2.3 第1课时 全称量词命题与存在量词命题（Word教参）-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

　全称量词命题与存在量词命题 第1课时　全称量词命题与存在量词命题 学业标准 素养目标 1．理解全称量词、全称量词命题的定义． 2．理解存在量词、存在量词命题的定义． 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 1．通过全称量词与存在量词的学习，培养数学抽象核心素养． 2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　全称量词和全称量词命题 　观察下列语句，它们是命题吗？ (1)x≤6； (2)2x是偶数； (3)对任意的x∈R，x≤6； (4)对所有的x∈Z，2x都是偶数． 提示：语句①②不是命题，③④是命题． 　以上四个语句①与③，②与④之间有什么关系？ 提示：③在语句①的基础上增加了短语“任意的x∈R”对变量x进行限制；语句④在语句②的基础上增加了短语“所有的x∈Z”对变量x进行限制． ◎结论形成 1．全称量词 __“所有”“任意”“每一个”__等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号__“∀x”__表示“对任意x”． 2．全称量词命题 含有__全称量词__的命题，称为全称量词命题，可简记为__∀x∈M，p(x)__． 导学2　存在量词和存在量词命题 　观察下列语句，它们是命题吗？ ①x＞6； ②2x是偶数； ③至少有一个x∈R，使x＞6； ④存在x∈Z，使2x是偶数． 提示：①②不是命题，③④是命题． 　以上四个语句，①与③，②与④之间有什么关系？ 提示： 语句③在①的基础上，用短语“至少有一个”对变量的取值进行限定；语句④在②的基础上，用“存在一个”对变量的取值进行限制． ◎结论形成 1．存在量词 __“存在”“有的”“有一个”__等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号__“∃x”__表示“存在x”． 2．存在量词命题 含有__存在量词的命题__，称为存在量词命题，简记为__∃x∈M，p(x)__． 导学3　全称量词命题和存在量词命题的真假性 　如何判定一个全称量词命题的真假？ 提示：要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 　如何判定一个存在量词命题的真假？ 提示：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一存在量词命题就是假命题． ◎结论形成 要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到__一个元素__，使__命题为真__即可；否则命题为假． 要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的__每一个元素__，__命题都为真__；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到__一个元素__，使命题为假． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的质数是奇数．(　　) (2)∀x∈R，x2＋1≥1.(　　) (3)对每一个无理数x，x2也是无理数．(　　) (4)所有能被5整除的整数，其末位数字都是5.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．命题“∃x∈R，x2＞3”不可以表述为(　　) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 解析　本题主要考查存在量词命题．“∃”是存在量词符号，与“有一个”“有些”“至少有一个”表示的含义相同，但是“任选一个”是全称量词，所以C的表述不正确，故选C. 答案　C 3．下列命题，是全称量词命题的是____________，是存在量词命题的是____________(填序号). ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题． 答案　①②③；④ 4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＜0是____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是____________命题(填“真”或“假”). 答案　存在量词命题　假 题型一　全称量词命题与存在量词命题的辨析 　(1)(多选)下列语句是存在量词命题的是(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x∈R，2x＋1是奇数 (2)(多选)给出下列几个命题，其中是全称量词命题的是(　　) A．至少有一个x∈R，使x2＋2x＋1＝0成立； B．对任意的x∈R，都有x2＋2x＋1＝0成立： C．对任意的x∈R，都有x2＋2x＋1＝0不成立； D．存在x∈R，使x2＋2x＋1＝0成立． [解析]　 (1)因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． (2)因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以AD为存在量词命题，BC为全称量词命题． [答案]　(1)ABD　(2)BC [规律方法]　 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [触类旁通]　 1．下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0　　　 B．1　　　　 C．2　　　 D．3 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 答案　C 题型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．不论a取何实数，命题p：“∃x>0，－x2＋2ax＋2>0”为真命题 B．不论b取何实数，命题p：“二次函数y＝x2＋b的图象关于y轴对称”为真命题 C．“四边形ABCD的对角线垂直且相等”是“四边形ABCD是正方形”的充分不必要条件 D．“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件 [解析]　对于A，关于x的一元二次方程－x2＋2ax＋2＝0满足Δ＝4a2＋8>0， 即有不等实根x1，x2，显然x1x2＝－2，即x1<0<x2， 因此不等式－x2＋2ax＋2>0的解集为， 当x∈时，－x2＋2ax＋2>0，故A正确． 对于B，∀b∈R，二次函数y＝x2＋b图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，故B正确． 对于C，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为等腰梯形，反之成立．故C错误． 对于D，令a＝2，b＝－3，则a2＝4，b2＝9>a2，即充分性不成立， 令a＝－2，b＝1，则a2＝4，b2＝1<a2，而－2<1，故必要性也不成立， 即“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故D正确．故选ABD. [答案]　ABD [规律方法]　 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假． [触类旁通]　 2．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0. 解析　(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题，因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． 题型三　由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数一题多变 　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围． [解析]　由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅， 所以 解得2≤m≤3. [母题变式]　 (变条件)把本例中的条件若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题改为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，其他条件不变，求m的取值范围． 解析　q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅， 所以m≥2. 所以或2m－1≥－2， 解得2≤m≤4. [素养聚焦]　利用命题真假求参数，把数学运算逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． [规律方法]　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)，即a＞y最大(或a＜y最小). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数的最小值(或最大值)，即a＞y最小(或a＜y最大). [触类旁通] 3．(2024·江苏淮阴中学期中)若命题“∃x∈，x2－2x－a<0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．0 C．1 D．3 解析　由题意得a>x2－2x在x∈[0，3]上有解，当x＝1时，x2－2x取最小值， 则a>(x2－2x)min＝－1，故a可取的最小整数值为0，故选B. 答案　B [缜密思维提能区]　易错案例 命题真假的判断 【典例】　判断下列命题的真假． 若a＞b，则＜. [失分案例]　真命题． [纠错心得]　误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a，b的条件，当a＞0，b＜0时，a＞b但＞. [答案]　假命题 知识落实 技法强化 (1)全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题的概念． (2)含量词的命题的真假判断． (3)依据含量词命题的真假求参数的取值范围． (1)常用方法：定义法、转化法． (2)易错点：有些命题省略了量词或改变了叙述方法，注意等价转化． 学科网（北京）股份有限公司 $$