圆的圆心为，因为圆心在直线上，故 . 则 ， 返回导航 19 解得，故圆心为，半径为 . 故所求圆的方程为 ， 即 . 方法二：设所求圆的方程为 ， 其圆心为 ， 代入 ， 解得 . 故所求圆的方程为 . 返回导航 （1）公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求 出弦长； ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距 构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 返回导航 21 （2）两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法 已知圆 和圆 ， 方程①： ， 其中 为任意实数.当两圆， 相交时， （ⅰ）若，则方程①表示过两圆， 的交点的直线； （ⅱ）若，则方程①表示过两圆， 的交点的圆系方程 （但方程①所表示的圆不包括圆，圆系中的一切圆都和圆， 相 交）. 返回导航 22 常用结论 若圆 与圆 相交，则两圆公共弦所在的直线方程为 . 返回导航 23 ［跟踪训练2］ 已知圆 和圆 . （1）求证：圆和圆 相交； 解：证明：根据题意，圆的圆心为 ，半径 ， 圆 ， 得 ， 圆心为，半径 ， 所以圆心距，因为，所以圆 和 圆 相交. 返回导航 24 （2）求圆与圆 的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长. 解：将两圆方程相减，有 ，即两圆公共弦所在直线的方程为 ，圆心到的距离 ， 故公共弦的长为 . 返回导航 25 三 两圆相切问题 ［例3］ （1）（多选）若两圆和 相 切，则实数 的值可以为( ) A. B. C. D. 解析：根据题意，圆的圆心坐标为 ，半径长为2，圆 的圆心坐标为 ，半径长为5. 若两圆相切，分两种情况讨论： 当两圆外切时，有，解得 ；当两圆内切时，有 ，解得 . 综上所述，实数的值为或 . √ √ √ 返回导航 26 （2）经过点，且与圆 相切于原点的圆的 方程为______________________. 解析：由题意知圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径，所求圆与圆切于原点，则圆心在直线 上， 设圆心为，又圆过点及原点，所以圆心在直线 上， 即，，所以所求圆的方程为 . 返回导航 27 处理两圆相切问题的两个步骤 （1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须 分两圆内切还是外切两种情况讨论. （2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径 之差的绝对值（内切）或两圆半径之和（外切）. 返回导航 28 ［跟踪训练3］ （1）若圆 与圆 外切，则 的值是( ) A.16 B.8 C.4 D.1 解析：选C.圆，则圆心，半径 ； 圆，则圆心，半径 ,则 ，则，解得 . √ 返回导航 29 （2）以点为圆心，且与圆 相切的圆的方程为 ________________________________________________. 或 解析：由圆，可得圆心坐标为 ，半径为1，设所求圆的半 径为，可得或 ，解得 或，所求圆的方程为 或 . 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.两圆和 的位置 关系是( ) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 解析：选B.由得 ，圆心 为，，由 得 ，圆心为， ， 两圆心的距离为，明显地， ， 所以，两圆的位置关系是外切.故选B. √ 返回导航 32 2.已知圆与圆 的 公共弦所在直线与轴垂直，则实数 的值为( ) A. B. C.2 D.4 解析：选D.由题意，两方程相减得到公共弦所在直线方程为 ,因为公共弦所在直线方程与 轴垂直，所以 ，解得 . √ 返回导航 33 3.已知圆与圆 有4 条公切线，则 的取值范围为______________________. 解析：由题可得，圆，圆心为 ，半径为2，圆 ，圆心为 ，半径为1. 因为两圆有4条公切线， 所以两圆外离， 故圆心距 ， 解得 . 返回导航 34 4.写出一个半径为3且与轴和圆 都相切的圆的标准方程 ________________________________. （答案不唯一） 解析：圆的圆心为 ，半径为2， 结合图象可知， 圆心为 ，半径为3的圆， 即，与 轴相切， 与圆 的位置关系是内切. 返回导航 35 1.已学习：圆与圆的位置关系. 2.须贯通：（1）几何法、代数法判断两圆的位置关系. （2）求两圆公共弦长的方法. 3.应注意：判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而漏解. 返回导航 36 $