专题03 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练（9大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

第03讲 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练 （9大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 【经典题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（24-25八年级·全国·期中）已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． (1)点P到x轴的距离为3； (2)点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）点P到x轴的距离为3，且点P在第四象限，得出，求解即可； （2）分两种情况进行讨论：①当直线与x轴平行时，②当直线与y轴平行时，分别求出每种情况的点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点P到x轴的距离为3，且它在第四象限， ∴， 解得： ∴点P的坐标为． （2）解：当直线与x轴平行时， ， 解得． ∴， 点P的坐标为； 当直线与y轴平行时， ， 解得， ∴， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，主要利用了平行于x轴和y轴的直线上的点的坐标特征，根据题意列方程求解即可． 2．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）如图，正方形的边长为4，过它的中心建立平面直角坐标系（中心在原点上），各边和坐标轴平行或垂直．    (1)试写出正方形四个顶点的坐标； (2)从中你发现了什么规律，请举例说明（写出一个即可）． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【分析】（1）根据正方形的性质可得，结合图象即可得出点的坐标； （2）根据点的坐标进行对比即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，设正方形与y轴的交点为E、F，与x轴的交点为M、N， ∵正方形的边长为4，且中心为坐标原点， ∴， ∴，，，，    （2）解：点A与点B的横坐标相同，纵坐标互为相反数；点B与点C纵坐标相同，横坐标互为相反数；点C与点D横坐标相同，纵坐标互为相反数；点B与点D横坐标和纵坐标互为相反数（答案不唯一）． 【点睛】本题考查规律型中的点的坐标，熟练掌握正方形的性质得出，并结合点的坐标的特点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，对于不共线的三个点给出如下定义：若这三个点都落在同一个正方形的边上，且这个正方形的边分别与两条坐标轴平行（或垂直），则这个正方形边长的最小值称为这三个点的外方距．已知点．    (1)点A，B，C的外方距为______； (2)以下三个点中存在外方距的是______；（只填序号） ①A，B，D        ②A，C，D        ③B，C，D (3)，若点A，B，P的外方距为3，直接写出m，n需要满足的条件． 【答案】(1)2 (2)③ (3)当时，；当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）根据题意和三个点的坐标可直接得到答案； （2）根据题意和三个点的坐标可选出答案； （3）根据点A，B，P的外方距为3，点A、B两点的坐标已知，可以画出满足题意的正方形，即可得到m，n需要满足的条件． 【详解】（1）解：如图所示，边长为2的正方形符合题意，故点A，B，C的外方距为2，    故答案为：2 （2）如图所示，只有③B，C，D存在外方距，外方距为3，    故选：③ （3）∵点A，B，P的外方距为3， ∴当时，， 当时，，    当时，， 当时，，    综上可知m，n需要满足的条件是当时，； 当时，；当时，；当时，． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中新定义问题，熟练掌握平面直角坐标系点的坐标规律和数形结合是解题的关键． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半 【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题； （2）①由长方形的性质写出坐标； ②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解． 【详解】（1）解：如图1，设，， 的平分线和的平分线交于点， ，，     ， ， ， ，   过点作，则， ，     ， ， 即的度数为； （2）解：①∵，，， ∴， 由长方形的性质知， ∴； ②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下： ， ∴长方形只在第一象限内移动，     如图2，延长交轴于点，则， ∵，， ∴， 由题意知，，，， ，     ∵， ， ， ， 解得． 【经典题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半； 第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数加上1的一半，然后写出即可． 【详解】解∶ 观察发现，第1次跳动至点的坐标是， 第2次跳动至点的坐标是， 第3次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第5次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第7次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是，第2017次跳动至点的坐标是． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 【答案】(1)① ，② (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中的规律探究，掌握通过分析点的坐标变化寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）①分析运动次数与坐标的关系，找出、的坐标规律为横纵坐标相等，且都为下标的； ②由①发现的规律总结出的坐标； （2）先找出这些点的下标与序号之间的规律，再据此计算序号是第676个点的下标即可． 【详解】（1）解：，运动次数1； ，运动次数2； ，运动次数3； ，运动次数4； ，运动次数5； ，运动次数6； 可以发现，每3次运动为一组，每组的第三个点（即，为正整数）的坐标为， 对于，，解得，∴坐标为， 对于，，解得，∴坐标为 故答案为：，； ②由①的规律，当为不小于1的整数时，所以的坐标为． 故答案为：； （2）解：观察的编号： 第1个点的下标是， 第2个点的下标是， 第3个点的下标是， 由此可得，第个点的下标为， 要求第676个点的下标，即， 则． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 【答案】(1)15；8 (2) (3)的值不能等于．理由见解析 【分析】本题考查归纳推理的应用，坐标的变化规律，根据条件寻找规律是解决本题的关键． (1)根据点的变化规律得到，，由此进行解答； (2)根据变化规律计算出和的值，再进行解答即可； (3)根据规律计算出n的值，即可得知结果． 【详解】（1）解：∵，，，，，， …… ∴根据规律发现,， ∴，， 故答案为：15；8． （2）解：∵，， ， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： ∵， ， ∵n不是整数， ∴的值不会等于． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 【经典题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一个图形中的每一个点的横、纵坐标都乘以n（且），会得到一个新的图形，我们把这个新的图形称为原图形经过“n倍变换”得到的图形． (1)若，，将线段经过“3倍变换”得到线段，求线段的长； (2)将一个正方形经过“n倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形吗？请举一个例子并画出相应的示意图加以说明； 【答案】(1) (2)将一个正方形经过“倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形，举例和示意图以及说明见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先求出，经过3倍变换后的坐标，进而解答即可； （2）先写出一个正方形四个顶点的坐标，再求出经过倍变换后的原来正方形四个顶点对应点的坐标，进而得出它们的关系解答即可； 【详解】（1）解：∵，， ，， ； （2）解：将一个正方形经过“倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形， 举例为：若一个正方形的四个顶点的坐标分别为：，，，， 根据定义，将正方形经过“2倍变换”后，得到的四边形的四个顶点坐标分别为：，，，， 如图所示，    ∴得到的四边形仍是正方形； 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． (1)请在图①中画出程序生成的三角形及经过变换后的三角形； (2)小明想用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，请写出需要输入的点A，B，C的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， 【分析】本题考查的是根据点的坐标描点画图，新定义的含义； （1）根据，，先描点，再连接得到，根据程序可得，，，再描点画图即可； （2）根据程序特点可得答案. 【详解】（1）解：如图，，即为所求； （2）解：小明用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，， ∴，，. 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2)已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 【答案】(1)（1）①② (2)见解析 【分析】（1）①根据轴对称的定义得到，作轴，由得到，，，即可求解，②同上得到，分情况进行讨论，得到，即可求解， （2）同上，得到，设，则，，即可求解， 本题考查了坐标轴内的对称，旋转，解题的关键是：根据一线三等角全等，得到旋转后的坐标． 【详解】（1）解：①当时，， 关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 当时，， 当时， ， 当时，， ∴， 当时，，始终位于x轴上方， （2）解：由（1）可知， ，关于y轴的对称点为：， 连接、，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当时，，，， ∴， 当时， ，，， ∴， 设，则，， ∴扫过的区域如图 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，图①中的图案“”中，，，，，，图②和③都是由图①变换而得到： (1)图②中与点对应的点的坐标分别是 ； (2)图③中与点对应的点的坐标分别是 ； (3)在图④中画出由图①中图形向右平移个单位后的图形，并写出此时点对应的点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)画图见解析，点对应的点的坐标分别为， 【分析】（）根据对应点和坐标的变化即可求解； （）根据折叠的性质解答即可； （）根据平移的性质解答即可； 本题考查了平面直角坐标系中图形的变换，掌握折叠和平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点的坐标是，点的坐标是， ∴两点的坐标纵坐标不变，横坐标扩大为原来的倍， ∵图①中，， ∴图②中，，， 故答案为：，； （2）解：∵由沿轴翻折而成， ∴对应的点横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∵图①中，， ∴图③中与点对应的点的坐标分别是，， 故答案为：，； （3）解：平移后的图形如图所示，此时点对应的点的坐标分别为，． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点称为Ⅰ(m)变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ(m)变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ(m)变换，又有点作了Ⅱ(m)变换，我们就称该图形为-双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ(2)变换．变换后的坐标是；点作Ⅱ(2)变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是_____； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； (2)已知点，， ①若线段是-双变换图形，则的取值范围是_____； ②已知点在第一象限，若及其内部（除点）组成的图形是-双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 【答案】(1)①；②或； (2)①或；②36． 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，坐标与图形，新定义问题和三角形的面积公式，深入理解题意是解决问题的关键． （1）①根据变换的定义求出相应变换后的点的坐标即可；②分两种情形：，分别构建不等式解决问题即可； （2）①根据C，D两点的纵坐标，结判断出m的范围即可；②根据题意作出变换后所得图形，即可求出图形G所覆盖的区域的面积． 【详解】（1）解：①，， 点作Ⅰ（0）变换，即 故答案为：； ②， 直线为轴， 若，则作Ⅰ（0）变换，变换后的点为， ， 且符合题意， ； 若，则作Ⅱ（0）变换，变换后的点为， 且符合题意， ． 综上或； （2）解：①已知点，， 线段是双变换图形， ， 或， 或， 故答案为：或， ②如图中， 由题意，满足条件的图形是平行四边形， 变换后所有图形所覆盖的区域的面积． 【经典题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． (1)“一”、“岭”和“鸣”的坐标分别是_________； (2)将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_________、_________； (3)“东”开始的坐标是，使它的坐标变换到，应该先将哪两行对调，再将哪两列对调？ 【答案】(1)， (2) (3)应该先将第1行与第3行对调，再将第3列与第5列对调 【分析】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化． （1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案； （2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案； （3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案． 【详解】（1）解：观察图形，可得“一”、“岭”和“鸣”的坐标分别是和， 故答案为：，； （2）解：将第2行与第3行对调，“雪”由开始的坐标，变为，再将第3列与第7列对调，“雪”的坐标变为， 故答案为：； （3）解：“东”开始的坐标是，使它的坐标变换到，应该先将第1行与第3行对调，再将第3列与第5列对调． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】本题考查直角坐标系，关于、轴对称的点的坐标特点，轴对称变换作图，熟知关于、轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）根据、两点的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得；分别作出各顶点关于轴的对称点，顺次连接即可得； （3）利用由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】（1）解：由，的坐标分别为，， 可得直角坐标系如图： （2）解：如图，和即为所求作； （3）解：由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 得点关于轴对称的点的坐标为； 由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 得点关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，我们从唐代诗人韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，“浪”的坐标是． (1)“曲”和“酥”的坐标依次是 和 ． (2)将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“河”由开始的坐标最终变换为 ． (3)“雨”开始的坐标是 ，使它的坐标变换到，应该哪两行对调，同时哪两列对调？ 【答案】(1)； (2) (3)；第4行与第3行对调，同时第4列与第5列对调 【分析】（1）根据平面直角坐标系内点的坐标可得答案； （2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案； （3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案． 【详解】（1）“曲”和“酥”的坐标依次是：（2，2）和（7，4）； 故答案为：（2，2），（7，4）； （2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“河”由开始的坐标最终变换为（7，3）． 故答案为：（7，3）； （3）“雨”开始的坐标是（4，4），使它的坐标到（5，3），应该第4行与第3行对调，同时第4列与第5列对调； 故答案为：（4，4），第4行与第3行对调，同时第4列与第5列对调． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）（1）根据下表回答： 1 1.7 1.73 1.74 1.8 2 1 2.89 2.9929 3.0276 3.24 4 ①的平方根是_____________； ②由表可知，在表中哪两个相邻的数之间（小数部分是两位小数）？ （2）如图，在平面直角坐标系中，已知三点 ①三角形的面积是_______ ②分别将三点的横坐标乘，纵坐标加，记坐标变换后所对的点分别为在坐标系中画出以这三点为顶点的三角形 【答案】(1) ①；②在1.73与1.74之间； (2) ①5.5；②见解析； 【分析】(1) ①根据平方根的定义，由表格的信息即可得到； ②观察表格的数据，即可得到答案； (2) ①先观察三角形在直角坐标系中的位置，再用一个矩形的面积减掉多余的三角形的面积即可得到； ②根据题意做变换，即可得到点变换后的坐标，再在直角坐标系中画出来即可； 【详解】解：(1)①由表格可以看出所对应的x值为1.8 ∴3.24的平方根是 ②由表格可知，在1.73与1.74之间. (2)① 故答案为5.5 ②D点横坐标为：，纵坐标为： ∴ E点横坐标为：，纵坐标为： ∴ F点横坐标为：，纵坐标为： ∴ 根据得到的点的坐标在坐标系中画出以这三点为顶点的三角形如下图： 【点睛】本题主要考查了对平方根的理解、直角坐标系的应用、求三角形的面积，能看懂表格的数据信息是解题的关键； 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …， ． 故答案为：；． 【经典题型五 求规则图形的面积】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格纸中的每个小网格都是边长为1的正方形，已知点，，． (1)请你根据所给条件建立平面直角坐标系． (2)顺次连接，，三点画出，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，12 【分析】本题考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据已知确定原点，进而建立适当的平面直角坐标系； （2）根据题意画出，再根据网格的特点用正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如下： （2）顺次连接，，，得到如下图所示： 的面积为． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)求的面积； (2)请画出关于原点O对称的，并写出各点的坐标． 【答案】(1)； (2)作图见解析；，，． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中三角形面积的计算（割补法）和关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握割补法求面积的技巧以及关于原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键． （1）采用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、关于原点对称的点的坐标，再画出图形． 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：关于原点对称的点； 关于原点对称的点； 关于原点对称的点． 画出如图所示， 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得的图形，并写出A、B、O后的对应点、、的坐标； (2)求两次平移过程中共扫过的面积． 【答案】(1)作图见解析，、、 (2) 【分析】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出平移后A、B、O的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；根据图形写出点、、的坐标即可； （2）分向上平移和向左平移两个部分，利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：、、； （2）解：向下平移2个单位扫过的面积为， 接着向左平移3个单位扫过的面积为， 所以平移过程中扫过的面积一共为． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)求的面积； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 【答案】(1)图见解析，； (2)5； (3)或． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）过点B作的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标；延长BC至点，使，过点作AC的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为 故答案为： （2）解：的面积为 （3）解：过点B作的平行线，交x轴于点， 此时（平行线之间距离处处相等，两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为； 延长至点，使，过点作的平行线，交x轴于点，即， 过点作的平行线，交过点作的平行线点，即， 故，且， 即点到的距离点到的距离（平行线之间距离处处相等）， 此时（两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 故答案为：或 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在直角坐标系内的位置如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)A点的坐标为______，B点的坐标为______； (2)画，使与关于x轴对称，并写出点和点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)画图见详解，点的坐标点的坐标 (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．注意：关于 x轴对称点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数． （1）直接写出点的坐标即可； （2）利用轴对称的性质分别作出的对应点、、并顺次连接，根据图形即可写出的坐标； （3）利用分割法即可求出的面积． 【详解】（1）解：由平面直角坐系可知点的坐标为点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所作，点的坐标点的坐标； （3）解：． 【经典题型六 求不规则图形的面积】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）四边形各个顶点的坐标分别是，，，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出四边形； (2)求出四边形的面积； (3)点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点的坐标作图即可； （2）作于，于，则，，，，，再由四边形的面积计算即可得解； （3）设，则，根据的面积等于四边形面积的一半，得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：四边形如图所示： ； （2）解：如图，作于，于， 则，，，，， ∴四边形的面积 ； （3）解：∵点是轴上一点， ∴设，则， ∵的面积等于四边形面积的一半， ∴， 解得：或， ∴或． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． (1)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______． (2)设和的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． (3)如果的面积是的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】此题考查了关于轴对称的点的坐标，以及三角形面积，两点之间的距离；熟练掌握关于轴对称点的特征及两点之间的距离是解本题的关键． （1）先表示出点坐标，然后根据关于轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，表示即可； （2）不妨设点，，根据题意，可知，那么，解方程即可得出答案； （3）不妨设点，，当点P在点Q的右侧时，可知，那么有，同理，当点P在点Q的左侧时，有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点P的横坐标为a， ， 点Q是点P关于y轴的对称点， ， 故答案为：； （2）解：如图所示： ∵和的面积相等，且点P在点Q的右侧，到的距离为3， ， 设点，那么， ， ， （3）解： 点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． 不妨设点，， 当点P在点Q的右侧，如图所示： ， ，， 的面积是的面积的2倍， ， ， 或 或， 或； 当点P在点Q的左侧，如图所示： 同理，， ， 或， 或， 综上，或或或． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，t的值为 【分析】本题考查平面直角坐标系，动点问题，涉及到解二元一次方程组、面积分割法求面积等，灵活运用所学知识是关键． （1）解二元一次方程组求解即可； （2）把的面积看成即可求解； （3）根据，得到，建立关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得： 得： 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴点B的坐标为； （2）解：如图所示：连接， ∵动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发沿x轴正半轴匀速运动， 设点P的运动时间为t秒， ∴， ∵，， ∴，，， 由图可得：， ， ； （3）解：存在，t的值为， 如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 【经典题型七 根据图形的面积求点坐标】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 【答案】或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中求点的坐标等知识． 设点M坐标为，根据得到，求出，问题得解． 【详解】解：设点M坐标为， ∵，，，， ∴， 即， ∴， ∴点的坐标为或． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）过点C作轴于D，根据列式求解即可； （2）根据（1）所求可得的面积，则根据三角形面积计算公式可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于D， ∵，，， ∴， ∴； ∴ ； （2）解：∵的面积是的面积的2倍，的面积为4， ∴的面积为8， ∵点P在y轴上， ∴， ∴， ∵， ∴点P的坐标为或． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为 【分析】本题主要考查了点坐标与图形、点所在的象限，熟练掌握点坐标的应用是解题关键． （1）先根据点在轴的负半轴上，可得；再根据点在第二象限，轴，且，可得； （2）先求出的面积和的面积，再根据使以为顶点的四边形的面积等于可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵点在轴的负半轴上，， ∴； ∵点在第二象限，轴，且，， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∴的边上的高为， ∴， ∵以为顶点的四边形的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴存在，使以为顶点的四边形的面积等于，此时点的坐标为． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)存在， (2)G的横坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，坐标与图形变化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接交y轴于点M，作于点H，求出，由的面积等于的面积得，由求出，再根据即可求出点的坐标； （2）延长交x轴于点N，连接，设点，用割补法求出，根据求出，分别表示出的面积和四边形的面积，然后根据二者面积相等列式求解即可． 【详解】（1）解：连接交y轴于点M，作于点H， ∵， ∴， ∴． ∵的面积等于的面积， ∴． ∵， ∴， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交x轴于点N，连接，设点， 由平移的性质得点，点， ∵点 ∴， ∵ ， ∴， 解得， ∴点， ∵， ∴四边形的面积， 设， ， ∴， 解得 ， 设点 G的横坐标为x，则|， 解得或． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点（为正数），称点为点的等距点．例如：如图，对于点，存在点，点．点，点，则点，，，分别为点的等距点． (1)若点的坐标是，则时，点在第四象限的等距点的坐标为______________． (2)若点的等距点的坐标是，求当点的横、纵坐标相同时的坐标． (3)将点的所有等距点用线段依次连接起来，所得到的图形的面积刚好为36，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题． （1）根据等距点的定义可作判断； （2）根据等距点的定义分两种情况可得，或，再解方程解答即可； （3）根据题意可知所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形是矩形，其边长为，面积为，依据题意可得方程求出a的值． 【详解】（1）解：由题意可得：点的等距点为，，，， 即，，，， 时，点在第四象限的等距点的坐标为． 故答案为： （2）解：由题意得， 解得， 或， 解得 是正数， ， 当点的横、纵坐标相同时的坐标为； （3）解：∵点的所有等距点的坐标分别为，，，， ∴所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形面积为， ， 由边长的实际意义得． 【经典题型八 分类讨论型图形的面积】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 【答案】图形见解析，所得到的图形像一只蝴蝶，其面积为22 【分析】本题考查了坐标系中描点问题，割补法求面积． 找出各坐标表示的点的位置，依次连接成封闭的图形，可知所得到的图形像一只蝴蝶，根据割补法求面积即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 所得到的图形像一只蝴蝶， 面积为 ． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，将三角形在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点B的对应点为，点C的对应点为． (1)在平面直角坐标系中作出三角形，并写出，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)x轴上有一点，若三角形的面积与三角形的面积相等，则点P的坐标为______． 【答案】(1)见解析，的坐标为，的坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由题意知，三角形是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形，根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据若三角形的面积与三角形的面积相等可以求出，进而可得点的坐标为或． 【详解】（1）解：由点平移至图中点的位置可知， 三角形是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到的三角形， 如下图所示 的坐标为，的坐标为． （2）三角形的面积为： （3）解：依题意得：三角形的面积， ∴， ∵的坐标为． ∴点的坐标为或． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)39 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形等知识，理解新定义是关键． （1）①根据友好点的意义计算即可； ②设，利用友好点的意义建立方程即可求解； （2）设，由友好点的意义求得点F的坐标，根据题意求得a的值，即可求得点F的坐标； （3）分别求出所有可能的点K的坐标，所有可能点组成一个六边形，即可求出面积． 【详解】（1）解：①∵， ∴点A关于点B的友好点的坐标为， 故答案为：； ②设，则， 解得：， 即； （2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴D点的两个坐标相等； 设，则点F的坐标为； ∵点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍， ∴， 解得：或， 则点F的坐标为或； （3）解：点H关于点O的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 点O关于点H的友好点的横纵坐标分别为，即的坐标为； 同理，点H关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点H的友好点的坐标为， 点O关于点G的友好点的坐标为， 点G关于点O的友好点的坐标为， 画图如下： 则所有可能的点K形成的图形即六边形的面积为：． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 (3)存在，点M的坐标为或． 【分析】本题主要考查了非负数的应用，点的坐标的特征，平移的性质，平行线的性质，三角形的面积，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用平移的性质解答即可得出结论； （2）证明轴得，证明轴得．根据平分得，由可得结论； （3）求出四边形的面积为12，设交y轴于点N，运用面积法求出．再分点M在点N上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为 ∴点的坐标为， 故答案为：；；； （2）解：． 证明：∵，， ∴轴， ∴， ∵CD是由AB平移得到的， ∴． ∴轴， ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵， ∴， 整理得：． （3）解：存在，点M的坐标为或． 根据题意得，向上平移了3个单位长度． ∵，， ∴， ∴四边形的面积为． 设交y轴于点N，， 则， 解得，即． 当点M在点N上方时，，则； 当点M在点N下方时，，则． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： (1)如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标； (2)如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）先根据坐标与图形性质和题中运算规则求得的面积，重心；正方形的面积，，进而利用图形的重心公式求解即可； （2）连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为．先利用坐标与图形求得，进而求得，，再利用三角形的重心公式分别求得，，然后利用图形重心公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，的面积， 的重心的横坐标为， 纵坐标为． ． 正方形的面积，重心的横坐标为， 纵坐标为， ． 四边形的面积． 四边形的重心横坐标为， 纵坐标为．4分 四边形的重心坐标为； （2）解：如图，连接，过作轴，垂足为，过作轴，垂足为． 则 ， ，． 的重心的坐标为，即． 的重心的坐标为，即． 四边形的重心横坐标为， 四边形的重心纵坐标为． 四边形的重心坐标为． 【经典题型九 平面直角坐标系中面积综合】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴的对称图形． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，求三角形面积，掌握关于轴对称的点的坐标特点，利用三角形面积公式求面积是解本题关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，先作出、、三点关于轴对称的点、、，依次连接，，所得即为所求； （2）利用三角形面积公式求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，，关于轴对称的点为，，， 如图，依次连接，，所得即为所求． （2）解：． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点成中心对称，画出； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，解题关键是明确中心对称的性质． （1）画出，，三点关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）用长方形面积减去三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求作； ； （2）解：△ABC的面积． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)写出，，的坐标． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)4 【分析】本题主要考查了网格中的图形的轴对称，关于坐标轴对称时点的坐标变化规律，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据轴对称的性质，画出轴对称图形即可； （2）根据轴对称的性质表示出点的坐标即可； （3）借助网格，利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据图形得， ，，； （3）解：的面积为． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知的三个顶点分别为、、． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（、、的对应点分别是、、） (2)直接写出顶点坐标： ______， ______， ______； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积公式，解题的关键是数形结合． （1）分别画出、、三点关于轴的对称点、、即可解决问题； （2）根据所作图形即可求解； （3）根据四边形是等腰梯形，利用梯形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图可知，，，， 故答案为：，，； （3）四边形的面积为． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 【答案】（1）;（2）见解析 【分析】本题考查坐标与图形的应用、有理数的混合运算，理解题中重心定义和运算法则是解答的关键． （1）根据规律，直接写出式子即可； （2）建立直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分，得到，求出两部分面积，再根据（1）的式子求解即可． 【详解】（1）解：依据上述规律可得； （2）解：如图，建立平面直角坐标系，并把该工件的横截面分成两部分， 设该工件重心为，正方形的重心为，长方形的重心为， ， 又正方形的面积为，长方形的面积为， ， 设该工件重心为． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出当时，第个点的坐标为：，再往后推1个点即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为：， 第8个点的坐标为：， 第12个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：， ∴当时，第个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如 ，，，，，，，，根据这个规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的规律的探究，横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有一个点，第二列有2个点， 第列有个点．则列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为， 则第30个点一定在第8列，由下到上是第1个点． 因而第30个点的坐标是． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化对称、点的坐标变化规律及关于坐标轴对称的点的坐标，根据题意，依次求出点，，，，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环是解题的关键． 【详解】解：如图， 因为点的坐标为， 所以点关于直线对称的点的坐标为， 依次类推，点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，从点开始，变换后的点的坐标按，，，，，循环，即6个一循环， 因为， 所以点的坐标为． 故选：B． 4．（2025·江苏·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，正方形的性质，解直角三角形，由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，再结合，得出点在第三象限的角平分线上，分别求出，，，同理可得，，再求出点的横纵坐标即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向上方作正方形， ∴， ∴； 同理可得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点坐标规律的探索．根据题意寻找变化规律是解题关键．根据题意找到点坐标变化的规律即可． 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为． 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 【答案】 4025 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，掌握点的坐标的规律探索的方法是解题的关键．根据点的坐标的规律探索方法，分别求出点，，，，，的坐标，即可按此规律求得第一空答案；然后总结点的规律，，即可求得答案． 【详解】解：青蛙在点处， ，，，，，， ， ，， 令，则，， 即． 故答案为：；4025． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作等腰，再以为直角边作等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于；斜边等于直角边的倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 根据等腰直角三角形的性质得到，，，…，，再利用、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴的特点可得到点在第一象限，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在x轴的负半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，…，，， ∵， ∴、、、…，每8个一循环，再回到x轴的负半轴， ∵， ∴点在第四象限的角平分线上， ∵， ∴点的横坐标为：，纵坐标为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律，找出“当n为奇数时，”是解题的关键．由图得，，再推导，总结规律得当n为奇数时，，则当时，，再根据从到是向左移动一格即可得解． 【详解】解：由图可知：，， 推导可得： 则总结规律得：当n为奇数时，， ∴当时，， ∵从到是向左移动一格， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，由题知点移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4，据此得到点的位置规律与题图上的位置规律相同，即可解答，解题的关键是寻找点的变化规律． 【详解】解：观察题图坐标系中图形的规律可得，，； 则移动5次坐标为一次完整过程，每一次完整循环横坐标比上一次循环依次多4． 因为， 所以点的位置规律与题图上的位置规律相同， 所以点的坐标为，即． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得，点，而，据此得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现： ，，，，…… ∴点，点 ∵， ∴点． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 (3)或 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． （1）根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每5次一个循环，据此即可求解． （2）根据（1）中规律求出点和点的坐标，即可求解； （3）根据（1）中规律求出点的坐标，再根据点距离点5个单位长度，且轴，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为： ∴横坐标为对应的运动次数减3， 纵坐标依次为：，每5次一个循环， 则点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； 故答案为：． （2）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：2； ∴， 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：4； ∴， 故从点到点的平移方式是：先向右平移1个单位，再向上平移2个单位． （3）解：根据（1）中规律可得： 点的横坐标为：； ， ∴点的纵坐标为：； ∴， ∵点距离点5个单位长度，且轴， ∴，即， 或，即， 综上，或． 12．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)，，B， (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键. （1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可. 【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，C到B的路线， 故答案为：，，B，； （2）解：由A到B路线为，由B到C路线为，由C到D路线为， ∴路程为； （3）解：如图： 13．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）把三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点D为三角形内一点，平移点D到的位置． (1)根据点D的平移规律，将三角形平移．画出平移后的三角形，并分别写出点A，B，C的对应点，，的坐标； (2)填空：与的位置关系是______；与的数量关系是______； (3)计算三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析，，， (2)， (3)9 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． （1）由，，可知点的平移规律为：向右平移9个单位长度，向下平移4个单位长度，由此即可作图，得，，的坐标； （2）根据平移的性质即可作答； （3）利用所在的长方形的面积减去它周围的三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，，，，， 则点的平移规律为：向右平移9个单位长度，向下平移4个单位长度， 由此平移规律可作平移后的三角形，如图所示： 可得：，，； （2）由平移的性质可知：，， 故答案为：，； （3）． 15．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了规律型中的坐标问题，解题的关键是根据给定点的坐标结合图形找出变化规律． （1）根据图形变化规律写出图形变换后点的坐标即可； （2）根据点A的坐标每变化一次，纵坐标的长度不变，但奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，横坐标的长度变为上一次的2倍，奇数次变化是负数，偶数次变化是正数；点B的坐标的长度每变化一次横坐标就变为上一次的2倍，奇数次变化为负数，偶数次变化为正数，纵坐标都是0，然后写出即可． 【详解】（1）解：根据图形变换的规律： ∵； ∴点的坐标为； ∵； ∴点的坐标为 ； （2）解：由图形变换的规律可得： 点坐标为：； 点的坐标为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面直角坐标系中的规律探索与面积专项训练 （9大题型+15道拓展培优题） 题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律 题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律 题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律 题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律 题型五 求规则图形的面积 题型六 求不规则图形的面积 题型七 根据图形的面积求点坐标 题型八 分类讨论型图形的面积 题型九 平面直角坐标系中面积综合 【经典题型一 平行于坐标轴运动的点坐标规律】 1．（24-25八年级·全国·期中）已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． (1)点P到x轴的距离为3； (2)点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 2．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）如图，正方形的边长为4，过它的中心建立平面直角坐标系（中心在原点上），各边和坐标轴平行或垂直．    (1)试写出正方形四个顶点的坐标； (2)从中你发现了什么规律，请举例说明（写出一个即可）． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，对于不共线的三个点给出如下定义：若这三个点都落在同一个正方形的边上，且这个正方形的边分别与两条坐标轴平行（或垂直），则这个正方形边长的最小值称为这三个点的外方距．已知点．    (1)点A，B，C的外方距为______； (2)以下三个点中存在外方距的是______；（只填序号） ①A，B，D        ②A，C，D        ③B，C，D (3)，若点A，B，P的外方距为3，直接写出m，n需要满足的条件． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 5．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【经典题型二 沿斜线或曲线运动的点坐标规律】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系上有点，点第一次跳动至点，第四次向右跳动5个单位至点，依此规律跳动下去，点第100次跳动至点的坐标是 ．根据规律，请写出的坐标． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，一点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到，第3次运动到，然后依次运动到，，，，如此继续下去（如图），请完成下列问题： (1)请根据规律填写各点坐标：①______，______； ②若为不小于1的整数，则______； (2)如图，点，，，，它们都在同一条直线上，第1个点为，第2个点为，第3个点为，第4个点为，，如此数下去，第676个点为，则______． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 4．（2025·江苏南京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为、…，过点、、、…、分别作x轴垂线，交直线于点、、、…，覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为；覆盖的整点的个数记为，面积的值记为…. 【参考公式：连续x个正整数和的计算公式：】 (1)由题意可知：、；、；、；则 、 ； (2) ； (3)的值是否会等于2025？若能，请求出n的值，若不能，请说明理由. 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______．  【经典题型三 平面直角坐标系中图形变换运动规律】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将一个图形中的每一个点的横、纵坐标都乘以n（且），会得到一个新的图形，我们把这个新的图形称为原图形经过“n倍变换”得到的图形． (1)若，，将线段经过“3倍变换”得到线段，求线段的长； (2)将一个正方形经过“n倍变换”得到另一个四边形，所得四边形的形状仍然是正方形吗？请举一个例子并画出相应的示意图加以说明； 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明设计了一款程序，可以用程序命令绘制出对应的图形及变换后的图形．如图①，是一个正方形网格电子屏示意图，其中每个小正方形的边长均为1，位于平面直角坐标系中的光点A，B，C按图②所示的程序移动． (1)请在图①中画出程序生成的三角形及经过变换后的三角形； (2)小明想用此方法生成一个三角形，其顶点坐标分别是，，，请写出需要输入的点A，B，C的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）对于平面直角坐标系中的图形W，直线l和点P，给出如下定义：先将图形W沿直线l对称得到对应图形，再将图形其绕点P逆时针旋转，得到图形，称为图形W的“旋轴变换图形”．其中，称直线l为“变换直线”，称点P为“变换点”．已知，点，“变换直线”为y轴，“变换点”为． (1)如图1， ①当时，点M的“旋轴变换图形”的坐标是 ； ②若点M的“旋轴变换图形”始终位于x轴上方，求m的取值范围； (2) 已知点，随着点M的运动，在图2中画出线段MN的“旋轴变换图形”扫过的区域． 4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，图①中的图案“”中，，，，，，图②和③都是由图①变换而得到： (1)图②中与点对应的点的坐标分别是 ； (2)图③中与点对应的点的坐标分别是 ； (3)在图④中画出由图①中图形向右平移个单位后的图形，并写出此时点对应的点的坐标． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，直线为过点且与轴垂直的直线．对某图形上的点作如下变换：当时，作出点关于直线的对称点称为Ⅰ(m)变换；当时，作出点关于轴的对称点，称为Ⅱ(m)变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ(m)变换，又有点作了Ⅱ(m)变换，我们就称该图形为-双变换图形．例如，已知，，如图1所示，当时，点应作Ⅰ(2)变换．变换后的坐标是；点作Ⅱ(2)变换，变换后的坐标是．请解决下面的问题： (1)当时， ①已知点的坐标是，则点作相应变换后的点的坐标是_____； ②若点作相应变换后的点的坐标为，求点的坐标； (2)已知点，， ①若线段是-双变换图形，则的取值范围是_____； ②已知点在第一象限，若及其内部（除点）组成的图形是-双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积． 【经典题型四 平面直角坐标系中坐标变换运动规律】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，我们把杜甫的《绝句》整齐排列放在平面直角坐标系中． (1)“一”、“岭”和“鸣”的坐标分别是_________； (2)将第2行与第3行对调，再将第3列与第7列对调，“雪”由开始的坐标依次变换为_________、_________； (3)“东”开始的坐标是，使它的坐标变换到，应该先将哪两行对调，再将哪两列对调？ 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，我们从唐代诗人韩愈的《早春呈水部张十八员外》和刘禹锡的《浪淘沙·其一》中各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，“浪”的坐标是． (1)“曲”和“酥”的坐标依次是 和 ． (2)将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“河”由开始的坐标最终变换为 ． (3)“雨”开始的坐标是 ，使它的坐标变换到，应该哪两行对调，同时哪两列对调？ 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）（1）根据下表回答： 1 1.7 1.73 1.74 1.8 2 1 2.89 2.9929 3.0276 3.24 4 ①的平方根是_____________； ②由表可知，在表中哪两个相邻的数之间（小数部分是两位小数）？ （2）如图，在平面直角坐标系中，已知三点 ①三角形的面积是_______ ②分别将三点的横坐标乘，纵坐标加，记坐标变换后所对的点分别为在坐标系中画出以这三点为顶点的三角形 5．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【经典题型五 求规则图形的面积】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，方格纸中的每个小网格都是边长为1的正方形，已知点，，． (1)请你根据所给条件建立平面直角坐标系． (2)顺次连接，，三点画出，并求出的面积． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，， (1)求的面积； (2)请画出关于原点O对称的，并写出各点的坐标． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得的图形，并写出A、B、O后的对应点、、的坐标； (2)求两次平移过程中共扫过的面积． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； (2)求的面积； (3)点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在直角坐标系内的位置如图，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)A点的坐标为______，B点的坐标为______； (2)画，使与关于x轴对称，并写出点和点的坐标； (3)求的面积． 【经典题型六 求不规则图形的面积】 1．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）四边形各个顶点的坐标分别是，，，． (1)在所给的平面直角坐标系中画出四边形； (2)求出四边形的面积； (3)点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． (1)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______． (2)设和的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． (3)如果的面积是的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标． 4．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，，其中a，b满足，连接，． (1)求点B的坐标； (2)动点P以每秒2个单位的速度从O点出发，沿着x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，请用含t的式子表示的面积； (3)如图所示，在（2）的条件下，连接交于E，是否存在这样t的值，使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【经典题型七 根据图形的面积求点坐标】 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在轴上存在点，使得，求出点的坐标（表示面积） 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：在平面直角坐标系中，，，， (1)求的面积； (2)设点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点B在x轴的负半轴上，，点在第二象限，轴，且，点在第一象限． (1)求两点的坐标； (2)是否存在m，使以为顶点的四边形的面积等于？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)如图1，若点D为轴负半轴上的一个动点，连接交轴于点E，是否存在点D，使得？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (2)如图2，若将线段向上平移2个单位长度，点G为轴上一点，点为第一象限内的一动点，连接，，，，若的面积等于由，，，四条线段围成的图形的面积，求点G的横坐标的值（用含的式子表示）． 5．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：若存在点（为正数），称点为点的等距点．例如：如图，对于点，存在点，点．点，点，则点，，，分别为点的等距点． (1)若点的坐标是，则时，点在第四象限的等距点的坐标为______________． (2)若点的等距点的坐标是，求当点的横、纵坐标相同时的坐标． (3)将点的所有等距点用线段依次连接起来，所得到的图形的面积刚好为36，直接写出此时的值． 【经典题型八 分类讨论型图形的面积】 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系上描出下列各点，再把它们依次连接成封闭的图形，看看你得到的图形像什么？直接写出所形成的图形的面积． ，，，，，，，，，，，，，，，，． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，将三角形在坐标系中平移，使得点平移至图中点的位置，点B的对应点为，点C的对应点为． (1)在平面直角坐标系中作出三角形，并写出，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)x轴上有一点，若三角形的面积与三角形的面积相等，则点P的坐标为______． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，令，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．例如：已知，则，点A关于点B的友好点为． (1)已知， ①点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，求点C的坐标． (2)已知点D在第一、三象限的角平分线上，点D关于点的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍，求点F的坐标． (3)已知点，点O为坐标原点，点M与点N为点G，O，H中任意两个点，若点K为点M关于点N的友好点，求所有可能的点K形成的图形的面积． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且a，b满足，将线段先向上平移，再向右平移，点A的对应点D的坐标为． (1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______，点B平移后的对应点C的坐标为_______； (2)已知线段与x轴交于点．若点P是线段右侧x轴上的一动点，连接平分交于点F，请仅就图1思考，，之间有什么样的数量关系，并写出你的证明过程． (3)若线段与y轴交于点，在y轴上是否存在点M，使得的面积是四边形面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）综合与实践 阅读材料：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．如图1，的重心的横、纵坐标分别为，．如图2，正方形的重心是对角线与的交点，重心的横、纵坐标分别为，（或，）．若一个平面图形的重心坐标为，面积为，被分成部分的重心坐标分别为，，…，，面积分别为，，…，，则，．如图3，正方形的重心，面积为4，正方形的重心，面积为16，由正方形与正方形组成的组合图形的面积为20，重心的横坐标为，纵坐标为． 根据上述阅读材料，解决下面的问题： (1)如图4，的顶点坐标分别为，，，正方形的顶点，，求四边形的重心坐标； (2)如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，，求四边形的重心坐标． 【经典题型九 平面直角坐标系中面积综合】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于y轴的对称图形． (2)求的面积． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与关于原点成中心对称，画出； (2)求的面积． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的； (2)写出，，的坐标． (3)求的面积． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知的三个顶点分别为、、． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（、、的对应点分别是、、） (2)直接写出顶点坐标： ______， ______， ______； (3)求四边形的面积． 5．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）综合与实践：确定平面组合图形的重心位置． 平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐标系，用坐标来研究重心的位置． （1）任务1：把下面图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分的重心位置之间的关系． 请在下图中设计两种方案，将图形分成两个部分，找到这两部分的重心，并探究该图形的重心点Q与它的两部分重心的关系． （2）任务2建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标、，纵坐标、之间有什么数量关系？ 【阅读材料】引用任务（1）的图形 已知如图所示图形各顶点的坐标，试求这个图形的重心坐标． 方法一：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点G的坐标为，点H的坐标为． 又正方形EOFD的面积为，正方形CFAB的面积为， ∴点Q的横坐标， 点Q的纵坐标 即点． 方法二：解：将图形分成两个简单的平面图形如图所示． ∴点的坐标为，点的坐标为． 又长方形的面积为，长方形的面积为， ∴点的横坐标， 点的纵坐标 即点， 仿照上述方法，解答下列问题： （1）若某平面组合图形由两个简单平面图形组成，设该平面组合图形的重心坐标为，两个简单平面图形 的面积分别为，重心坐标分别为．依照上述规律，写出图形的重心位置的横坐标、纵坐标与它的两部分的重心位置的横坐标，纵坐标之间有什么数量关系？ （2）下图是一个工件的横截面，请通过推理、计算确定它的重心位置． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如 ，，，，，，，，根据这个规律探索可得，第30个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，依作点关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点，关于直线的对称点，关于y轴的对称点，关于x轴的对称点……按照上述变换规律继续作下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作等腰，再以为直角边作等腰，…，按此规律进行下去，则点的坐标为 ． 8．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从出发，其顺序按图中箭头方向排列如，，，，，……按照这样的运动规律，则的坐标是 ． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点从点出发，第1次由点跳动至点，第2次由点跳动至点，第3次由点跳动至点，第4次由点跳动至点根据这个规律，则点的坐标是 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点……按这样的规律运动下去． (1)写出点的坐标：____． (2)按照上述规律，指出从点到点的平移方式． (3)若点距离点5个单位长度，且轴，直接写出点的坐标． 12．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． (1)图中（ ， ）， （， ）； (2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程． (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 13．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）把三角形放置在如图所示的平面直角坐标系中，点D为三角形内一点，平移点D到的位置． (1)根据点D的平移规律，将三角形平移．画出平移后的三角形，并分别写出点A，B，C的对应点，，的坐标； (2)填空：与的位置关系是______；与的数量关系是______； (3)计算三角形的面积． 15．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）如图，在直角坐标系中第一次将变换成，第二次将变换，第三次将变换成，已知：；    (1)观察每次变化前后的三角形有何变化，找出其中的规律，按此变化规律将变换成则点的坐标为 ___________，点的坐标为 ___________． (2)若按第（1）题中找到的规律将进行了n次变换，得到的推测点坐标为 ___________，点坐标为 ___________． 学科网（北京）股份有限公司 $