1.1 集合的概念与表示-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用课件（苏教版）

第1章 集合 1 1.1 集合的概念与表示 2 在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类.例如图书馆 中的书是按照所属学科等分类摆放的;三角形可以分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形.学习了集合、元素等概念，我们就会对事物的分类有 更清晰的认识. 返回导航 新课导入 3 1.了解集合与元素的概念. 2.理解元素与集合的关系，掌握常见数集的表示方法. 3.理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题. 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 元素与集合 研究下面的例子，回答问题： （1）2025级聪明的学生； （2） 的近似值； （3）直角坐标系中横坐标与纵坐标相等的所有点； （4）所有奇数. 思考1 以上各例的研究对象是什么？ 提示 分别研究学生、近似值、点、奇数. 思考2 哪个例子中的对象划分标准不确定？ 提示（1）、（2）所指对象不确定，“聪明”与“近似”这些概念界限不清晰. 返回导航 7 思考3 （3）、（4）例子中的对象有什么共同特征？ 提示 两个例子中的研究对象都很明确，且均指“所有的”，即某种研究对 象的全体. 返回导航 8 ［知识梳理］ 1.元素 每一个对象 ，， 返回导航 9 2.集合 确定的 不同的 ,, 返回导航 10 ［即时练］ 1.判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）集合中的元素一定是数.( ) × （2）参加2025年哈尔滨亚洲冬季运动会闭幕式的全体人员是一个集合. ( ) √ （3）由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合.( ) √ （4）一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) × 返回导航 11 2.（多选）下列对象能构成集合的有( ) A.接近于2 025的所有正整数 B.小于 的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点与点 解析：选 .对于A，接近于2 025的所有正整数的标准不明确，不能构成 集合； 对于B，小于 的实数是确定的，能构成集合； 对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合； 对于D，点与点 是两个不同的点，是确定的，能构成集合. √ √ 返回导航 12 3.英文单词 的所有字母组成的集合共有___个元素. 6 解析：英文单词中不同的字母有C，，，，， ，共6个，故 所有字母组成的集合共有6个元素. 返回导航 13 一组对象能构成集合的两个条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任意一个对象，都能确定它是不 是给定集合中的元素. （2）该组中各个对象是不同的. 返回导航 14 二 元素与集合之间的关系 ［知识梳理］ 1.常用的数集及其记法 常用的 数集 非负整数集 （或自然数集） 正整数集 整数集 有理数 集 实数集 记法 ①___ ②________ ③___ ④___ ⑤_____ 或 返回导航 15 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 是集合 的元素 ⑥___ 属于 不属于 不是集合 的元素 ⑦___或 不属于 返回导航 16 ［例1］ （1）已知集合中的元素满足 ，则下列选项正确的是 ( ) A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 解析：由，解得，因为，，故，且 . √ 返回导航 17 （2）用符号“ ”或“ ”填空： ___；___；___ ； ___ . 解析：因为为自然数集，为整数集，为有理数集， 为实数集， 所以；；； . 返回导航 18 判断元素和集合之间关系的方法 （1）直接法:首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知 集合中是否出现即可. （2）推理法:首先明确已知集合中的元素具有什么特征，然后判断该元素 是否满足集合中元素所具有的特征即可. 返回导航 19 ［跟踪训练1］ （1）（多选）下列元素与集合的关系判断正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析：选.因为为自然数集，为整数集，为有理数集， 为实数集， 所以，A错误；，B正确；，C错误； ，D正确. √ √ 返回导航 20 （2）若是16和24的公约数组成的集合，用符号“ ”或“ ”判断下列元 素与集合 的关系： 8___；3___；2_____ . 解析：根据题意，集合中的元素有1，2，4，8，所以;; . 返回导航 21 三 集合的表示 观察下列两个集合： （1）中华人民共和国国旗上所有颜色组成的集合 ； （2）十二生肖组成的集合 . 思考 上述集合与 除了用自然语言描述外，还有更简单明了的表示方式 吗？如何表示？ 提示 可以，两个集合可以这样表示，如红色，黄色}； 鼠，牛， 虎，兔，龙，蛇，马，羊，猴，鸡，狗，猪}. 返回导航 22 ［知识梳理］ 1.列举法：将集合的元素①__________出来，并置于花括号“ ”内的表示 集合的方法叫作列举法. 2.描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写 成②_________的形式，这样表示集合的方法称为描述法. 3.为了直观地表示集合，我们常画一条③______的曲线，用它的内部来表 示一个集合，称为④_________. 一一列举 封闭 图 返回导航 23 4.集合的分类 按照集合元素的多少，集合可以分为有限集和无限集. （1）一般地，含有⑤______个元素的集合称为有限集，含有⑥______个 元素的集合称为无限集. （2）不含⑦______元素的集合称为空集，记作⑧___. 有限 无限 任何 5.集合相等 如果两个集合所含的元素⑨__________（即中的元素都是的元素， 中 的元素也都是 的元素），那么称这两个集合相等. 完全相同 返回导航 24 ［例2］ （对接教材例1、例2）用适当的方法表示下列集合： （1）由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； 【解】小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11， 故可用列举法表示为 . （2）方程 的实数根组成的集合； 解：方程的实数根为2，因此可用列举法表示为 ，也可 用描述法表示为, }. 返回导航 25 （3）方程组 的解集； 解：解方程组得 故解集可用描述法表示为 ， 也可用列举法表示为 . （4）二次函数 的图象上所有的点组成的集合. 解：二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，代表元 素为有序实数对，其中，满足 ，由于点有无数个， 则用描述法表示为， }. 返回导航 26 （1）用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次. ②这里“ ”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等. （2）利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号. ②所有描述的内容都要写在花括号内. 注意 用描述法表示集合时，应写清该集合中元素的代表符号，并用简明、 准确的语言描述集合的特征性质. 返回导航 27 ［跟踪训练2］ 用适当的方法表示下列集合： （1）方程 的根的集合； 解：由可得或，所以方程 的根的集合为, . （2）不等式 的解集； 解：由可得 , 所以不等式的解集为， . 返回导航 28 （3）方程，， 的解集； 解：描述法：，， ; 列举法：因为方程的解为或或或 用列举法表示为，，， . （4）平面直角坐标系中第三象限内的点组成的集合. 解：平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标为负，纵坐标为负，即 ，，故第三象限内的点的集合为，， ， . 返回导航 29 四 集合中元素的特性及应用 ［例3］ （2025·连云港月考）已知集合中含有两个元素和，若 ， 则实数 的值为____. 解析：若 ， 则或 ， 当时， ， 不符合集合中元素的互异性， 所以 ； 返回导航 30 当时， ， 因为，所以 ， 此时集合中含有两个元素1， ，符合集合中元素的互异性. 综上所述， . 返回导航 31 母题探究 若本例条件变为“已知集合中含有两个元素1和，若 ”， 求实数 的值. 解：由可知，或 . 当时，此时，与集合中元素的互异性矛盾，所以 ；当 时，或（舍去），当 时，经检验，符合题意.综上 可知， . 返回导航 32 集合中元素的特性的应用策略 应用集合中元素的特性时，我们要利用集合中元素的确定性 （元素相同）找到解题的“突破口”；还要注意检验元素是否满足互异性. 返回导航 33 ［跟踪训练3］ （1）已知集合,1,，,1,，若 ， 则 ( ) A.或3 B.0或1 C.3 D. 解析：选C.由有，解得， . 当时， 与集合中元素的互异性矛盾，舍去. 当时，，满足题意.综上所述， . （2）若一个集合含有两个元素和，则实数 需满足_____________. 且 解析：由集合中元素的互异性可得，解得且 . √ 返回导航 34 PART 02 课堂巩固 自测 35 1.下列各组对象可以构成集合的是( ) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 解析：选B.对于A，“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于B，小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定， 因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于D，“小”没有明确的标准，所以不能构成集合. √ 返回导航 36 2.（多选）（教材PT 改编）下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 解析：选.对于A， 是实数， 即 ，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C，是无理数，所以 ，C正确； 对于D，不是 的元素，D错误. √ √ 返回导航 37 3.已知集合，用列举法表示集合 ________. 解析：由，可得，，由 ，可得 ,3,6，则,2,5，则 . 返回导航 38 4.已知集合,，若，则实数 的值是____. 解析：因为，则或.当时， ，不 满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或 ， 当 时，不满足集合中元素的互异性； 当时，, ，符合题意. 综上所述， . 返回导航 39 1.已学习：（1）集合的概念、元素与集合的关系. （2）用列举法和描述法表示集合. 2.须贯通：利用集合中元素的特性确定集合；求参数时注意元素的互异性 以及分类讨论思想的应用. 3.应注意：重视集合中元素的互异性；注意点集与数集的区别. 返回导航 40 $