第1章 专题探究01 直线中的最值问题-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019)

专题探究01 直线中的最值问题 黑题 专题强化 限时：35min 题组1与距离有关的最值问题 5.(2025·浙江宁波镇海中学高二月考)已知直 1.直线1：x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交 线l1:mx+y+2m-3=0,2:mx+y-m+1=0,则直 于点Q,m是实数，0为坐标原点，则1OQ1的 线L,与l2之间的距离最大值为 最大值是 6.(2025·江苏南京高二月考)已知 A.2 B.22 C.23 D.4 0<x<1,0<y<2,则√2+y+ 2.(2025·江苏镇江高二期中)已知1：3x+4y+ √x2+(2-y)2+√(1-x)2+y2+√(1-x)2+(2-y)2的 6=0,P(m,n)为1上一动点，则(m+1)2+n 最小值为 的最小值为 ( 题组2与面积有关的最值问题 B.5 C.9 7.(2024·云南昆明高二月考)已知0<k<4,直 5 D36 25 线l1:kx-2y-2k+8=0和直线2：2x+2y-4k2- 3.(2025·河北沧州高二期中)已知点A在直线 4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这 x-y=0上，点B在直线x+1=0上，点P的坐 个四边形面积最小的k值为 ( 标为(2,4)，且A,B,P三点不共线，则△ABP 周长的最小值为 ( A c D.1 A.2/15 B./17 8.(2025·江苏泰州高二月考)如图， C.2/17 D.8 将一块直角三角形木板AB0置于 4.（多选)(2025·重庆南岸区高二期中)古代数 平面直角坐标系中，已知AB=OB=1,AB⊥ 学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火 08,点P分，4)是三角形木板内一点，现因 之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再 三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏 回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面 部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将 直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4).军 三角形木板锯成△AMN,设直线MN的斜率 营所在位置为B(6,2),河岸线所在直线的方 为k 程为x+y-3=0,若将军从出发点到河边饮马， (1)用k表示出直线MN的方程，并求出M,N 再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则 的坐标： (2)求锯成的△AMN的面积的最小值 A.将军从出发点到河边的路线所在直线的 方程是6x-y-8=0 B将军在河边饮马的地点的坐标为（传， C.将军从河边回军营的路线所在直线的方 程是x-6y+6=0 D.“将军饮马”走过的总路程为52 第1章黑白题015 第1章章末检测 (时间：120分钟总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共6.(2025·江苏连云港高二期中)若直线1与直 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 线x=3交于点P,与直线x-y+5=0交于点 符合题目要求的， Q,且线段PQ的中点是(1，-1)，则1的斜率为 1.(2025·江苏南京高二月考)直线1过点 ( A(-4,3),B(-1,0),则1的倾斜角为 B、2 c ( A.30° B.60° 7.(2025·江苏无锡高二月考)已知实数x,y满 C.120° D.150 足)=宁且-2≤≤3，则的取值范 x+1 2.(2025·江苏盐城高二月考)直线1：x-y+1= 围为 0与直线l2:2x-2y+3=0的距离是 ( A(,lu[3,*m) 4 C.2 D.1 B.-2.3] 3.(2025·江苏扬州高二月考)已知点A(2,4), C.(-0,-1]U[3,+∞) B(-3,2),则线段AB的垂直平分线的方程为 D.[-1,3] 8.(2025·江苏南通如皋中学高二期中)在平面 A.10x+4y-7=0 直角坐标系xOy中，记动点P为(o,y) B.10x+4y+2=0 (x≥0，≥0)，若点P在直线x+y=4上，则 C.10x+4y-17=0 x+√后+y后的最小值为 () D.4x+10y-7=0 A.2 B.4 4.(2025·江苏南通海安高级中学高二月考)直 C.6 D.8 线1的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1,若直线1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 不经过第二象限，则实数α的取值范围为 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 ( 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分， A.a>2 B.-2≤a≤3 有选错的得0分 C.a≥2 D.a≥4 9.(2025·江苏常州高二期中)下列说法中，正 5.(2025·江苏泰州高二期中)“a=-1”是“直 确的有 线ax+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平 A.直线y=3x-2在y轴上的截距是-2 行”的 ( B.直线2x-y+5=0经过第一、二、三象限 A.充分不必要条件 C.过点P(1,2)且在x轴、y轴上的截距相等 B.必要不充分条件 的直线方程为x+y-3=0 C.充要条件 D.过点(5,0)，且倾斜角为90的直线方程为 D.既不充分也不必要条件 x-5=0 选择性必修第一册，SJ黑白题016月，即1c-山=3，c=3或e=-1(合…直线cP的方程为y +3又点P(,)在直线=5 3 1 13 +3上.2 3m*3 解得空实故以的值为学故毒人 {41,} 解析：若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这 三条直线把平面分成7部分： 如果这三条直线将平面划分为六部分，包括两种情况能够成立： ①D直线x+2y+8=0过另外两条直线的交点，由4x+3y=10和2x-y= 10的交点是(4，-2)，代人解得a=-1: ②直线ax+2y+8=0与另外两条直线的其中一条平行，当直线 +3+8=0和直线4+3=10平行时，只需号号-员0解得a= 号：当直线+2+8=0和直线2y=10平行时，只需号号产 -10此时a=-4 综上，0的取值案合是{-41，受}故答案为{-4-1，} 7.√7解析：f(x)=√[x-(-3)]+(0-2)-√(1)+(0-1)了， ,f八x)表示为点P(x.0)与点A(-3,2)的距离减去点P(x,0)与点 B(1,1)的距离，(x)=|PAI-IPBL,义IPAI-|PB1≤|ABI= √(-3-1)+(2-1)2=√/7，当P是直线AB与x轴交点时取等 号x)的最大值为√7故答案为7 8.解：(1)因为折痕的斜率为-1时，点A落在线段DG上，可知折痕必 过点D(0,1),所以直线方程为y=-x+1, (2)①当6=0时，此时点M与点D重合，点M坐标为(0,1)，折痕所 在的直线方程为y=了②当本40时，将矩形折叠后点A落在线段 DG上的.点记为M(a,I)(0<≤2).则A与M关于折痕所在的直线 对称，有km·6=-1,即a=-古，点M坐标为(-k,1)(-2≤k<0), 从而折痕所在的直线与OM的交点坐标（即线段0M的中点）为 6(专)折所在的直线方程为y=(号)即 21 1=+2+2（-2≤c0).综上所述，点M坐标为(-k.)(-2≤≤0. 折痕上任一点(x,y)满足的等式为y=+ 21 2+2(-2sks0. (3)当k=0时，折痕长为2当-2+5≤k<0时，折痕所在直线交BC ）交y轴于ro,生')因为1=2 21 于点E2,2+ [(号)】 =4+42≤4+4(7-45)=32-165，则 折痕长的最大值为√32-163=2√8-212=2(6-√2)>2.综上 所述，折痕长的最大值为2(6-2)。 压轴桃战 (2-2,1)解析：由题意可得，△4BC的面积为】·1AB1·10C1= 子x42=4,直线=m+6o>0)与轴的交点为v(名0） 由直线y=r+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b>0. 故么<0，故点M在射线01上设直线y=+b和BC的交点为N,则 化可得点的坐标为（倍） ①若点M和点A重合，如图①，则点N为线段BC的中点，故N(1.1), 把A,N两点的坐标代入直线y=a+6,求得a=了b=3 1 2 选择性必修第一册·SJ ②若点M在点0和点A之间，如图②，此时6b>子，点N在点B和点C 之间，由题意可得△NWB的面积等于2，即】 ·8=2,即子× )以明如气0*有宁 ③若点在点A的左制，如图3，则<子由点V的横坐标-冬<-2。 求得>2a.设直线y=r+h和AC的交点为P,则由t,求得点P y=x+2 的坐标为 (2-b 2u-h ,此时，由题意可得，△CPW的面积等于2，却 a-1'a-1 之2-6)1=2.即2(2-6… 2-b2-b =2,化简可得 (2-b)2=21m2-11.由于此时0<a<b<1,所以(2-b)2=21a2-11=2-2m2. 两边开方可得2-b=√2-2<2，所以b>2-2,故有2-2<h<子 2 综上可得，b的取值范围应是(2-2,1).故答案为(2-反，1) 3 专题探究01直线中的最值问题 黑题 专题强化 1.B解析：因为：x-my-2=0与2：x+y+2=0的交点坐标为 /2-2m-2-2m .所以10Q1= /8(1+m2)_22 √(1+m2)2/+m ,当m=0时，1001=22，所以100的最 大值是22.故选B. 2.C解析：由于(m+1)2+m2=(√(m+1)2+m2)2,所以(m+1)2+m2的 最小值即为P(m,)与(-1,0)的距离的平方的最小值，则点(-1,0) 到直线/上的点P(m,n)的最小值即为点(-1,0)到直线I的距离， 号所以(a1的最小值为（广品放 故d=1-3+613 选C 3,C解析：如图，依题意，点P(2,4)关于直线x-y=0的对称点为 P,(4,2),关于直线x+1=0的对称点为P2(-4,4),则1PA1=1P,A1, IPBI=IPBI,△ABP的周长=IPA1+IPB1+IABI=IPAI+ 1PB1+1AB1≥1P,P21=√(-4-4)+(4-2)=217，当且仅当 点A,B分别是直线P,P,与直线x-y=0及直线x+1=0的交点时取 等号，所以△ABP周长的最小值为27.故选C 42,4 6.2 x+y-3=0 (第3题) (第4题) 4.BD解析：由题可知A,B在x+-3=0的同侧，设点B关于直线x+ a+6bt2-3=0, 2 y-3=0的对称点为B(.b),如图所示.则 2 解得 b-2 ×(-1)=-1. a-6 a=1,即B(1,-3 b=-3, 对于A,将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB,又A(2,4), -3-4 所以直线极"的方程为)广41一2(x-2),即7xy10=0,故A错 黑白题010 误：对于B,设将军在河边饮马的地点为M,则M即为直线7x-y 10=0与直线x+y-3=0的交点，联立两直线方程，解得 “(侣号)，故正确：对于G,将军从河边国军有的路战所在直 线为BM.又B(6,2),所以直线BM的方程为y-2= 3(x-6, 86 x-7y+8=0,故C错误：对于D.总路程为1MA|+1MB1=1MA1+ 1WB'1=1AB1=√(2-1)2+(4+3)2=52.所以“将军饮马”走过的 总路程为52，故D正确.故选BD. 5.5解析：直线41：mx+r+2m-3=0化简为m(x+2)+y3=0,令x+2= 0且-3=0，解得x=-2,y=3,所以直线11过定点A(-2,3).直线 2:m+y-m+1=0化简为m(x-1)+y+1=0,令-1=0且y+1=0,解 得x=1,y=-1,所以直线I过定点B(1,-1),当AB与直线11，L垂 直时，直线4,2的距离最大，且最大值为AB √(-2-1)2+(3+1)2=5，故答案为5. 6.25解析：如图.取点0(0,0).A(1.0).B(1.2).C(0,2).顺次连接得矩 形ABC,设P(x,y),0<x<I.0<y<2,显然点P在矩形0ABC内，因此 √x22+/x2+(2y)2+√(1-x)2+2+√/(1-x)2+2y)2=1P01+ IP℃1+1PA1+IPBI,而1POI+IPB1≥1OBI=5,当且仅当点P在线 段OB上（除端点外）时取等号，1PC1+1PA1≥IAC1=√5，当且仅当 点P在线段AC上（除棉点外）时取等号，因此IPO1+IPCI+IPA|+ 1PB1≥25，当且仅当P是0B与AC的交点时取等号，此时 P(分所以当=宁y=1时，原可42可 √(1-x)+厅+√/(1-x)+(2-y)2取得最小值25.故答案为25. (第6题) (第7题) 7.C解析：：k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4)，2：2(y-4)=4-2x也 过定点(2,4)，如图所示，在11的方程中，令x=0,则y=4-k,在12的 方程中，令y=0,则x=22+2,则点A(0,4-k),B(2h2+2,0),S= 24442宁一（付）广，侣自=次而数惟质可 1 得，当=名时，S取得最小值放选C 息解：)设直线M:=6,因为直线W过点P(兮，)，所以 上去，}6，即6=-空所以如y=+之又因为 A(1,1),B(1,0),易得直线0A:y=x,直线AB:x=1,联立 2k-1 x= 42'解得 4(k-联立红+人《 42‘解得 2k-1 y=， y产4k- x=1. x=1, 1v(品）4) 4 (2)因为如=子如=子，所以-子≤k≤子，所以1-e [分]因为1M=1,,设到直线N的距离为 4 4 4则41品品所以5=：号 2 4 2--4wg[- 4(k-1)32(1-6) 32(1-) 参考答案 小g(行）小当且仅当1，即=时。 等号成立，所以5的最小值为 第1章章末检测 上.D解桥：由于1的斜率为。-，放倾斜角a满足ama= 又0°≤<180°.从面g=150.故选D 31 3 2A解析：直线4：2-2y+3=0化为+2=0，又直线4：*-+1=0， 3 所以11∥2，所以直线1与直线2的距离是 √1+(-1)2 故选 4 解折：2高号段的中为（）小所以 4-22 段松的垂直平分线的方程是一3=(+），化为1+4 7=0,故选A. 4C解析：①若直线1斜率不存在，即a=2.:=号不经过第二象限： 3-10， 3a-11 2若直线1斜率存在，即a*2,1:y= -2a-2所以 n-2 030 >2,综上.实数a的取值范围为a≥2.故选C 5.C解析：若a=-1.则直线分别为-x+3y+3=0和直线x-3y+1=0,满 足平行.即充分性成立 若直线x+3y+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行， ①当=0时，直线分别为3y+3=0和x-23+1=0.不满足条件： g当a0时.满是-号号甲a(e-23.每得。=3合 或a=-1.所以必要性成立， 综上.“a=-1”是“直线r+3yr+3=0和直线x+(a-2)y+1=0平行 的充要条件，故选C 6.A解析：设P(小)，Q(2).由题意得，x,=3又线段PQ的中 点是(1，-.则1，故=-1又0在5=0上，则 5=0.故2=4又=-1，故=-6，于是P(3,-6,0-1,4),根 2 4-(-6).5故选入 据斜率公式k=k0=一1-3 2 13 1.A解析：由于点(x,)满足关系式y=了弓，且-2≤≤3，可知 M(x.y)在线段AB上移动.且A(-2.-1),B(3.0).设Q(-1.2). ，2-（-1)=3,k=1-3=”2A为品M川，y)在线设AB 则k0t=-1-(-2) 上.所子的取值范是(，]小3，).放法入 8.B解析：如图，作点0关于直线x+y=4的对 称点C,设C(,),则有 x(-10=- 解得4所以C(4,4. 4 =4. 因为动点P为(n,0)(n≥0，n≥0)，所以1P01=1P℃1= √+后，点P到y轴的距离为，所以x+√+后可视为点 P(no)到y轴的距离和到C(4,4)的距离之和，过点P作PD1 y轴于D.过点C作CH⊥y轴于H.显然有IPDI+IPC≥ICD1.当且 仅当P与H重合时取等号，此时ICD川=|CH川=4，即x0+√x的 最小值为4.故选B 黑白题011