1.1 直线的斜率与倾斜角-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“直线的斜率与倾斜角”，通过泰山十八盘实例导入，衔接坡度概念与斜率定义，构建“实际情境—概念抽象—公式推导—应用拓展”的学习支架，帮助学生逐步掌握斜率公式、倾斜角范围及两者关系。 其亮点在于以情境创设激活数学眼光，用“思考—例题—跟踪训练”问题链驱动数学思维，结合图形分析（如直线与y轴夹角求倾斜角）培养几何直观，通过三点共线、斜率范围等应用问题强化数学语言表达。课堂小结系统梳理方法，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

第1章 直线与方程 1 1.1 直线的斜率与倾斜角 2 泰山为五岳之首,其十八盘更有名.“拔地五千丈,冲霄十八盘.”泰山之雄伟， 尽在十八盘,泰山之壮观,尽在攀登中.十八盘岩层陡立，坡角 ,在不 足 的距离内升高400米.你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢? 返回导航 新课导入 3 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 直线的斜率 思考1 当直线与 轴垂直时，斜率公式是否成立？ 提示 当直线与轴垂直时，斜率公式依然成立，此时 . 思考2 在直线上任取两点， ，求直线的斜率时是否需要考虑两点的 顺序？ 提示 直线的斜率与， 两点的顺序无关. 返回导航 7 ［知识梳理］ 1.坡度的概念 在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画，坡度指坡面的 铅直高度与水平宽度的比. 2.直线的斜率 对于直线上的任意两点, ， （1）如果,那么由相似三角形的知识可知， 是一个①______， 我们将其称为直线的斜率，②______ . （2）如果,那么直线 的斜率③________. 定值 不存在 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例1）分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）， ； 【解】经过点，的直线的斜率为 . （2）， ； 【解】经过点，的直线的斜率为 . （3）， ； 【解】经过点，的直线的斜率为 . 返回导航 9 （4）， . 【解】当时，直线与轴垂直，其斜率不存在；当 时，其斜率 . 返回导航 10 当直线与轴不垂直时，求直线的斜率可用下列公式 或 ，其中 . 注意 应用斜率公式计算直线斜率时，两个点的横坐标与纵坐标的前后顺 序必须保持一致. 返回导航 11 ［跟踪训练1］ （1）过点，的直线的斜率为1，那么 的值为( ) A.1或4 B.4 C.1或3 D.1 解析：选D.因为直线过点， ，且斜率为1，所以 ，解得 .故选D. √ 返回导航 12 （2）设点，，，直线 的斜率等于直 线的斜率的3倍，则实数 ___. 4 解析：依题意知直线的斜率存在，则.由 ，得 ，解得 . 返回导航 13 二 直线的倾斜角 思考 在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的 方向为这条直线的方向，图中过点 的直线有什么区别？ 提示 直线的方向不同，相对于 轴的倾斜程度不同. 返回导航 14 ［知识梳理］ 1.倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把 轴绕着交点按①________方向旋转到与直线重合时，所转过的②________ ___ 也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角 称为这条直线的倾斜角. 逆时针 最小正角 2.规定：与 轴平行或重合的直线的倾斜角为③___. 3.范围：直线的倾斜角 的取值范围是④_________________. 0 ｝ 返回导航 15 4.直线的倾斜角与斜率的关系 （1）当直线与轴不垂直时，该直线的斜率与倾斜角 之间的关系为⑤ __________ . （2）当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为⑥______；当直线的斜率为 负时，直线的倾斜角为⑦______. 锐角 钝角 返回导航 16 ［例2］ （1）（多选）下列命题中，正确的是( ) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为 C.倾斜角为 的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为 ,则 解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为 的直线有无数条，它们都垂直于轴，故A，C正确，B错误；当 时，；当 时，，故D错误.故选 . √ √ 返回导航 17 （2）如图所示，直线与轴的夹角为 ，则直线 的倾斜角为______. 解析：根据倾斜角的定义知，直线的倾斜角为 . 返回导航 18 求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法:根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角. （2）关注点:结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内 角和定理及其有关推论. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ （1）（多选）（2025·南阳期中）已知直线,, 的斜率 分别是,,，倾斜角分别是 , , ，且 ，则下列关系可 能正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.当倾斜角都为小于 的角或都是钝角时， ； 当倾斜角为两个小于 的角和一个钝角，即 , 为小于 的角， 是钝角时，；当倾斜角为一个小于 的角和两个钝角，即 为小于 的角， , 是钝角时， . √ √ √ 返回导航 20 （2）已知直线经过点，倾斜角为 ，若将直线绕点 逆 时针旋转 后，得到直线，则直线 的倾斜角为_____. 解析：因为直线的倾斜角为 ，所以绕点逆时针旋转 后， 得到直线的倾斜角为 . 返回导航 21 三 倾斜角与斜率的应用 角度1 三点共线问题 ［例3］ 判断下列三点是否在同一条直线上： （1），， ； 【解】因为，，所以 ，所以 ，， 三点不在同一条直线上. （2），， . 【解】因为，，所以 .又直线 与直线有公共点，所以，， 三点在同一条直线上. 返回导航 22 用斜率公式解决三点共线的方法 返回导航 23 角度2 求解范围问题 ［例4］ 已知过点的直线与以点和 为端点的 线段相交，求直线 的斜率的取值范围. 【解】 由题意作出图形，如图，因为 ， ,若要使直线与线段相交， 则或 ， 所以直线的斜率的取值范围为 . 返回导航 24 母题探究 本例条件不变，求直线的倾斜角 的取值范围. 解：由例题可知，直线的斜率满足或，所以 或 ，因为 ，且当时符合题意，所以 . 所以直线的倾斜角 的取值范围为, . 返回导航 25 数形结合法求斜率的取值范围 已知线段<m></m>的端点及线段外一点<m></m>，求过点<m></m>且与线段<m></m>有交点的直 线<m></m>的斜率取值范围：若直线<m></m>，<m></m>的斜率均存在，则解题步骤如下： （1）连接<m></m>，<m></m>； （2）由斜率公式求出<m></m>，<m></m>； （3）结合图形即可得出满足条件的直线<m></m>的斜率的取值范围. 提醒 如果在直线<m></m>的转动范围内有倾斜角为<m></m>的直线，那么直线<m></m>的斜率的 取值范围为分界线<m></m>，<m></m>的斜率的两边；如果没有倾斜角为<m></m>的直线，那 么直线<m></m>的斜率的取值范围为分界线<m></m>，<m></m>的斜率之间. 返回导航 26 ［跟踪训练3］ （1）若，，， 三点在同一条直线 上，则 的值为( ) A. B.2 C. D. 解析：选D.因为，，三点在同一条直线上，所以 ，所以 ，解得 . √ 返回导航 27 （2）（2025·驻马店期中）已知，，若点在线段 上，则 的取值范围是_____. , 解析：当点与重合，则，，则 ，当 点与重合，则，，则，把 看作 动点与定点的斜率 ， 再结合图象： 利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知 ,.综上，的取值范围是， . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.已知直线与轴的夹角为 ，则直线 的斜率为( ) A. B. C.或 D.或 解析：选当直线与轴正半轴的夹角为 时，直线 的倾斜角为 ， 所以斜率为；②当直线与轴负半轴的夹角为 时， 直线的倾斜角为 ，斜率为.综上，直线的斜率为 或 . √ 返回导航 30 2.（多选）（2025·南京月考）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是 ( ) A.任意一条直线都有倾斜角和斜率 B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 或 D.若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率为 √ √ √ 返回导航 31 解析：选.对于A，当直线的倾斜角为 时，直线没有斜率，故A不 正确；对于B，当直线的倾斜角为 时，斜率为1，当直线的倾斜角为 时，斜率为，故B不正确；对于C，当直线与 轴垂直时，直线的 倾斜角是 ，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是 ，故C正确；对 于D，若一条直线的倾斜角为 ，则该直线的斜率不存在，故D不正确. 返回导航 32 3.（教材（1）改编）若，， 三点共线，则实数 的值为___. 解析：设直线，的斜率分别为，，则 ， .因为，，三点共线，所以 ，即 ，解得 . 返回导航 33 4.已知，， . （1）求直线和 的斜率； 解：由题可得直线的斜率，直线 的斜率 . 返回导航 34 （2）当点在线段（包括端点）上移动时，求直线 的斜率的取值范围. 【解】如图所示，， ， 当点在线段（包括端点）上移动时，直线 的斜率由负无穷增大到，由 增大到正无穷， 所以直线 的斜率的取值范围是 . 返回导航 35 1.已学习：（1）直线的斜率与倾斜角的概念. （2）直线的斜率公式. 2.须贯通：（1）求直线倾斜角的方法. （2）求直线斜率的方法. （3）直线的倾斜角与斜率之间的关系. 3.应注意：求直线的倾斜角或斜率的取值范围时，要结合图象对取值范围 作出判断，不要忽略倾斜角的取值范围. 返回导航 36 $