1.4 两条直线的交点-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第1章 直线与方程 1 1.4 两条直线的交点 2 如图,小王与小李两位同学早上从家出发去上 学， 同时到达学校.假设两人的行走路线都是直 线，则学校可以看作两条直线的交点，本节课我们 将学习两直线的交点. 返回导航 新课导入 3 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 两条直线的交点的判定 思考 关于，的二元一次方程组 的解 与直线 与 有何关系？ 提示 方程组的解对应的点 ，为两条直线的公共点. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.两条直线的交点 设两条直线的方程分别是 ， .如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直 线上，交点的坐标一定是这两个方程的①________；反之，如果这两个二 元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和 的 交点. 公共解 返回导航 8 2.方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线， 的公共点 ②______ ③________ ④______ 直线， 的位置关系 ⑤______ ⑥______ ⑦______ 一个 无数个 零个 相交 重合 平行 返回导航 9 ［例1］ （对接教材例1）判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出 交点坐标： （1）， ； 【解】因为方程组 的解为所以直线与 相交，交点坐标为 . （2）， ； 【解】因为方程组 无解， 所以两直线无公共点， . 返回导航 10 （3）， . 【解】因为方程组有无数组解，所以与 重合 返回导航 11 判定两直线的位置关系有以下两种方法 （1）利用方程组解的个数判断. （2）利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线 <m></m>，<m></m>不全为0<m></m>，<m> </m>，<m></m>不全为0<m></m>. ①当<m></m>时，两直线相交；②当<m></m>，且 <m></m><m></m>或<m></m>时，两直线重合；③当 <m></m>，且<m></m><m></m>或<m></m>时，两直线 平行；④当<m></m>时，两直线垂直. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）直线和 的交点 坐标为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为方程组的解为 因此直线和的交点坐标为 . √ 返回导航 13 （2）若直线与直线的交点纵坐标为4，则 的值是 ( ) A. B. C.2 D.4 解析：选A.因为直线与直线 的交点纵坐标为4，所以将 代入直线方程中，得.所以交点坐标为 .将交 点坐标代入中，得 . √ 返回导航 14 二 直线系过定点问题 ［例2］ 已知直线 ．求 证：直线恒过定点，并求点 的坐标． 【证明】 方法一（特值探路法）：取 ，得到直线 ， 取，得到直线 , 故与的交点为 ． 将点代入直线 方程左边， 返回导航 15 得 , 所以点在直线 上． 所以直线恒过定点 ． 方法二（分离参数法）：原方程整理为 ， 则由得 所以直线恒过定点 ． 返回导航 16 解含参数的直线恒过定点问题的策略 （1）任意给直线中的参数赋予两个不同的值，得到两条不同的直线，然 后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得 解. （2）含有一个参数的二元一次方程，若能整理为 <m></m>的形式，其中<m></m> 是参数，这就 说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组<m></m> 解得，若整理成<m></m>的形式，则表示所有直线过定点 <m></m>. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ 无论为何值，直线 都 过一个定点，则该定点为( ) A. B. C. D. 解析：选D.直线方程可化为 ，则此直线过 直线和直线的交点.由 解得 因此所求定点为 . √ 返回导航 18 三 过两直线交点的直线方程 ［例3］ 已知直线过两条直线和 的交点，且 与直线平行，求直线 的方程. 【解】 方法一：解方程组 得所以交点坐标为 . 又由直线的斜率为，得直线的斜率为 ， 则直线的方程为 ， 即 . 返回导航 19 方法二：由于直线与直线平行，故设直线 为 .联立解得故直线 过点 ， 故，解得，故直线的方程为 . 返回导航 20 方法三：设直线的方程为 ， 即 . 又因为直线与直线 平行, 所以解得 ，代入整理可得直线 的方程为 . 返回导航 21 （1）求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件 求出直线方程. ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系 数法求出参数，最后确定直线方程. 返回导航 22 （2）过两条直线交点的直线系方程的设法 设直线，不同时为0 ， ，不同时为0，则过， 的交点的直线系 方程为其中， 为参数， 且.当，时，此方程即为直线 的方程；当 ，时，此方程即为直线 的方程. 返回导航 23 ［跟踪训练3］ 已知直线，，则过 和 的交点且与直线 垂直的直线方程为________________. 解析：由 ， ，联立方程可得 又直线的斜率为，所以所求的直线斜率为 ，故直线方程为 ，即 . 返回导航 24 PART 02 课堂巩固 自测 25 1.直线和 的交点坐标为( ) A. B. C. D. 解析：选B.解方程组 得所以所求交点坐标为 . √ 返回导航 26 2.（教材PT改编）若三条直线, 和 交于一点，则 的值为( ) A. B. C.3 D. 解析：选C.联立得 把代入得 . √ 返回导航 27 3.若三条直线，，构成三角形，则 的取值 范围是( ) A. B.， C. D.， 解析：选A.因为三条直线，， 构成三角形， 故三条直线中任意两条直线不平行，且三条直线不共点. 而直线和交于原点，无论为何值，直线 总 不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线 与另两条直线不 平行， 所以 .故选A. √ 返回导航 28 4.设直线经过和 的交点，且与两坐标轴 围成等腰直角三角形，则直线 的方程为_____________________________. 或 解析：方法一：由得 所以两条直线的交点坐标为 , 由题意可得直线的斜率为1或，所以直线的方程为 或 ，即或 . 方法二：设直线的方程为 ，整理得 ，由题意，得 ，解得 或，所以直线的方程为或 . 返回导航 29 1.已学习：方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系. 2.须贯通：（1）两条直线相交的判定方法. （2）经过两直线交点的直线系方程的设法. 3.应注意：明确两直线相交的条件. 返回导航 30 $