专题13 函数的单调性与最值（十一类类重难点题型）（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题13 函数的单调性与最值 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、函数单调性的判断与证明 类型二、求函数单调区间 类型三、利用函数的单调性求参数 类型四、利用函数的单调性比较大小 类型五、利用函数的单调性解不等式 类型六、分段函数单调性的应用 类型七、复合函数单调性 类型八、利用单调性研究函数的最值 类型九、利用函数的最值求参数 类型十、分类讨论研究含参函数的最值 类型十一、函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 压轴专练 类型一、函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性。 例1．已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【解析】， 所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到. 因为在和上单调递减， 所以在和上单调递减. 故选：D 变式1-1．设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【分析】通过定义法即可判断； 【解析】函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 ， 因为，且 所以， 所以，得， 所以函数在上单调递增； 变式1-2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【解析】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 变式1-3．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【解析】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 变式1-4．若定义在上的函数，对任意，都有，则称为“函数”． 现给出两个下列函数，其中是“函数”的是 ．（填出所有正确答案的序号） ①； ②； 【答案】② 【分析】先利用“函数”的定义分析得“函数”的性质，再对所给函数一一分析即可. 【解析】根据题意，对任意，都有恒成立， 则有，即， 当时，，则，即， 所以若函数为“函数”，则函数在上为增函数或常数函数； ①，因为开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在单调递增，故其不是“函数”，①错误； ②，易得在上单调递增，满足“函数”定义，故②正确； 故答案为：②. 类型二、求函数单调区间 对求函数单调区间两点说明： 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 例2．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【解析】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 变式2-1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【解析】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 变式2-2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【解析】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 变式2-3．函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【分析】作出函数的图象，可得出该函数的单调递减区间. 【解析】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、 变式2-4．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用分离常数法，得，结合的范围可得答案. 【解析】， 由，得， 当时，单调递减，单调递增； 当时，单调递减，单调递增， 所以的单调增区间为． 故答案为：． 变式2-5．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 【答案】和 【分析】对分和得到相应的，可得出该函数的单调递减区间. 【解析】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故答案为：和 类型三、利用函数的单调性求参数 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 例3．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解析】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 变式3-1．已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得到不等式组，解出即可. 【解析】由图可知在，上单调递减， 则或， 得或. 故选：B. 变式3-2．已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 变式3-3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解得即可. 【解析】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 变式3-4．已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【解析】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 变式3-5．已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【解析】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 类型四、利用函数的单调性比较大小 【技巧方法】 将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 例4．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【解析】因为在上是增函数，且， 所以. 故选： 变式4-1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，根据增函数的定义求解即可. 【解析】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 变式4-2．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对成性性，得到在区间上单调递增求解即可. 【解析】由，则得， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减，所以在区间上单调递增， 所以，故B正确. 故选：B. 变式4-3．已知函数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令函数，然后得出在区间上的单调性，进而作出判断即可. 【解析】令函数， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 又因为，所以，即. 故选：C. 变式4-4．设则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小. 【解析】设，当时，，则在单调递减， 所以在单调递减，所以，即. 故选：B. 类型五、利用函数的单调性解不等式 【技巧方法】 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 注意：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 例5．函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B. 变式5-1．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 变式5-2．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以及函数的单调性化简不等式，根据存在性问题的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】， 所以， 由于在上单调递减， 所以存在，使成立， 所以，， 解得，所以的取值范围是 故选：A 变式5-3．已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性，再求解不等式. 【解析】因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以解得或. 即不等式的解集为 故选：A. 变式5-4．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解析】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 变式5-5．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【解析】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 类型六、分段函数单调性的应用 若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） 【技巧方法】 由分段函数中的值域确定参量取值范围的解题方法： 已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 例6．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】保证每段函数单调递减和断点处函数值大小关系即可 【解析】由题意得在上单调递减，所以，解得． 故答案为： 变式6-1．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解. 【解析】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 变式6-2．已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解. 【解析】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当即时，在上单调递减， 函数是定义域上的减函数，则，解得. 故选：A. 变式6-3．已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数两段都递增，且在分界处函数值左侧不比右侧大可得参数范围. 【解析】因为函数在上是单调增函数，且. 所以 解得 故选：D. 变式6-4．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围. 【解析】由已知时，， 显然在单调递减，在单调递增， 所以在处取到最小值，， 当时， 时，在单调递减， 不符合，舍去； 当时，时，开口向下，不符合，舍去； 当时，时，开口向上，且对称轴为， 在单调减，在单调增， 若即，则，所以； 若即，则得； 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 变式6-5．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围. 【解析】， ，过定点， 开口向上，对称轴， 当时，在递减，在递增，最小值为， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 当时，，， 所以存在，使成立， 当时，在上递增，在递增， 即在上递增，所以不存在符合题意的. 当时，在上递增，在上递减，在上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 类型七、复合函数单调性 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 【技巧方法】 内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 例7．“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 变式7-1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案. 【解析】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A. 变式7-2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得. 【解析】若，则当时，函数单调递增， 又，函数在上单调递减， 若，则当时，函数单调递减， 只有时，才有可能使函数在上单调递减， ，解得 综上，实数的取值范围是 故选：A. 变式7-3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【解析】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 类型八、利用单调性研究函数的最值 利用函数单调性列出不等式（组）求解即可 【技巧方法】 （1）直接利用常见函数单调性求解； （2）利用单调性的性质研究函数单调性求解 例8．函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【解析】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为： 变式8-1．函数的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意可得函数的定义域为， ， 由复合函数的单调性可得函数为增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 变式8-2．函数的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由，得，即的定义域， 当时，与都单调递增， 所以在上单调递增，当时，取得最小值1． 故答案为：1. 变式8-3．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3)最大值为，最小值为6. 【分析】（1）直接由代入，即可求得； （2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性计算最值即可. 【解析】（1）函数，因为， 所以，则. （2）函数在上单调递增， 由（1）知，， 下面证明单调区间， 设，则， 由，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以， 则函数在上的最大值为，最小值为6 类型九、利用函数的最值求参数 利用函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最值列出关于参数的方程，进而求解参数的值（或者取值范围） 【技巧方法】 常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 例9．已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【解析】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 变式9-1．（多选）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ） A． B． C． D．5 【答案】BC 【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值. 【解析】由题意可知：， 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以，，解得，合乎题意； 当时，二次函数图象的对称轴为直线， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，合乎题意. 故选：BC. 变式9-2．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定的取值范围. 【解析】①当时，在上单调递增， 所以，因此满足题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减 （i）当时，在上单调递增， 所以，则， ， 所以，，， ，， ， 或或 ； （ii）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，即， ； 综上，的取值范围为. 故答案为： 变式9-3．函数在区间上的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】设，根据对勾函数的性质，求得最小值为，最大值为，结合绝对值的定义和题设条件，分三种情况讨论，求得函数的最大值，列出方程，即可求解. 【解析】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 因为在区间上的最大值为， 所以当，即时，可得函数， 即，此时方程无解； 当且，即时，函数，不符合题意，舍去； 当，即时，可得函数， 即，解得， 综上可得，实数的值为. 故答案为： 类型十、分类讨论研究含参函数的最值 【技巧方法】 一元二次函数在区间[m,n]上的最值： 当 ， 当， 当时， 时， 例10．（1）求二次函数在上的最大值和最小值，请求对应的值； （2）已知函数在上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）（2）或. 【分析】（1）化成顶点式，得到对称轴，根据二次函数性质即可得到最值； （2）先求出对称轴，再分和讨论即可. 【解析】（1）把二次函数解析式配成顶点式, 得： ， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以顶点的纵坐标即为最小值是， 而当时，函数值最大， 所以最大值是. 综上当，；当，. （2） 当时，不符合最大值为4，不合题意； 其对称轴为， ①当时，其图象开口向上，此时离对称轴更远， 当时有最大值，最大值为，，解得； ②当，其图象开口向下， 则当时函数有最大值，最大值为， ，解得. 综上所述的值为或 变式10-1．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【解析】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 变式10-2．若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要性，最值的定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出． 【解析】设，，， 因为函数在 的最大值为2，， 所以，解得：， 当时，函数在上先递减再递增， 而， 所以，，且，即函数在 的最大值为2，符合题意； 当时，函数在上递减，所以， 而，所以函数在 的最大值为2，符合题意， 综上，． 故答案为： 变式10-3．已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)3． 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）求得的对称轴为，分，，三种情况讨论可求在上的最小值； （3）分，，三种情况讨论可求的最大值, 【解析】（1）因为，， 所以，所以，解得． （2）由，得函数的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增，， 当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 当即时，在区间上单调递减，， 综上，； （3）由（2）知，当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最大值为3 类型十一、函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【技巧方法】 恒成立、能成立问题求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 例11．已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【解析】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，,，且， 则，， 则， ，即， 函数是,上的增函数,因此函数在单调递增， 故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 变式11-1．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果. 【解析】， 当时，， 令，则在上单调递增，， ，当时，恒成立， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式11-2．已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知得需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论a的范围，并解不等式即可求得答案. 【解析】由题意知对于任意的，存在，使得， 即得需满足； 函数在上单调递减，所以. 当时，在区间上单调递增，， 所以，解得，所以； 当时，在区间上单调递减，， 所以，解得，所以； 当时，也符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 变式11-3．若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 【答案】2 【分析】根据题意可得，利用对勾函数的单调性可求得，从而将问题再转化为恒成立，然后分情况求的取值范围. 【解析】， 即对，使不等式成立， ∴， ∵对勾函数在上单调递增，． 恒成立， 的对称轴， ∴，解得， 或，无解， 或，无解， 综上， 即的取值范围为． 的最小值是2 故答案为：2 变式11-4．已知函数,若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，然后分，和三种情况讨论的最大值，从而可求得结果. 【解析】因为对任意的正实数，存在，使得， 所以， 易知当时，在上单调递增， 所以时，，且， 因为，所以， 当，即时，， 因为，所以，所以； 当，即时，令，得， 所以，故； 当，即时，所以， 因为，所以，所以； 综上，，所以的取值范围为 1.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【解析】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 2.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 3.已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，，然后根据单调性比较大小即可. 【解析】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 4.已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【解析】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 5.定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据单调性的定义得到在上单调递减，结合，利用函数的单调性求解即可. 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 6.（多选）已知函数的最小值为0，（为自然常数，），则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断. 【解析】由函数的最小值为0， 当时，，即， 故当时，的值域为的子集，即 对于AC，当时，为上的减函数， 又，则，即，故A正确，C错误； 当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 对于B，当时，对勾函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，由A知，，故B错误； 对于D，当时，对勾函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，又， 则，即，故D正确； 故选：AD 7.（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．，恒成立，则实数a的取值范围是 B．，恒成立，则实数a的取值范围是 C．，，则实数a的取值范围是 D．，， 【答案】AC 【分析】对于选项A，B，C求出函数和的最值，即可判断出正误；对于选项D，根据函数和函数值域间的包含关系判断正误． 【解析】对于A选项，，恒成立，又为减函数， 所以，A选项正确； 对于B选项，，恒成立，即，又为减函数，所以，B选项不正确； 对于C选项，函数的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，若，，则实数a的取值范围是，C选项正确； 对于D选项，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确； 故选：AC. 8.（多选） 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 【答案】ABD 【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，， 根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项. 【解析】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，B选项正确； 对于C选项，任取，，且，则，， 所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误； 对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确. 故选：ABD． 9.已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【解析】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 10.已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围． 【解析】对任意的实数，都有，即成立， 可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数； 可得：， 解得， 故答案为：． 11.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可. 【解析】，当时，， 当且仅当即时，等号成立； 当时，，要使是的最小值， 只需在上递减，且， 即，解得. 故答案为： 12.已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）把的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解， （2）讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出最小值，令其为3，解出来的值，进而可以求解． 【解析】（1）若，则，对称轴为， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，； 所以的值域为 （2），对称轴为， ①当，即时，函数在,上是增函数． ， 由，得． ，． ②当，即时，． 由，得，舍去． ③当，即时，函数在,上是减函数， ． 由，得． ，， 综上所述，或． 13.已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)；(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【解析】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 14.已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；值域为；（2）. 【分析】（1）先求得函数的定义域是，然后转化为，结合，利用复合函数的单调性求解. （2）将函数转化为，，再风，，，，五种情况讨论求解. 【解析】（1）要使函数有意义，需满足， 解得 所以函数的定义域是. ∵，又， 所以的单调增区间为，单调减区间为 又， ∴， ∵ ∴， 即函数的值域为. （2）令， 则， 原函数转化为：， 令， 时函数的图像的对称轴方程为. ①当时，，函数在区间上递增， ∴. ②当时，， ③当时，， 若，即时，函数在区间上递减， ∴， 若，即时，， 若，即时，函数在区间上递增， ∴. 综上，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 函数的单调性与最值 （十一类重难点题型） 目录 典例详解 类型一、函数单调性的判断与证明 类型二、求函数单调区间 类型三、利用函数的单调性求参数 类型四、利用函数的单调性比较大小 类型五、利用函数的单调性解不等式 类型六、分段函数单调性的应用 类型七、复合函数单调性 类型八、利用单调性研究函数的最值 类型九、利用函数的最值求参数 类型十、分类讨论研究含参函数的最值 类型十一、函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 压轴专练 类型一、函数单调性的判断与证明 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性。 例1．已知函数，则函数（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 变式1-1．设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； 变式1-2．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（ ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 变式1-3．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（ ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 变式1-4．若定义在上的函数，对任意，都有，则称为“函数”． 现给出两个下列函数，其中是“函数”的是 ．（填出所有正确答案的序号） ①； ②； 类型二、求函数单调区间 对求函数单调区间两点说明： 1.数形结合利用图象判断函数单调区间； 2.关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关． 注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，一般不能用“∪”；在单调区间D上的函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 例2．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 变式2-1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D．， 变式2-2．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 变式2-3．函数的单调递减区间为 . 变式2-4．函数的单调递增区间为 . 变式2-5．若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 类型三、利用函数的单调性求参数 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 例3．若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的图像如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为（ ）    A． B． C． D． 变式3-2．已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-4．已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式3-5．已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型四、利用函数的单调性比较大小 【技巧方法】 将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 例4．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式4-1．已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（ ） A． B． C． D． 变式4-3．已知函数，若，则（ ） A． B． C． D． 变式4-4．设则（ ） A． B． C． D． 类型五、利用函数的单调性解不等式 【技巧方法】 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 注意：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 例5．函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ） A． B． C． D． 变式5-1．已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ） A． B． C． D． 变式5-2．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式5-3．已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式5-4．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 变式5-5．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 类型六、分段函数单调性的应用 若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递增 ②在上单调递增 ③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值） （2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件 ①在上单调递减 ②在上单调递减 ③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值） 【技巧方法】 由分段函数中的值域确定参量取值范围的解题方法： 已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 例6．已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 ． 变式6-1．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式6-3．已知函数是上的单调增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式6-4．已知函数的最小值是-2，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式6-5．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型七、复合函数单调性 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 【技巧方法】 内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数． 例7．“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-1．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 变式7-2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式7-3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型八、利用单调性研究函数的最值 利用函数单调性列出不等式（组）求解即可 【技巧方法】 （1）直接利用常见函数单调性求解； （2）利用单调性的性质研究函数单调性求解 例8．函数在区间上的最小值为，最大值为，则 变式8-1．函数的最小值为 . 变式8-2．函数的最小值为 ． 变式8-3．已知函数，且. (1)求； (2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明； (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 类型九、利用函数的最值求参数 利用函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最值列出关于参数的方程，进而求解参数的值（或者取值范围） 【技巧方法】 常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 例9．已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 变式9-1．（多选）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ） A． B． C． D．5 变式9-2．已知函数，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 . 变式9-3．函数在区间上的最大值为，则 ． 类型十、分类讨论研究含参函数的最值 【技巧方法】 一元二次函数在区间[m,n]上的最值： 当 ， 当， 当时， 时， 例10．（1）求二次函数在上的最大值和最小值，请求对应的值； （2）已知函数在上的最大值为4，求实数的值. 变式10-1．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 变式10-2．若函数 在 的最大值为2，则 的取值范围是 . 变式10-3．已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 类型十一、函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【技巧方法】 恒成立、能成立问题求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 例11．已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 变式11-1．已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 变式11-2．已知函数，，，.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 变式11-3．若对，使不等式成立，则的最小值是_______ 变式11-4．已知函数,若对任意的正实数，存在，使得，求实数的取值范围. 1.已知函数在单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 4.已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 6.（多选）已知函数的最小值为0，（为自然常数，），则下列结论正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．，恒成立，则实数a的取值范围是 B．，恒成立，则实数a的取值范围是 C．，，则实数a的取值范围是 D．，， 8.（多选） 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间上有最大值 D. 的解集为 9.已知函数，则的单调递增区间为 . 10.已知函数，满足对任意的实数且，都有，则实数的取值范围为 ． 11.设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是___________ 12.已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 13.已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 14.已知函数. （1）求函数的单调区间和值域； （2）设，求函数的最大值的表达式. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $