江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二暑期数学夏令营练习03 直线的两点式方程

徐州三中23级高二暑期夏令营练习03　直线的两点式方程 1、 单选题： 1.经过点(－2，1)，(1，4)的直线的方程为(　　) A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 2.在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 3.已知点M(1，－1)，N(2，5)，则线段MN的中点坐标为 (　　) A.(3，4) B. C.(1，6) D. 4. 若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则(　　) A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0 5.若直线l经过点(－1，－1)，(2，5)，且点(1，b)在直线l上，则b的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D4 6.已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是　　 A． B． C． D． 7.经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 8.过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点．当的面积最小时，的方程为　　 A． B． C． D． 2、 多选题： 9.下列说法不正确的是( 　　) A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示 B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示 C.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定可以写成截距式 D.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定可以写成两点式 10.经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线的方程可以是( ) A. x＋y－3＝0 B. x＋y＋3＝0 C. x－y－1＝0 D. x－y＋5＝0 11.下列说法正确的是(　 　) A.方程＝k不能表示经过点M(x1，y1)且斜率为k的直线 B.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线的方程为＋＝1 C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D.经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 12.过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 　　 A． B． C． D． 3、 填空题： 13.已知直线经过点(－3，－2)，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为0，则该直线的方程为_________． 14.经过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点， 则直线l的截距式方程为_______． 15.直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l经过点(2，0)，则a＝____；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝______． 16.已知点A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，则边BC上的中线所在直线的方程为 ． 4、 解答题： 17.在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．求： (1) 顶点C的坐标； (2) 直线MN的方程． 18.已知直线l经过点(1，2)． (1) 当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程； (2) 若直线l分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，求使△AOB的面积最小时直线l的方程． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中23级高二暑期夏令营练习03　直线的两点式方程 参考答案及解析 1、 单选题： 1.经过点(－2，1)，(1，4)的直线的方程为(　A　) A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 解析：由直线的两点式方程，得 ＝ ，整理，得直线的方程为y＝x＋3. 2.在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线的方程为(　A　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析：由直线的截距式方程，得＋＝1. 3.已知点M(1，－1)，N(2，5)，则线段MN的中点坐标为 (　B　) A.(3，4) B. C.(1，6) D. 解析：已知点M(1，－1)，N(2，5)，则线段MN的中点坐标为，即. 4. 若直线＋＝1经过第一、二、三象限，则(　C　) A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0 解析：因为直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a＜0，b＞0. 5.若直线l经过点(－1，－1)，(2，5)，且点(1，b)在直线l上，则b的值为(　C　) A.1 B.2 C.3 D4 解析：因为直线l经过点(－1，－1)，(2，5)，所以由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，整理，得y＝2x＋1.由于点(1，b)在直线l上，故将(1，b)代入方程y＝2x＋1，得b＝2×1＋1，解得b＝3. 6.已知直线经过点，，则下列不在直线上的点是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知的两点求出直线的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解． 【解答】解：由直线的两点式方程，得直线的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线上，点不在直线上． 故选：． 7.经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有 (　C　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：① 当在两坐标轴上的截距相等时，设直线的方程为＋＝1(a≠0)．因为点(4，－3)在直线上，所以－＝1，解得a＝1.所以直线的方程为x＋y－1＝0.② 当在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线的方程为＝1(a≠0)．因为点(4，－3)在直线上，所以 ＝1，解得a＝7.所以直线的方程为x－y－7＝0.③ 当在两坐标轴上的截距都为0时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)．因为点(4，－3)在直线上，所以－3＝4k，解得k＝－.所以直线的方程为y＝－x.综上所述，满足题意的直线共有3条． 8.过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点．当的面积最小时，的方程为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意设直线的截距式方程为，可得，由基本不等式可得，可得的面积，可得此时直线的方程． 【解答】解：由题意设直线的截距式方程为， 直线过，， ，， 当且仅当即且时取等号， 的面积， 面积的最小值为4，此时直线的方程为， 化为一般式方程可得． 故选：． 2、 多选题： 9.下列说法不正确的是(　ABC　) A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示 B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示 C.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定可以写成截距式 D.不与坐标轴重合或平行的直线，其方程一定可以写成两点式 解析：当直线的斜率不存在时，经过点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示，故A不正确；当直线的斜率不存在时，经过点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b来表示，故B不正确；当直线经过原点时，其方程不可以写成截距式，故C不正确；易知D正确． 10.经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线的方程可以是(AC) A. x＋y－3＝0 B. x＋y＋3＝0 C. x－y－1＝0 D. x－y＋5＝0 解析：由题意，设直线的方程为＋＝1或＋＝1(a≠0，b≠0)．把(2，1)代入直线方程，得＋＝1或＋＝1，解得a＝3，b＝1.所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 11.下列说法正确的是(　AD　) A.方程＝k不能表示经过点M(x1，y1)且斜率为k的直线 B.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线的方程为＋＝1 C.直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D.经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 解析：方程＝k表示经过点M(x1，y1)且斜率为k，但不含点M的直线，故A正确；在x轴、y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0的直线的方程为＋＝1，故B错误；直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为|b|，故C错误；经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的方程为＝(x1≠x2，y1≠y2)，可变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，故D正确． 12.过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为　　 A． B． C． D． 【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设． 【解答】解：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得 所以或 解得或 所以直线方程为或，故，正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为， 由题可知，故直线方程为，正确． 故选：． 【点评】本题考查直线的方程的应用，属于基础题． 3、 填空题： 13.已知直线经过点(－3，－2)，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为0，则该直线的方程为____x＋y＋5＝0_____． 解析：由题意，可设直线的方程为x＋y＝a(a≠0)，把(－3，－2)代入，可得－3－2＝a，解得a＝－5，所以该直线的方程为x＋y＝－5，即 x＋y＋5＝0. 14.经过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点， 则直线l的截距式方程为___＋＝1____． 解析：设A(m，0)，B(0，n)，由P(1，3)是AB的中点，可得m＝2，n＝6，所以点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，6)．所以直线l的截距式方程为＋＝1. 15.直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l经过点(2，0)，则a＝____；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝ __1或2____． 解析：因为直线l：ax＋y－2＋a＝0经过点(2，0)，所以2a＋0－2＋a＝0，解得a ＝ . 因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以① 当直线l经过坐标原点时，则截距都为0，此时－2＋a＝0，解得a＝2；② 当直线l不经过坐标原点时，方程可化为＋＝1，所以 ＝2－a，解得a＝1.综上所述，a＝1或2. 16.已知点A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，则边BC上的中线所在直线的方程为 ． 解：设BC的中点为M(a，b)，则a＝＝，b＝＝－3，所以点M的坐标为.又因为边BC的中线经过点A(－3，2)，所以由直线的两点式方程，得＝，整理，得10x＋11y＋8＝0.所以边BC上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 4、 解答题： 17.在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．求： (1) 顶点C的坐标； (2) 直线MN的方程． 解析：(1) 设点C的坐标为(x0，y0)，则边AC的中点为M，边BC的中点为N.因为点M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.又因为点N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.所以顶点C的坐标为(－5，－3)． (2) 由(1)，可得点M，N(1，0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0. 18.已知直线l经过点(1，2)． (1) 当直线l在两坐标轴上的截距相等时，求直线l的方程； (2) 若直线l分别交x轴正半轴、y轴正半轴于A，B两点，求使△AOB的面积最小时直线l的方程． 解析：(1) 当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，可得直线的斜率k＝2，此时直线的方程为y＝2x；当直线l在两坐标轴上的截距相等且不为0时，可设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝3，此时直线的方程为x＋y＝3，即x＋y－3＝0.综上所述，直线l的方程为y＝2x或x＋y－3＝0. (2) 设直线l的方程为＋＝1，a＞0，b＞0，则＋＝1，S△AOB＝ab＝ (2a＋b)＝(2a＋b)＝≥ ＝4，当且仅当＝且＋＝1，即a＝2，b＝4时，等号成立，此时直线l的方程为2x＋y－4＝0. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$