1.2.3 直线的一般式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

第1章 直线与方程 1 1.2 直线的方程 1.2.3 直线的一般式方程 2 观察下列4条直线的方程：; ; ; ,会发现它们表示同一条直线，那么它们有没有 统一的形式呢？这就是我们要学习的直线的一般式方程. 返回导航 新课导入 3 1.掌握直线的一般式方程. 2.理解关于，的二元一次方程，不同时为0 都表示 直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 直线的一般式方程 思考1 任何一条直线的方程都是关于， 的二元一次方程吗？ 提示 当直线与轴不垂直时，经过点，斜率为 的直线的方程为 ，即，此方程是关于， 的二 元一次方程. 当直线与轴垂直时，经过点的直线的方程为 ，此方程也 可看作是关于， 的二元一次方程. 因此，任意一条直线的方程都可以用关于， 的二元一次方程 ，不全为0 来表示. 返回导航 7 思考2 关于，的二元一次方程，不全为0 都表示平 面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示 当时，方程可以写成 ，它表示 斜率为，在轴上的截距为 的直线. 当，时，方程可以写成 ，它表示垂直 于 轴的直线. 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于， 的二元一次方程 ，不全为0 都表示一条直线. 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.定义 方程_________________，不全为0 叫作直线的一般式方程. 返回导航 9 2.直线各种形式方程的互化 返回导航 10 ［例1］ 根据下列条件，分别写出直线的方程,并化为一般式方程. （1）过点，斜率为 ； 【解】因为直线过点，斜率为 ，所以直线方程为 ,即 . （2）过点，与 轴垂直； 【解】因为直线过点，与 轴垂直， 所以直线方程为,即 . 返回导航 11 （3）斜率为3，在轴上的截距为 ； 【解】因为直线的斜率为3，所以设直线的方程为 ， 又因为直线在轴上的截距为 ， 所以,可得 ， 所以直线的方程为 ， 即 . （4）过点， . 【解】因为直线过点， ， 所以直线的方程为,即 . 返回导航 12 根据已知条件求直线方程的解题策略 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件 选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： （1）已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； （2）已知直线的斜率和在<m></m>轴上的截距时，选用斜截式； （3）已知直线上两点的坐标时，选用两点式； （4）已知直线在<m></m>轴、<m></m>轴上的截距时，选用截距式. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）若直线过点且倾斜角为 ，则直线 的方 程为( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为直线的倾斜角为 ，则斜率为 ，又直 线过点，则直线的方程为，即 .故选C. （2）已知直线经过点,，则直线 的一般式方程为_________ ______. 解析：因为直线经过点,，所以直线的方程为 ， 化简得.故直线的一般式方程为 . √ 返回导航 14 二 直线的一般式方程化为其他形式的方程 ［例2］ （对接教材例6）设直线 的方程为 . （1）化直线的方程为截距式,并求当在轴上的截距为时 的值； 【解】直线的截距式方程为 , 令，解得 . （2）已知直线的斜率为1，求 的值． 【解】因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为 . 由题意得 ， 解得 ． 返回导航 15 （1）若方程表示直线，则需满足， 不全为0. （2）令可得直线在轴上的截距；令可得直线在 轴上的截距. 若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式. （3）解分式方程要注意验根. 返回导航 16 ［跟踪训练2］ （1）（多选）关于直线 ，下列说法正 确的有( ) A.直线的斜率为 B.经过点 C.在轴上的截距为2 D.直线 经过第二、三、四象限 解析：选.因为直线，令，可得 ，即 直线经过点，故B正确；由可得 ， 所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线 经过第二、三、 四象限，故A，C错误，D正确.故选 . √ √ 返回导航 17 （2）若直线的倾斜角是 ， 则实数 的值为___. 3 解析：由题意可得且,解得或 （舍去）.所以 . 返回导航 18 三 直线的一般式方程的应用 ［例3］ 已知直线 . （1）求证直线 恒过定点，并求出该定点坐标； 【解】方法一：由，得 . 令得故直线恒过定点 . 方法二：由，得 ，表示过点 的点斜式方程，即直线恒过定点 . 返回导航 19 （2）为使直线不经过第二象限，求 的取值范围. 【解】设，则直线的斜率为.如图所示， 要使 不经过第二象限，需斜率，所以的取值范 围为 . 返回导航 20 母题探究 是否存在实数，使得直线与轴和 轴的正半轴都相交？若存 在，求出 的取值范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值； 若不存在，请说明理由. 解：存在实数.由本例（1）知，直线 恒过第一象限 的点 ， 设直线与轴和轴分别交于，两点，则, ， , 由题意，得解得 ，所以存在实数 ,使得直线与轴和 轴的正半轴都相交. 返回导航 21 . 因为 ，所以 , 当 ， 即时， 的面积取得最小值8. 返回导航 （1）已知含参数的直线的一般式方程为,不全为0 ， 求参数的值或取值范围的步骤： 返回导航 23 （2）直线恒过定点的求解策略 ①将方程化为点斜式，求得定点的坐标. ②将方程变形，把, 转化为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值 都成立，故需系数为零，解方程组可得, 的值，即为直线过的定点. 返回导航 24 ［跟踪训练3］ 已知过定点的直线分别交 轴、 轴的正半轴于点，， 为坐标原点. （1）若是线段的中点，求实数 的值； 解：由题易得直线过定点，又为的中点，故 ，故 . 返回导航 25 （2）求 的最小值. 【解】设，，其中，，则直线 的方程可写成 ， 将代入得， ，故 ，当且仅 当，即，时取等号，故 的最小 值为 . 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角 为( ) A. B. C. D. 解析：选D.可变形为 ，所以该直线的斜率 为，又因为倾斜角的范围为 ，因此该直线的倾斜角为 . √ 返回导航 28 2.（多选）（教材PT改编）已知直线 ，则下列说法正确 的是( ) A.直线过点 B.直线的斜率为 C.直线在轴上的截距为 D.直线在轴上的截距为 解析：选.对于A，因为 ，即直线不过点 ，所以A不正确；对于B，D，由 ，得到 ，所以直线斜率为，在轴上的截距为 ，所以B，D正确； 对于C，由直线，令，得到 ，所以C不正确. √ √ 返回导航 29 3.过定点且倾斜角是直线 的倾斜角的两倍的直线的 一般式方程为___________________. 解析：直线的斜率为，倾斜角为 ，故所求直线的倾斜 角为，所求直线的斜率为 ，所以所求直线方程为 ，即 . 返回导航 30 4.已知直线 . （1）当直线在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍时，求实数 的值； 解：由条件知，且，在直线的方程中，令得 ，令 得，所以 ， 解得或 ， 经检验，或均符合要求,故实数的值为1或 . 返回导航 31 （2）求直线 所过定点的坐标. 【解】由，得 . 由 解得所以直线所过定点的坐标为 . 返回导航 32 1.已学习：（1）直线的一般式方程； （2）一般式方程和其他几种形式方程之间的转化. 2.须贯通：（1）求直线的一般式方程的策略； （2）直线的一般式方程的应用. 3.应注意：当方程表示一条直线时，， 必不能同时为0. 返回导航 33 $