1.2.3直线的一般式方程课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

1.2.3 直线的一般式方程 作者编号：32200 1. 掌握直线方程的一般式，并会用它求直线的方程. 2. 会进行直线方程的五种形式之间的转化. 学习目标 作者编号：32200 直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程. 2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线. 问题导入 作者编号：32200 可以；x − x0 = 0 可化为 x + 0·y − x0 = 0； 问题1:当直线 l 过点 P0 (x0，y0) 且斜率不存在，即倾斜角 α = 90°时，直线 l 的方程为 x − x0 = 0，此时直线方程可以看成关于 x，y 的二元一次方程吗？ 结论1:平面上任意一条直线都可以用一个关于 x，y 的二元一次方程表示； 形式： Ax + By + C = 0 ( A、B 不同时为 0 ). 新知学习 作者编号：32200 问题2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不同时为0) 都表示一条直线吗？ 结论2:每个关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0) 都表示一条直线． ① 当B ≠ 0 时： ② 当B = 0，A ≠ 0 时： 方程变形为 ，表示过点 (0， )，斜率为 的直线； 方程变形为 ，表示过点 ( ，0)，且垂直于 x 轴的直线. 新知学习 作者编号：32200 01 直线的一般式方程 关于 x，y 的二元一次方程 Ax + By + C = 0 (A、B 不全为0)叫作直线方程的一般式. 注意：对于直线的一般式方程，规定： ① x 的系数为正； ② x，y 的系数及常数项一般不出现分数； ③ 按含 x 项，含 y 项、常数项顺序排列. 在求直线方程时，最后结果一般都化成一般式方程. 新知学习 作者编号：32200 二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线 ． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线 ． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线 ． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线 ． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线 ． 与x轴平行 与x轴垂直 与x轴重合 与y轴重合 过原点 新知学习 作者编号：32200 例1 求直线l：3x-2y+6=0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图. 解：将直线l：3x-2y+6=0写成 因此，直线l的斜率k= ，它在y轴上的截距是3. 令y=0，可得x=-2，即直线l在x轴上的截距是-2. 所以直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-2，0)，B(0，3)，过点A，B作直线，即可得直线l. O x y –2 –1 –3 1 1 3 –1 A 2 4 B 画一条直线时，只要画出这条直线上的两点就可以了，通常是找出直线与两坐标轴的交点. 新知学习 作者编号：32200 例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. 解：(1)由点斜式得直线方程为：y-3=(x-5)，即x-y-5+3=0. (2)由两点式得直线方程为：，即2x+y-3=0. 新知学习 作者编号：32200 例2 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴. (3)由截距式得直线方程为：=1，即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 新知学习 作者编号：32200 归纳总结 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式． 作者编号：32200 例3 直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6＝0(k≠3)，分别根据下列条件确定k的值. (1)直线l的斜率为2； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝-x+2， 由题意得- ＝2，解得k＝2. (2)由题易知直线l不过原点，所以直线l的方程可化为+＝1， 由题意得k-3+2＝0，解得k＝1. 新知学习 作者编号：32200 例4 一根铁棒在20 ℃时，长10.402 5米，在40 ℃时，长10.405 0米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程求这根铁棒在25 ℃时的长度. 解：由题意这条直线经过两点(20，10.402 5)和(40，10.405 0)， 根据直线的两点式方程得 ， 即， 当t=25℃时，， 即当t=25℃时，铁棒长为10.403125米. 新知学习 作者编号：32200 1.过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(　　) A.4x＋3y＋12＝0 B.4x＋3y－12＝0 C.4x－3y＋12＝0 D.4x－3y－12＝0 2.斜率为－3，且在x轴上的截距为2的直线的一般式方程是(　　) A.3x＋y－6＝0 B.3x－y－6＝0 C.3x＋y＋6＝0 D.x＋3y－6＝0 3.若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是_____. C A 3 当堂检测 作者编号：32200 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 一点P(x0,y0)和斜率k y – y0 = k (x – x0) 不垂直于x轴的直线 斜率k，纵截距b y = kx +b 不垂直于x轴的直线 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 不垂直于x轴、y轴的直线 横截距a和纵截距b 不垂直于x轴、y轴，不过原点的直线 直线方程的五种形式 系数 A、B Ax + By + C = 0 A、B 不全为 0的直线方程 课堂小结 作者编号：32200 $