1.2.2 直线的两点式方程-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线的两点式方程”与“直线的截距式方程”，以斜拉桥实例创设情境导入，衔接上节课点斜式知识，通过问题链引导学生从几何要素抽象方程形式，搭建递进式学习支架。 其亮点在于融入核心素养，用数学眼光观察斜拉桥模型提炼问题，通过探究、例题（如例2分类讨论过原点情况）培养数学思维严谨性，以规范语言表达方程适用条件，课堂小结强调易错点。助力学生构建知识体系，教师教学逻辑清晰、层次分明。

第1章 直线与方程 1 1.2 直线的方程 1.2.2 直线的两点式方程 2 斜拉桥又称斜张桥,桥身简约刚毅，力感十足.若 以桥面所在直线为轴，桥塔所在直线为 轴建立平 面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与 桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？这 两个点有什么特别之处吗？ 返回导航 新课导入 3 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 直线的两点式方程 上节课我们已经学习了直线的点斜式方程，请思考下列两个问题： 思考1 如图，给定直线上两点， 且，如何用点斜式写出 的方程？ 提示 或 . 思考2 给定直线上两点，， ，任选直线上一 点，其中不与，重合，那么与 有什么关系？ 提示 ，即 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 经过两点，其中， 的直线方程 _____________叫作直线的两点式方程. 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例3） （1）已知直线经过, 两点，求这条直线的方程； 【解】由直线的两点式方程，得，即 . 返回导航 9 （2）已知直线经过点, ，求这条直线的方程． 【解】当直线斜率不存在，即时，直线方程为 ； 当直线斜率存在，即时，利用两点式，可得直线方程为 ， 即 ． 综上所述，当时，直线方程为 ； 当时，直线方程为 ． 返回导航 10 利用两点式求直线方程的步骤 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点 式求方程，在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用 点斜式求方程. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）（2025·邢台期中）已知直线 的两点式方程为 ，则( ) A.直线经过点 B.直线的斜截式为 C.直线的倾斜角为锐角 D.直线的点斜式为 解析：选C.由题意，直线不经过点 ，故A，D错误；将两点式化为斜 截式：，故B错误；直线的斜率为，所以直线 的倾斜角 为锐角，故C正确. √ 返回导航 12 （2）已知点，.若的中点坐标为，则直线 的方 程为_______________. 解析：由题可得解得即， . 由两点式方程可得，即 . 返回导航 13 二 直线的截距式方程 思考 若给定直线上两点， ，你能否得出直线 的方程呢？ 思考 提示 由两点式方程可得，即 . 返回导航 14 ［知识梳理］ 名称 截距式 已知条件 直线与轴的交点为，与轴的交点为 ， 且, 图示 _________________________________________ 方程 适用范围 斜率存在且不为零，不过原点的直线 返回导航 15 ［例2］ （2025·郑州期中）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线 的方程是( ) A. B. C.或 D.或 解析：当直线过原点时，其方程是，符合题意;当直线 不过原 点时，设直线的方程为，将代入，可得 ， 解得，所以直线的方程是 . √ 返回导航 16 求直线的截距式方程的注意点 （1）如果已知直线在两坐标轴上的截距，且两截距均不为0，可以直接代 入截距式求直线的方程. （2）将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在<m></m>轴和<m></m>轴上的截距， 这一点常用于作图. （3）解决问题的过程中要对直线在两坐标轴上的截距进行分类讨论. 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （1）经过点，的直线在 轴上的截距为 ( ) A.2 B. C. D.27 解析：选D.由两点式得直线方程为，令，得 .故经过 点，的直线在 轴上的截距为27. √ 返回导航 18 （2）过点 且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数多条 解析：选B.当截距都为零时满足题意，直线方程为 ; 当截距不为零时，设直线方程为，所以所以 或 即直线方程为或 ， 所以满足条件的直线共有3条.故选B. √ 返回导航 19 三 截距式方程的应用 ［例3］ 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于， 两 点， 为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程. 返回导航 20 （1） 的周长为12； 【解】设直线方程为 ， 由题意可知， .① 又因为直线过点，，所以 ，② 由①②可得，解得或 所以所求直线的 方程为或，即或 . 返回导航 （2） 的面积为6. 【解】设直线方程为 ， 由题意可知解得 或所以所求直线的方程为或 ，即 或 . 返回导航 22 母题探究 本例条件不变，当 的面积最小时，求直线的方程. 解：由本例（1）知， . 所以 . 即，当且仅当，即，时取等号， 面积 的最小值为，此时直线方程为 , 即 . 返回导航 23 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线的 截距式方程，若设直线在轴、轴上的截距分别为， ，则直线与坐标 轴所围成的三角形的面积为，周长为 . 返回导航 24 ［跟踪训练3］ （1）已知直线的斜率为2,则 的值为__. 解析：易知直线过点,，则直线的斜率为 ，解 得 . 返回导航 25 （2）若直线的斜率为2，且直线 与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求 直线 的方程. 解：设直线的方程为 . 易知直线与轴、轴的交点坐标分别为,，，则直线 与两坐 标轴围成的三角形的面积为，解得.所以直线 的方 程为或 . 返回导航 26 PART 02 课堂巩固 自测 27 1.经过点, 的直线的两点式方程为( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为直线经过点, ， 所以由直线的两点式方程可得直线方程为 ， 即 .故选A. √ 返回导航 28 2.（多选）下列说法中错误的是( ) A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.与 是直线的截距式方程 C.直线方程的斜截式都可以化为截距式 D.在轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为 √ √ √ 返回导航 29 解析：选.对于A，直线方程的截距式为，其中 ， 故不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，A错误； 对于B，， 都不是直线的截距式方程，B错误； 对于C，直线方程的斜截式为 的情况下，不能化为截距式方程，C 错误； 对于D，在轴、轴上的截距分别是2，3的直线方程为 ，D正确. 返回导航 30 3.已知直线在轴上的截距比在轴上的截距小1，且过定点 ，则 直线 的方程为________________________________. 或 解析：设直线的方程为 . 则，解得或 ， 则直线的方程是或 ， 即或 . 返回导航 31 4.已知直线经过点和点 . （1）求直线 的两点式方程，并化为截距式方程； 解：由已知得直线的两点式方程为，整理得 .所以直 线的截距式方程为 . （2）求直线 与两坐标轴围成的图形面积. 【解】由（1）知直线在轴、轴上的截距分别为4和8，所以直线 与两 坐标轴围成的图形的面积为 . 返回导航 32 1.已学习：（1）直线的两点式方程. （2）直线的截距式方程. 2.须贯通：（1）求直线的两点式方程的策略. （2）直线的截距式方程应用的注意点. 3.应注意：利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 返回导航 33 $