2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦常用逻辑用语中的充分条件、必要条件、充要条件，以“有之则必然”等古文导入引发思考，通过电路图实例建立概念，衔接前后逻辑知识，搭建学习支架。 其亮点是结合四边形判定、方程根等实例，用定义法、集合法判断条件关系，培养数学思维与表达能力。课堂小结系统梳理方法，助力学生形成逻辑推理能力，教师可借例题训练提升教学效率。

第2章 常用逻辑用语 1 2.2 充分条件、必要条件、充要条件 2 “有之则必然，无之则未必不然”， “无之则必不然，有之则未必然”. 这两句话蕴含什么逻辑关系呢?这就是本节我们所要探讨的内容. 返回导航 新课导入 3 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念. 2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法. 3.会利用充分条件、必要条件、充要条件求参数（范围）. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 充分条件与必要条件 有如图所示的电路图. 思考 开关闭合时 灯一定亮吗？从数学的角度如何描述这种关系？ 提示开关闭合时灯一定亮；开关闭合是 灯亮的充分条件. 返回导航 7 ［知识梳理］ 命题真假 “若,则 ”为真命题 “若,则 ”为假命题 推出关系 ①___ ②___ 条件关系 是 的③______条件 是 的④______条件 不是 的⑤______条件 不是 的⑥______条件 充分 必要 充分 必要 返回导航 8 ［例1］ （对接教材例1、例2）下列各题中，哪些是 的充分条件？哪些 是 的必要条件？ （1）四边形为菱形，四边形 为平行四边形； 【解】因为四边形为菱形 四边形为平行四形，即 ， 所以是 的充分条件. 因为四边形为平行四边形四边形为菱形，即 ， 所以不是 的必要条件. 返回导航 9 （2）， ; 解：因为,即 , 所以是 的充分条件. 因为,即 ， 所以不是 的必要条件. 返回导航 10 （3）, . 解：若，则 , 所以 ， 所以不是 的充分条件. 若，则，所以 ， 所以是 的必要条件. 返回导航 11 充分条件与必要条件的判断方法 （1）判断<m></m>是<m></m>的什么条件，主要判断若<m></m>成立时，能否推出<m></m>成立，反过 来，若<m></m>成立时，能否推出<m></m>成立.若<m></m>为真，则<m></m>是<m></m>的充分条件，若 <m></m>为真，则<m></m>是<m></m>的必要条件. （2）除了用定义判断外，还可以利用集合间的关系判断，由<m></m>构成的集合 为<m></m>，由<m></m>构成的集合为<m></m>，若<m></m>，则<m></m>是<m></m>的充分条件;若<m></m>，则<m></m> 是<m></m>的必要条件. 返回导航 12 ［跟踪训练1］ （1）已知，， 是实数，下列命题结论正确的是( ) A.“”是“ ”的充分条件 B.“四边形为菱形”是“四边形的对角线垂直”的必要条件 C.“”是“ ”的充分条件 D.“”是“ ”的必要条件 解析：选C.对于A，当，时，满足，但是 ，所 以充分性不成立；对于B，四边形的对角线垂直不能推出该四边形为菱形， 所以必要性不成立；对于C，由得，则 成立，所以充 分性成立；对于D，当，时，满足，但是 ，所 以必要性不成立，故“”不是“ ”的必要条件.故选C. √ 返回导航 13 （2）“”是“”的______条件，“”是“ ”的______ 条件.（用“充分”“必要”填空） 必要 充分 解析：由于,所以“”是“ ”的必要条件，“ ”是“ ”的充分条件. 返回导航 14 二 充要条件 给出下面两个“若，则 ”形式的命题： （1）若，则 ； （2）若，则 . 思考1 能判断这两个命题的真假吗？ 提示 （1）是真命题；（2）是真命题. 思考2 若，，则是 的什么条件？ 提示 由命题（1）知是的充分条件；由命题（2）知是 的必要条件. 思考3 命题（1）与命题（2）有什么关系？ 提示 互为逆命题. 返回导航 15 ［知识梳理］ 1.充要条件 一般地,如果①_______,且②_______,那么称是 的充分且必要条件,简称为 是的③______条件，也称的充要条件是，记作④_______,称为“与 等价”，或“等价于 ”. 充要 2.对充分条件和必要条件的进一步划分 条件与结论 的关系 结论 ,且 是 的⑤______________条件 ,且 是 的⑥______________条件 ,且,即 是 的⑦______条件 ,且 是 的⑧__________________条件 充分且不必要 必要且不充分 充要 既不充分又不必要 返回导航 16 角度1 充要条件的判断 ［例2］ （对接教材例3）指出下列命题中，是 的什么条件. （1），， 中至少有一个不为零； 【解】因为， ， 所以是 的充分且不必要条件. （2）， ； 解：因为， ， 所以，所以是 的充要条件. 返回导航 17 （3）， ； 解：由，得且，又 ， 所以是 的必要且不充分条件. （4）是偶数，是偶数； 是偶数. 解：当是偶数，是偶数时，是偶数，反之不成立，如 ， ，，所以是 的充分且不必要条件. 返回导航 18 判断充要条件的三种方法 （1）定义法：直接判断“若<m></m>，则<m></m>”以及“若<m></m>，则<m></m>”的真假. （2）集合法：即利用集合的包含关系判断.如果条件<m></m>和结论<m></m>相应的集合 分别为<m></m>和<m></m>，那么若<m></m>，则<m></m>是<m></m>的充分条件；若<m></m>，则<m></m>是<m></m>的必 要条件；若<m></m>，则<m></m>是<m></m>的充要条件. （3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由<m></m>， 可得<m></m>；充要条件也有传递性. 返回导航 19 角度2 充要条件的证明 ［例3］ 求证：方程 有两个同号且不相等实根的充要条 件是 . 【证明】（1）充分性：因为，所以方程 的 判别式，且 ， 所以方程 有两个同号且不相等的实根. 返回导航 20 （2）必要性：若方程 有两个同号且不相等的实根，分 别设为， ， 则有解得 . 综合知，方程 有两个同号且不相等的实根的充要 条件是 . 返回导航 21 充要条件的证明思路 在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面 来证明.在证明时，要注意：若证明“<m></m>的充要条件是<m></m>”，那么“充分性”是 <m></m>，“必要性”是<m></m>；若证明“<m></m>是<m></m>的充要条件”，则与之相反. 注意 证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向. 返回导航 22 ［跟踪训练2］ （1）下列选项中，使 成立的一个必要且不充 分条件是( ) A. B. C. D. 解析：选B.不等式，解得 ，根据充分条件、必要条 件的定义可知： 对于A，是 成立的充要条件，A错误； 对于B，，则是 成立的一个必要且 不充分条件，B正确； √ 返回导航 23 对于C，，则是 成立的一个充分且不 必要条件，C错误； 对于D，与没有包含关系，则是 成立的 既不充分又不必要条件，D错误. 返回导航 24 （2）已知，，均为实数，证明“”是“关于 的方程 有一正根和一负根”的充要条件. 证明：充分性：因为，所以，所以方程 为一 元二次方程，且，所以 有两个 不相等的实数根，分别设为，.因为，所以 ，所 以，为一正一负，即 有一正根和一负根. 必要性：因为 有一正根和一负根， 所以 ， 所以方程 为一元二次方程. 返回导航 25 设两个根分别为， ， 则，所以 . 综上知，“”是“关于的方程 有一正根和一负根”的 充要条件. 返回导航 三 由充分条件、必要条件求参数范围 ［例4］ 已知,，若是 的 必要不充分条件，求实数 的取值范围. 【解】 因为是的必要不充分条件，所以是 的充分不必要条件， 即 , 故有或 解得 . 又，所以实数的取值范围为 . 返回导航 27 母题探究 本例中,不变，是否存在实数使是 的充要条件？若存在， 求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在.理由如下：若是的充要条件，则 方程组无解. 故不存在实数,使得是 的充要条件. 返回导航 28 由条件关系求参数的值（范围）的步骤 （1）根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系； （2）根据集合端点,数形结合列方程或不等式（组）求解. 返回导航 29 ［跟踪训练3］ 已知, . （1）当为何值时，是 的充分不必要条件？ 解：因为是的充分不必要条件，所以 ,且 ,所以 . 所以当时,是 的充分不必要条件. （2）当为何值时，是 充要条件？ 解：因为是 的充要条件， 所以 , 所以 . 所以当时，是 的充要条件. 返回导航 30 PART 02 课堂巩固 自测 31 1.设，则“”是“ ”的( ) A.必要且不充分条件 B.充分且不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：选B.“” “”，反之不成立.所以“ ”是“ ”的充分且不必要条件.故选B. √ 返回导航 32 2.（多选）已知全集为，下列选项中，“ ”的充要条件是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于选项A，若，则有，又当 ，有 ，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有 ，所 以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到，但 ，得不 出，即得不出 ，所以选项C不正确； 对于选项D，，则有，得不出 ，所以选项D不正确. 故选 . √ √ 返回导航 33 3.写出 的一个必要且不充分条件:_____________________. （答案不唯一） 解析：由，得 ， 则不能推出，能推出 ， 则是的必要且不充分条件，即 的一个必要且不充分 条件是 . 返回导航 34 4.若“”是“”的充分且不必要条件，则实数 的取值 范围是________. 解析：因为“”是“ ”的充分且不必要条件，所以 ，则,解得 . 返回导航 35 1.已学习：（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件. 2.须贯通：（1）充分条件、必要条件、充要条件的判断方法:定义法、集 合法、传递法； （2）根据充分、必要条件求参数的值（范围）. 3.应注意：（1）充分条件、必要条件不唯一； （2）求参数范围时，要注意能否取到端点值. 返回导航 36 $