2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第2章 常用逻辑用语 1 2.3 全称量词命题与存在量词命题 2.3.1 全称量词命题与存在量词命题 2 某位理发师的广告词是这样写的:“我将为本城所有不给自己刮脸的人 刮脸,我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢?这就是著名 的“罗素理发师悖论”问题！ 返回导航 新课导入 3 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的 定义. 2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 全称量词命题与存在量词命题 学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000 名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下 列条件： （1）所有学生都来自高二年级； （2）有些学生来自高二（一）班； （3）每一个学生都有固定表演路线. 返回导航 7 思考1 上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗？ 提示 相同. 思考2 与上述问题中“有些”含义相同的短语有哪些？ 提示 “存在”“有的”“至少有一个”等. 返回导航 8 ［知识梳理］ 类别 全称量词 存在量词 量词 所有、任意、每一个 存在、有的、有一个 符号 命题 含有①__________的命题称 为全称量词命题 含有②__________的命题称 为存在量词命题 命题形式 ③_____________ ④_____________ 全称量词 存在量词 , , 返回导航 9 ［例1］ 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用量词符号 “ ”或“ ”表述下列命题. （1）自然数的平方大于或等于零； 【解】全称量词命题.用量词符号表示为：， . （2）有的实数不能写成小数形式； 解：存在量词命题.用量词符号表示为：, 不能写成小数形式. 返回导航 10 （3）对任意一个实数， 都不小于零; 解：全称量词命题.用量词符号表示为：， . （4）凸多边形的外角和等于 . 解：全称量词命题.用量词符号表示为：是凸多边形， 的外角 和等于 . 返回导航 11 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 注意 全称量词命题可以省略全称量词. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题. （1）正方形的四条边相等； 解：正方形的四条边相等可以改写为：所有正方形的四条边都相等，所以 是全称量词命题. （2）至少有一个正整数是偶数； 解：至少有一个正整数是偶数可以改写为：至少存在一个正整数是偶数， 所以是存在量词命题. 返回导航 13 （3）正数的平方根不等于0； 解：正数的平方根不等于0可以改写为：所有正数的平方根都不等于0，所 以是全称量词命题. （4）有两个角为 的三角形是等腰直角三角形. 解：有两个角为 的三角形是等腰直角三角形可以改写为：所有的有两 个角为 的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 返回导航 14 二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 ［例2］ （对接教材例1）判断下列命题的真假. （1）每一条线段的长度都能用正有理数来表示； 【解】是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为 ，就不能用正有 理数表示. （2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形； 解：是真命题，如有一个内角为 的直角三角形就不是等腰三角形. 返回导航 15 （3）存在一个实数，使得方程 成立； 解：是假命题，方程的判别式 ，故方程无实数根. （4），， . 解：是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，所以对整数也成立. 返回导航 16 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 返回导航 17 ［跟踪训练2］ （多选）下列命题是真命题的为( ) A.设，为两个集合，若，则对任意，都有 B.设，为两个集合，若不包含于，则存在，使得 C.是无理数， 是有理数 D.是无理数， 是无理数 解析：选.对于选项A：根据的定义可知，任意 ，都有 ，故A为真命题； 对于选项B：若不包含于，则存在，使得 ，故B为真命题； 对于选项C： 是无理数，而 还是无理数，故C为假命题； 对于选项D： 是无理数，而还是无理数，故D为真命题.故选 . √ √ √ 返回导航 18 三 依据含量词命题的真假求参数范围 ［例3］ 已知命题，.若 为真命题，求 实数 的取值范围. 【解】 命题为真命题，转化为对任意 恒成立， 因此，即 . 返回导航 19 母题探究1 本例中“”改为“ ” 其他条件不变，求实数 的取值范围. 解：由例题解析可得对任意恒成立， ， 但没有最小值，所以 . 母题探究2 本例中“ ”改为“ ”，其他条件不变，求实数 的取值范围. 解：由题得命题，，命题 为真命题，转 化为在上有解，因此，即 返回导航 20 由含量词命题的真假求参数范围的策略 （1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有 关代数式恒等式，确定参数的取值范围； （2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来 处理，可借助根的判别式知识解决. 返回导航 21 ［跟踪训练3］ 若“，恒成立”是真命题，则 的 取值范围为_______. 解析：因为“， 恒成立”为真命题，所以 ，其中，所以，所以 . 返回导航 22 PART 02 课堂巩固 自测 23 1.下列语句是全称量词命题的是 ( ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意，是奇数 D.存在， 是奇数 解析：选C.因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项 A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题. √ 返回导航 24 2.下列命题中为假命题的是( ) A.， B.， C.， D.， 解析：选中命题是全称量词命题，易知 恒成立，故是真命 题；B中命题是全称量词命题，当时， ，故是假命题； C中命题是存在量词命题，当时， ，故是真命题；D中命 题是存在量词命题，当时， ，故是真命题. √ 返回导航 25 3.命题“， ”为真命题的一个充分且不必要条件 是( ) A. B. C. D. 解析：选A.由，，即在 上 恒成立， 令，图象开口向上，对称轴为直线 ，则其最大值为 ， 则，则它的一个充分且不必要条件应该是 . √ 返回导航 26 4.命题“已知,都有”是真命题,则实数 的取值范围 是_________. 解析：由已知,得,要使,都有 成立,只需 . 返回导航 27 1.已学习：（1）全称量词命题. （2）存在量词命题. 2.须贯通：（1）全称量词命题、存在量词命题的真假判定； （2）根据命题的真假求参数的值（范围）. 3.应注意：（1）有些全称量词命题不含全称量词，要根据命题的意义去判断； （2）求参数范围时，要注意能否取到端点值. 返回导航 28 $