7.3.2 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质（二）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第7章 三角函数 7.3 三角函数的图象和性质 1 7.3.2 三角函数的图象与性质 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质（二） 2 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性 和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪 些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的 单调性与对称性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题． 返回导航 新课导入 3 1.掌握正弦函数、余弦函数的单调区间. 2.会比较三角函数值的大小. 3.掌握正弦函数、余弦函数的对称性. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 正弦函数、余弦函数的单调性 观察正弦曲线： 思考 函数在 上的单调区间是什么？ 提示 观察正弦函数图象可知增区间为，减区间为 . 返回导航 7 ［知识梳理］ 类别 正弦函数 余弦函数 图象 __________________________________________________ ___________________________________________________ 单调性 增区间 ①_ ________________________ ②___________________ __ 减区间 ③_ ________________________ ④___________________ _ , ,, ,, , 返回导航 8 ［例1］ 求函数 的单调区间. 【解】 令，则 . 因为 是增函数， 所以 单调递增（或单调递减）时， 函数 也单调递增（或单调递减）. 由 ， 得 ， 返回导航 9 即 ， 故函数的增区间为 . 同理可求得函数的减区间为 . 返回导航 10 母题探究1 求函数， 的单调区间. 解：由本例解析知 的增区间为 ,， ， 又因为，所以可得在,,,上，函数 单调递增，同 理可得在，上，函数单调递减.所以函数 ， 的增区间为，，减区间为 . 返回导航 11 母题探究2 求函数 的增区间. 解： ， 令，则的增区间是， ， 所以令 ， ，得 ， ， 所以函数的增区间为， . 返回导航 12 求正弦函数、余弦函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. （2）在求形如<m></m>（其中<m></m>，<m></m> ，<m></m> 为常数，且<m></m>, <m></m>）的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“<m></m> ”看作 一个整体“<m></m>”,即通过求<m></m>的单调区间进而求出原函数的单调区间. 求形如<m></m>（其中<m></m>，<m></m> ，<m></m> 为常数，且<m></m>,<m></m>）的 函数的单调区间同上. 返回导航 13 ［跟踪训练1］ （1）已知函数，则 ( ) A.在单调递减 B.在 单调递增 C.在，上单调递减 D.在， 上单调递增 解析：选D. , 故当时， ， 所以 不单调，故A,B错误； 当,时，,在 上单调递增， 故C错误，D正确.故选D. √ 返回导航 14 （2） 的减区间为______________________. , 解析：因为 ， 所以由 ， 得, ,,即所求减区间为, . 返回导航 15 二 利用正弦、余弦函数的单调性比较大小 ［例2］ （对接教材例5）不求值，比较下列各组数的大小. （1）与 ; 【解】 ， . 因为函数在 上单调递增， 而 ， 返回导航 16 所以 ， 所以 . 故 . 返回导航 17 （2）与 . 解：因为在上单调递增,所以 ， 在 上单调递减， 所以 , 故 . 返回导航 18 比较三角函数值大小的步骤 （1）异名函数化为同名函数. （2）利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. （3）利用函数的单调性比较大小. 提醒 对于一些三角函数值,也可以利用中间值来比较大小. 返回导航 19 ［跟踪训练2］ （1）（多选）下列不等式中成立的是( ) A. B. C. D. √ √ 返回导航 20 解析：选.对于A,因为 ， 且在, 上单调递增， 所以 ,故A正确； 对于B，, ，故B错误； 对于C，因为 ，且在, 上单调递减，所以 ,故C错误； 对于D, ，故D正确.故选 . 返回导航 （2） , , 的大小关系是_____________________ _________.（用“ ”连接） 解析：因为 , ， 而余弦函数在 上单调递减， 因此 ， 所以 . 返回导航 22 三 正弦函数、余弦函数的对称性 ［知识梳理］ 类别 正弦函数 余弦函数 图象 _____________________________________________ ______________________________________________ 对称轴 , , 对称中心 , ,, 返回导航 23 ［例3］ （1）已知函数 的图象的一条对 称轴是直线，则 ( ) A. B. C. D. 解析：因为函数 的图象的一条对称轴是直 线 ， 则 ， 所以 ， 因为 ，则 . √ 返回导航 24 （2）函数 的图象的对称轴是直线__________________， 对称中心是_ ________________. 解析：要使，必有 ，所以 ， 故函数的图象的对称轴是直线 . 因为函数的图象与轴的交点为对称中心，令 ， 即 ， 返回导航 25 所以 ， 即 . 故函数的图象的对称中心是 . 返回导航 26 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高 点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取得最大值或最小值；正弦曲线、 余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与 轴的交点，即此时的 正弦值、余弦值为0. 返回导航 27 ［跟踪训练3］ 函数 的图象的对称轴为直线__________ __________. ， 解析：由 ，，解得， ， 所以函数的图象的对称轴为直线， . 返回导航 28 PART 02 课堂巩固 自测 29 1.下列关系式中正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选C.因为 , . 又因为当 时， 单调递增,所以 ,即 .故选C. √ 返回导航 30 2.（多选）函数， 的图象的一条对称轴是( ) A.轴 B.直线 C.直线 D.直线 解析：选.由，，得， ，故函数 ，的图象的对称轴是直线， .所以直线 ,直线都是函数， 的图象的对称轴. √ √ 返回导航 31 3.函数 的增区间是________________________. , 解析：令 ， 得 ， 即的增区间是 . 4.函数 的图象的对称中心为__________________. ,， 解析：由，，得， ，故函数 的图象的对称中心为， . 返回导航 32 1.已学习：（1）正弦函数、余弦函数的单调性. （2）利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小. （3）正弦函数、余弦函数的对称性. 2.须贯通：（1）求函数 单调区间的整体 代换法： 把 看成一个整体,解出 的范围即可. （2）比较三角函数值大小的方法： 先转化为同一单调区间上的同名三角函数值，再利用单调性作出判断. 返回导航 33 （3）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最 高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、 余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与 轴的交点，即此时的 正弦值、余弦值为0. 3.应注意：单调区间不要漏写 . 返回导航 34 $