2.3圆与圆的位置关系限时训练-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

圆与圆的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 【基础巩固】 1．圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝1的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49 3．已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋ (y－1)2＝1的位置关系是(　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为(　　) A.＋4 B.－4 C.＋4 D.－4 5．(多选)已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于(　　) A．－3 B．3 C．57 D．－57 6．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A. B．4 C. D. 7．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0内切，则实数a，b的关系是________________． 8．(5分)过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________． 9．(10分)已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程． 10．(10分)已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；(5分) (2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．(5分) 【综合运用】 11．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为(　　) A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 12．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 13．(5分)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 14．(5分)已知两圆C1，C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线x＋y＝2都相切，则两圆圆心的距离C1C2＝________. 【创新拓展】 15．(5分)若点M，N在圆C1：x2＋y2＝1上运动，且MN＝，点P(x0，y0)是圆C2：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上一点，则|＋|的取值范围为________. 16．(12分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求直线l1的方程；(6分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．(6分) 圆与圆的位置关系 1．D　[圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝1的圆心为(0,3)，半径为1. 两圆的圆心距为＝5>1＋3，所以两圆外离，故两圆的公切线的条数为4.] 2．BCD　[由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为C(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3. ∵C1C＝∈(r1－r，r1＋r)， ∴两圆相交，不满足条件； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵C2C＝5＝r＋r2， ∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5， ∵C3C＝3＝r3－r， ∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵C4C＝5＝r4－r， ∴两圆内切，满足条件．] 3．C　[圆M的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，则圆心为(a,0)，半径R＝a，因为直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切， 所以＝a，解得a＝2， 则圆M的圆心为M(2,0)，半径R＝2，圆N的圆心为N(1,1)，半径r＝1，则MN＝＝， 因为R＋r＝3，R－r＝1，所以R－r<MN<R＋r，即两个圆相交．] 4．A　[圆C1的圆心为(－1，－1)，半径r1＝1，圆C2的圆心为(3,4)，半径r2＝3，则圆心距为d＝＝>1＋3，所以两圆外离，又A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为d＋r1＋r2＝＋4.] 5．AC　[由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切． 因为A(1,0)，B(1,6)， 所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9， 圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m. 因为两圆相切， 所以CM＝|3±|， 即5＝|3±|， 解得m＝57或m＝－3.] 6．D　[ 由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0,0)到直线l的距离d＝，圆O的半径R＝2， 所以直线l被圆O截得的弦长为 2＝2＝.] 7．4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心为C1(－2a,0)，半径为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1，圆心为C2(0，b)，半径为1. 由于两圆内切， 所以＝2－1＝1， 整理得4a2＋b2＝1. 8．x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析　设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)， 则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0， 把圆心代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝， 所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 9．解　圆O1的方程化为(x－4)2＋(y－4)2＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，解得a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16. 10．解　(1)由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3. (2)设过圆C1与圆C2交点的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，所以2＋2＝，由圆心到直线x＋2y＝0的距离等于圆的半径，可得＝，解得λ＝1，故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0. 11．B　[因为PC垂直平分AB，故弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的公共弦，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0.] 12．ABD　[对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以AB＝2＝，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．] 13．4 解析　到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距AB＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 14．4 解析　因为两圆C1，C2和x轴正半轴、y轴正半轴及直线x＋y＝2都相切， 所以两圆圆心都在直线y＝x上， 设C1(a，a)， 则圆C1的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 设C2(b，b)， 则圆C2的方程为(x－b)2＋(y－b)2＝b2， 因为两圆均与直线x＋y－2＝0相切， 所以＝a，即(a－2)2＝2，解得a＝2±， 令a＝2－，则b＝2＋， 所以两圆圆心的距离C1C2＝＝4. 15．[7,13] 解析　设圆C1的半径为r＝1，因为点M，N在圆C1：x2＋y2＝1上运动，且MN＝， 所以圆心C1到线段MN中点的距离为＝，故线段MN的中点H在圆C3：x2＋y2＝上， 而|＋|＝2||， 圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1. 故C2C3－－1≤PH≤C2C3＋＋1， 即≤PH≤， 故|＋|＝2||∈[7,13]． 16．解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线方程为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为 y－1＝k(x－1)．即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心(3,4)到直线l1的距离等于半径2， 所以＝2， 即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设圆心D(a，a＋2)． 又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知CD＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$