1.2 数与式的运算与根式课件-2025-2026学年高一上学期初升高衔接

1.2 数与式的运算 一.乘法公式 公式一 证明： 等式成立 文字语言？ 三个数的和的平方，等于它们的平方和，再加上每两个数的积的2倍 化未知为已知 对称美 例1 计算： 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 注意：对多项式中负号的处理要格外仔细 练习 已知 ， 求 的值 公式二 证明: 立方和公式 文字语言？ 两个数的和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和 例2 计算： 解： 公式三 立方差公式 两个数的差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差 化归与转化思想 比较立方和、立方差公式 + + + _ _ _ 1.2. 乘法公式 （1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）立方和公式 （4）立方差公式 （5）三数和平方公式 （6）两数和立方公式 （7）两数差立方公式 例3 已知 ，求 (1) (2) (3) 小结：正难则反，根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算 二.根式 (1) (2) 辨析 辨析 (3)辨析 (4)辨析 式子 叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 例6 化简下列各式： (1) (2) 小结：性质 的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论，以绝对值符号内式子等于0为分界点 例7 计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）： (1) (2) (3) 说明：二次根式的化简结果应满足： ①被开方数分母的因数是整数，因式是整式； ②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 分母有理化 小结：二次根式加减运算的本质是合并同类二次根式，除法运算的本质是分母有理化 例8 化简： (1) (3) (4) 找两个数，使它们的和等于a，积等于b 练习 化简： (2) 二次根式的化简常见类型： ①被开方数是整数或整式 分解因数或因式 开方 ②被开方数有分母 ③分母中有根式 化为 形式 分母有理化 (分子、分母同乘以一个根式) 例9 设 ，求 的值 小结：代数式求值问题，一般先化简后求值；当直接代入运算复杂时，可根据结论倒推几步再代入条件，有时整体代入可简化计算 例10 试比较下列两个数的大小： 拓展 和 小结：比较两个无理数的一般方法： ①平方，把无理数化为有理数比较 ②分子有理化，转化为比较分母的大小 例11 已知 ，求 的值 整体代换 练习 1．填空： （1） （ ）； （2） ； (3 )　 ． 2．选择题： （1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ ） （A） （B） （C） （D） （2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 3． 三边 ， ， 满足 ，试判定 的形状． 4．已知 ，求 的值． 10．若x、y是正整数，并且 ，则 _______ 练 习 1．填空： （1） ＝__ ___； （2）若 ，则 的取值范围是_ _ ___； （3） __ ___； （4）若 ，则 ______ __． 2．选择题： 等式 成立的条件是 （　　 ） （A） 　 （B） 　　 （C） 　　 （D） 3．若 ，求 的值． 4．比较大小：2－ eq \r(3) eq \r(5)－ eq \r(4)（填“＞”，或“＜”）． $