专题02 图形变换与坐标变化难点题型专训（6个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦图形变换与坐标变化核心知识点，从点到坐标轴距离切入，系统梳理平移（右加左减、上加下减）、对称（x轴纵反、y轴横反、原点横竖反）、旋转特殊角度的坐标规律，结合中点坐标、动点问题、坐标规律探索，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过17大题型分层训练与4大拓展（最值、动点、翻折、旋转计算），融入江苏各地期中期末真题。以“翻折问题坐标计算”为例，培养学生用数学眼光观察变换与坐标关系，用数学思维推理规律，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

专题02 图形变换与坐标变化重难点题型专训 （6个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求点到坐标轴的距离 题型二 坐标系中的平移 题型三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型四 由平移方式确定点的坐标 题型五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型六 已知图形的平移，求点的坐标 题型七 已知平移后的坐标求原坐标 题型八 坐标系中的对称 题型九 坐标与图形变化——轴对称 题型十 坐标系中的旋转 题型十一 求关于原点对称的点的坐标 题型十二 已知两点关于原点对称求参数 题型十三 判断两个点是否关于原点对称 题型十四 中点坐标 题型十五 标系中的动点问题（不含函数） 题型十六 用方向角和距离确定物体的位置 题型十七 点坐标规律探索 拓展训练一 平面直角坐标系中最值问题 拓展训练二 平面直角坐标系中动点问题 拓展训练三 翻折问题中的坐标计算 拓展训练四 旋转问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 知识点二：坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 知识点三：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移 个单位长度． 知识点四：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 知识点五：坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 知识点六：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【经典例题一 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则a的值为 （    ） A．2 B． C． D．3 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【经典例题二 坐标系中的平移】 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 【经典例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 【经典例题四 由平移方式确定点的坐标】 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏·模拟预测）四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为 ，为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【经典例题五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例5】（2025八年级上·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，三角形是由三角形经过平移得到的，点A，B，C的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (2)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为，求a和b的值； (3)连接，直接写出与之间的数量关系． 【经典例题六 已知图形的平移，求点的坐标】 【例6】（2025·海南海口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标为（_______，________）； (2)请画出与关于原点成中心对称的． 【经典例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例7】（2025·江苏徐州·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 3．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【经典例题八 坐标系中的对称】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【经典例题九 坐标与图形变化——轴对称】 【例9】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）某火星探测器着陆后建立平面直角坐标系，原点为着陆点，探测器首次移动至点，随后启动对称模式，关于轴对称至点，则点的位置坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）“怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（   ） A． B．0 C．1 D．5 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中） 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在格点上． (1)已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整； (2)在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为 ； (3)在直线l上找出点P，使最短． 【经典例题十 坐标系中的旋转】 【例10】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 1．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【经典例题十一 求关于原点对称的点的坐标】 【例11】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点关于原点对称的点的坐标为 ． 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)作出与关于坐标原点O成中心对称的； (2)作出将向上平移4个单位得到的； (3)已知P是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，点P的对应点的坐标是________． 【经典例题十二 已知两点关于原点对称求参数】 【例12】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知点和点关于原点对称，则与的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为________． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若点和点关于原点对称，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 【经典例题十三 判断两个点是否关于原点对称】 【例13】（24-25八年级上·全国·课后作业）△ABC和 关于点O对称，下列结论不正确的是（ ）. A．AO＝ B．AB∥ ​ C．CO＝BO D．∠BAC＝∠ ​ 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）和点关于 对称． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【经典例题十四 中点坐标】 【例14】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为，． (1)将图中该不规则图形分成两个规则的四边形，请你分别画出这两部分的重心位置，并写出这两个重心的坐标； (2)结合（1）得到的结论，请你求出该不规则图形的重心坐标． （不规则图形重心坐标，其中．） 【经典例题十五 标系中的动点问题（不含函数）】 【例15】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 1．（2025八年级上·全国·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，记；，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是_____； ②点在轴上，若，则点的坐标是_____． (2)点，在轴上，点在点的左侧，，点的坐标为，求线段在轴上运动时，算出的最小值及此时点的坐标． 【经典例题十六 用方向角和距离确定物体的位置】 【例16】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．分列式阅兵过程中，预警探测方队受阅的4型装备都是国产新一代高机动雷达，是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知A在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（   ） A．B在探测器的南偏东，2海里处 B．C在探测器的北偏西，3海里处 C．D在探测器的南偏西，3海里处 D．E在探测器的正东方向，1海里处 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）“小敏在小丽的北偏东方向处”，下面图中与这句话相符的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）1路公共汽车从起点站先沿西偏北方向行驶3千米，然后向正西方向行驶4千米，最后沿南偏西方向行驶3千米到达终点站．根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整． 【经典例题十七 点坐标规律探索】 【例17】 （25-26八年级上·江苏常州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行．当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，点均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【拓展训练一 平面直角坐标系中最值问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2) 若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 3．（25-26八年级上·江苏常州·月考）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【拓展训练二 平面直角坐标系中动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． (1)下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ (2)若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； (3)点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，已知的边上任意一点经过一次平移后的对应点为，将作同样的平移得到． (1)在图中画出； (2)点、、的坐标分别为______，______，______； (3)连接，为上的动点，则长的最小值为______． 【拓展训练三 翻折问题中的坐标计算】 1．（25-26八年级上·山江苏盐城·月考）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的顶点，，，按下列要求作图． (1)将向下平移两个单位得到； (2)将沿轴进行翻折得到，并写出的坐标． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出C点坐标； (2)先将沿y轴翻折，再向下平移6个单位长度后得到，请在网格内画出； (3)在（2）的条件下，的边上一点的对应点的坐标是 ． 【拓展训练四 旋转问题中的坐标计算】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． (1)画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． (2)连接，则的度数为_____． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，. (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则点坐标为______，点坐标为______； (3)若点是点关于原点的对称点，则的坐标为______ 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，，将绕点旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)在图1中，作出，使点落在轴上． (2)在图2中，作出，使点的横坐标是纵坐标的3倍． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）某火星探测器着陆后建立平面直角坐标系，原点为着陆点，探测器首次移动至点，随后启动对称模式，关于轴对称至点，则点的位置坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的顶点都在方格线的交点上，如果将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，那么点B的对应点的坐标是 ． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，若点关于轴对称的点在直线上，则的值为 ． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点P第2023次运动到的点的坐标是 ． 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）在直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，－3）、C（6，5）、�D（－3，4），作出A、B、C、D点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标． A（4，0），A′ B（0，-3），B′ C（6，5），C′ D（－3，4），D′ 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形变换与坐标变化重难点题型专训 （6个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 求点到坐标轴的距离 题型二 坐标系中的平移 题型三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 题型四 由平移方式确定点的坐标 题型五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 题型六 已知图形的平移，求点的坐标 题型七 已知平移后的坐标求原坐标 题型八 坐标系中的对称 题型九 坐标与图形变化——轴对称 题型十 坐标系中的旋转 题型十一 求关于原点对称的点的坐标 题型十二 已知两点关于原点对称求参数 题型十三 判断两个点是否关于原点对称 题型十四 中点坐标 题型十五 标系中的动点问题（不含函数） 题型十六 用方向角和距离确定物体的位置 题型十七 点坐标规律探索 拓展训练一 平面直角坐标系中最值问题 拓展训练二 平面直角坐标系中动点问题 拓展训练三 翻折问题中的坐标计算 拓展训练四 旋转问题中的坐标计算 知识点一：关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 知识点二：坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏常州·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可解答． 【详解】解：点关于y轴对称点的坐标是． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图是一个轴对称图形，将其放置在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：1． 知识点三：坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据坐标平移的规律，纵坐标的变化对应上下平移，减3则向下平移3个单位，据此可得答案． 【详解】解：将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，相当于每个点的位置在竖直方向上减少了3．根据平移规律，纵坐标减少表示向下平移，因此所得图形与原图形相比向下平移了3个单位． 故选B． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移 个单位长度． 【答案】 【分析】本题考查了坐标的平移，根据平移的性质即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系内，将一个正方形四个顶点的横坐标不变，纵坐标都加，按照新的坐标重绘正方形相当于将原正方形向上平移个单位长度， 故答案为： 知识点四：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系内，点关于原点的对称点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的特点是解决本题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数进行解答即可． 【详解】解：∵点和点Q关于原点对称， ∴点Q的坐标为． 故选A． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标的特点，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标的特点． 根据关于原点对称的点的坐标，横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 知识点五：坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键； 根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：点C是的中点， 设点B的坐标为， 则， 解得：， ∴点B的坐标为； 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 知识点六：规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，如果点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点P的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到，，，，，，若点P的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求，，，，发现循环规律即可解题． 【详解】解：点的坐标为， 的终结点为的坐标为（-1，2）， 点的终结点为的坐标为（1，4）， 点的终结点为的坐标为（3，2）， 点的终结点为的坐标为（1，0）， 观察发现，P点坐标四个一循环， 2022÷4=505……2， 点的坐标与的坐标相同， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标变换规律，根据坐标变换方法，求出点的坐标并发现循环规律是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即可． 【详解】解：∵的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”且的5级关联点为 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【经典例题一 求点到坐标轴的距离】 【例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，有两点，若轴，则a的值为 （    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，当直线平行于x轴时，则直线上所有点到x轴的距离相等，即它们的纵坐标都相等；当直线平行于y轴时，则直线上所有点到y轴的距离相等，即所有点的横坐标相等；据此即可得关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵两点，若轴， ∴A、B两点的纵坐标相等， 即， 解得：， 故选：A． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点的坐标为，作轴，轴，垂足分别为，，点为线段的中点，点从点出发，在线段上沿运动，当时，点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是判断出全等． 分两种情况：①当点在边上时，根据判断出，得出，得出点的坐标；②当点在边上时，同①的方法即可． 【详解】解：∵点的坐标为，轴，轴， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ①当点在边上时， 在和中， ， ， ， ， ②当点在边上时， 同①的方法，得出， ， 或． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知平面直角坐标系中有一点． （1）若P点在x轴上，则m的值为 ； （2）当点P到y轴的距离为3时，点P的坐标为 【答案】 3 或 【分析】（1）根据P点在x轴上，得解答即可； （2）根据点P到y轴的距离为3，得到，解答即可． 本题考查了点在x轴上，点到坐标轴的距离，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：（1）根据P点在x轴上，得， 解得， 故答案为：3； （2）解：根据点P到y轴的距离为3，得到， 得或， 解得或， 故或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，对于点若点Q的坐标为其中a为常数,则称点Q是点P的“a级关联点”．如：点的“3级关联点”即 （1）点的“2级关联点”的坐标是 ； （2）已知点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握点到坐标轴的距离与坐标的关系，正确理解已知条件中的新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义求出答案即可； （2）先根据已知条件中的新定义求出点的“级关联点”C的坐标，再根据点C到x轴、y轴的距离相等，列出关于b的方程，解方程求出b，从而求出点C的坐标即可． 【详解】解：点， 点的“2级关联点”的坐标是，即点的“2级关联点”的坐标是， 故答案为：； 点的“级关联点”C的坐标为，即， 点的“级关联点”C到x轴、y轴的距离相等， ， ， 解得：或， 当时， ， 当时， 点C坐标为或． 故答案为：或． 4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点在轴上，求此时点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求此时的值； (3)若点到轴的距离与到轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）根据轴上点的坐标特征进行解答即可； （）根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行解答即可； （）根据到坐标轴距离相等的点的坐标特征进行解答即可； 本题考查了坐标与图形，熟知轴上及平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴， 解得； （3）解：∵点到轴的距离与到轴的距离相等， ∴或， 解得或， 当时，，， ∴点坐标为； 当时，，， ∴点坐标为， ∴点的坐标为或． 【经典例题二 坐标系中的平移】 【例2】（25-26八年级上·江苏淮安·开学考试）在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中原点变换后的坐标规律，先确定点相对于点的位置，再根据相对位置关系求出以为原点时点的坐标即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：在方格纸上有A、B两点，若以B点为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为，若以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．线段轴，把点向左或右平移3个单位即可得到点的坐标． 【详解】解：线段轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， ，点的坐标为， 点的坐标是或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可． 【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点； 把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点； 把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点； 把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点， 第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点， 到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度， 到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度， 到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度， 到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， 到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， 可以看作每四次坐标变换为一个循环， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知点，，试根据下列条件求出，的值． (1)，两点关于轴对称； (2)，两点关于轴对称； (3)轴． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数据此求解即可； （2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数据此求解即可； （3）轴，即两点的纵坐标相等且横坐标不相等，据此求解． 【详解】（1）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （2）解：∵，两点关于轴对称， ∴，； （3）解：∵轴， ∴，． 【经典例题三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标】 【例3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点A与点B关于y轴对称，将点A向右平移4个单位长度后，点A的坐标为，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点，关于y轴对称的点的坐标， 先根据平移求出点A的坐标，再根据对称可得答案. 【详解】解：点向右平移4个单位长度的坐标为， ∴点，即. ∵点A与点B关于y轴对称， ∴点. 故选：B. 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点的坐标，先在坐标系中描出A、B、C，再顺次连接A、B、C即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∴，，． 【经典例题四 由平移方式确定点的坐标】 【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，掌握平移规律是解题的关键． 首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移3个单位， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 1．（2025·江苏·模拟预测）四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换，以及图形的平移，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点：纵不变，横相反． 根据关于y轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：将A向右平移5个单位，可得，能使四个“中国结”关于y轴对称． 故选：A 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为 ，为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标． 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，点A、B的坐标为、，将平移到，已知坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角坐标系中平移的性质，根据平移的特征可知点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，则将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点，即可求解． 【详解】解：根据点平移到点，可知横坐标增加2，纵坐标增加1， ∴将点A向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位长度得到点， ∴点，即． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）的位置如图所示，现将平移，使点移到点的位置． (1)请画出平移后的，并写出点的对应点的坐标______； (2)若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是______． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【分析】本题考查坐标系中图形的平移与坐标变化，熟练掌握坐标系中图形的平移规律是解题的关键， （1）根据点移到点，得到平移规律，从而得到答案； （2）根据（1）中的平移规律即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：，，， ∵点移到点， ∴平移规律为：横坐标向左平移5个单位，纵坐标向下平移2个单位， ∴，， 依次连接，即可得到，如图所示： 故答案为： （2）解：∵点为内部的点， ∴根据（1）中的平移规律可得：， 故答案为：． 【经典例题五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式】 【例5】（2025八年级上·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移后，其中一个点的坐标变为，则另一个的坐标变为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中点的平移规律，熟练掌握点的坐标平移规律是解题的关键．利用点平移的坐标变化规律横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，分两种情形分别求解． 【详解】解：分以下两种情况： ①若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向下平移个单位， 点坐标平移后变为； ②若平移后坐标变为， 可知点向左平移个单位，向上平移个单位， 点坐标平移后变为． 综上所述：另一个点的坐标为或． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．根据点、的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 【详解】解：∵点的对应点是， ∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图：，若将线段平移至，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解决问题的关键． 根据点A和的坐标确定出横向平移规律，点B和的坐标确定出纵向平移规律，即可求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴平移规律为向右个单位，向上个单位， ∴， ∴． 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB向左平移若干个单位得到线段，点的对应点为，点B在x轴上，线段所在的直线与y轴交于点P，连接，，则线段平移了 个单位，的面积为 ． 【答案】 4 8 【分析】本题考查点的平移的坐标变化，平移的性质，平行线间三角形等积变换，掌握平移的性质是解题的关键． 由点A与点的坐标可得线段平移了4个单位长度．连接，由平移的性质得到，．过点作轴于点N，则，进而得到． 【详解】解：∵，， ∴线段平移了4个单位长度． 连接， ∵平移4个单位长度得到， ∴，． 过点作轴于点N，则， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4；8． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，三角形是由三角形经过平移得到的，点A，B，C的对应点分别为，，，且这六个点都在格点上，解答下列问题： (1)分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； (2)若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为，求a和b的值； (3)连接，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)点B的坐标为，点的坐标为；三角形是由三角形向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的 (2)a的值为5，b的值为12 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． （1）根据所给平面直角坐标系及点B和点的位置即可解决问题． （2）根据平移的性质即可解决问题根； （3）据平移的性质得出，再根据平行线的性质即可解决问题．． 【详解】（1）解：由所给平面直角坐标系可知， 点B的坐标为，点的坐标为； 三角形是由三角形向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的； （2）解：因为点B坐标为，平移后对应点的坐标为， 所以． 因为点M坐标为，且其平移后的对应点N的坐标为， 所以，， 解得， 故a的值为5，b的值为12． （3）解：因为由平移得到， 所以， 所以． 因为， 所以． 【经典例题六 已知图形的平移，求点的坐标】 【例6】（2025·海南海口·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，．将线段平移至线段，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中的平移，由题意，线段由线段向右平移个单位，再向下平移个单位得到，即可得出点的坐标． 【详解】解：点A，B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，，， ∴、． ∵线段平移至线段．点的坐标为， ∴点A向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∵点B向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后为． 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的坐标变换，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先写出点C的坐标，再根据“左减右加”得出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：点C的坐标为， ∵将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴点C的对应点的坐标是，即． 故先：B． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”成为解题的关键． 先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，然后再确定点的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标为（_______，________）； (2)请画出与关于原点成中心对称的． 【答案】(1)2，5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图—中心对称变换、平移变换，坐标的平移，熟练掌握平移变换、中心对称变换的特征是解题的关键． （1）根据坐标平移的规则：上加下减，左减右加，即可得到答案； （2）利用关于原点成中心对称的点的特征得到的坐标，连线即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标是， ∴横坐标减去了2，纵坐标加上了6， ∴向左平移2个单位长度，又向上平移了6个单位长度， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：2，5； （2）解：如图所示，即为所求： 【经典例题七 已知平移后的坐标求原坐标】 【例7】（2025·江苏徐州·三模）在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的变化—平移，已知新点的坐标，求原来点的坐标，根据平移的逆过程，将平移后的点反向平移即可得到原坐标即可．解题的关键是掌握点坐标平移的坐标特征：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，上加下减． 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即． 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 【答案】D 【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论． 【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3）， ∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 3．（2025·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）已知△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ABC A（2，4） B（5，b） C（c，7） △A'B'C' A'（a，1） B'（3，1） C'（4，4） (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空：a= ，b= ，c= ； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△A'B'C'； (3)连接BB' 和CC'，求出四边形BB'C'C的面积． 【答案】(1)0，4，6 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）由点A（2，4）到（a，1）可知，点由A向下平移3个单位得到，得； （2）直接画图即可； （3）将四边形BB'C'C放在长方形中利用面积之差即可求出结果． 由B（5，b）到B'（3，1）可知，点由B向左平移2个单位得到，得,，． 【详解】（1）解：由题意，△A'B'C'是由△ABC向下平移3个单位、向左平移2个单位得到； ∴，，； 故答案为：0，4，6 （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题考查直角坐标系中的点坐标平移、面积的求法，根据点坐标确定平移的规律和利用割补法求面积是解题的关键． 【经典例题八 坐标系中的对称】 【例8】（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是三色鹭在水面照镜子的画面，点和点关于水面所在直线对称．若将水面看作平行于轴且过点的直线，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形与坐标，熟记平面直角坐标系中关于直线对称的点的坐标特征是解决问题的关键．设点的坐标为，由题意得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点的坐标为， 点和点关于水面所在直线对称，将水面看作平行于轴且过点的直线， ， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的两个点“横坐标互为相反数，纵坐标相同”即可解答． 【详解】解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，由题意可知点和点关于轴对称，再根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点和点关于轴对称， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请回答下列问题： (1)将A，B，C三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，所得的点分别记为D，E，F；在平面直角坐标系中画出； (2)在平面直角坐标系中画出关于y轴对称的（其中点D，E，F的对称点分别为点M，N，P）； (3)在（2）的条件下，若点是线段上的任意一点，则点G在线段上的对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，解题的关键是熟练掌握关于x轴对称和y轴对称的点的坐标特征． （1）将，，三点横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则点，，的坐标分别为：，，，在平面直角坐标系中画出即可； （2）先作出点，，关于y轴的对称点分别为点，，，然后顺次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行解答即可． 【详解】（1）解：为所求作的三角形，如图所示： ； （2）解：如图，为所求作的三角形； ； （3）解：∵与关于y轴对称， ∴点在线段上的对应点的坐标为． 【经典例题九 坐标与图形变化——轴对称】 【例9】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）某火星探测器着陆后建立平面直角坐标系，原点为着陆点，探测器首次移动至点，随后启动对称模式，关于轴对称至点，则点的位置坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的特点，坐标确定位置，熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键． 根据点关于轴对称时，横坐标取相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即． 故选：B． 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）“怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（   ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中） 【答案】5 【分析】本题考查了轴对称的性质以及平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是利用像与物关于轴对称，得出对应点的横、纵坐标关系． 【详解】解：∵ 像与物关于轴对称，烛焰的坐标为，虚像的坐标为， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称图形性质，点坐标特点等．根据题意可知点关于直线对称，继而再利用的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴设点的坐标为， ∴，即：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在格点上． (1)已知和关于直线l对称，请在图上把和补充完整； (2)在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为 ； (3)在直线l上找出点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，画轴对称图形，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据轴对称的性质找到点C的对称点，点B的对称点即可求解； （2）根据关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解； （3）连接，与直线l交于点P，连接，此时最短． 【详解】（1）解：如图，和即为所求． （2）由题意可得：可得点的坐标为． 故答案为：； （3）如图所示，连接交l于点P，则点P即为所求． 【经典例题十 坐标系中的旋转】 【例10】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形、点坐标与图形，熟练掌握旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上是解题关键．找出线段和的垂直平分线的交点即可得． 【详解】解：由题意可知，线段和的垂直平分线的交点即为旋转中心． ∵如图，线段的垂直平分线为直线，线段的垂直平分线是边长为3的正方形的一条对角线所在直线，其与轴的交点为，    ∴旋转中心的坐标是， 故选：B． 1．（2025·山东青岛·二模）如图，把图中的经过一定的变换得到，如果图中上的点的坐标为，那么它的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转，准确识图，观察出两三角形成中心对称，对称中心是是解题的关键．先根据图形确定出对称中心，然后根据中点公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可知，与关于点成中心对称， 设点的坐标为， 所以，，， 解得，， 所以． 故选：B． 2．（2025·江苏·一模）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ； 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据点A的坐标得到，，再结合旋转的性质求解即可． 【详解】解：在x轴上，，点A的坐标为， ，， 由旋转的性质可知，，，， ，即， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． (2)作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 由图可得，点Q的坐标为； （2）解：如图，即为所求． 由图可得，，，． 【经典例题十一 求关于原点对称的点的坐标】 【例11】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）平面直角坐标系中，点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为，则为（    ） A．0 B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数．据此列式计算即可求解． 【详解】解：∵点P关于x轴的对称点为，点P关于y轴的对称点为， ∴与关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）点关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）如图所示是一个坐标方格盘，你可操纵一只遥控机器蛙在方格盘上进行跳步游戏，机器蛙每次跳步只能按如下两种方式（第一种：向上、下、左、右可任意跳动格或格；第二种跳到关于原点的对称点上）中的一种进行．若机器蛙在点，现欲操纵它跳到点，请问机器蛙至少要跳 次． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，根据题意得到可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可到达，据此即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：若机器蛙在点，根据跳步游戏规则，可以先向右跳三步，再向下跳一步，然后跳到关于原点的对称点即可跳到点，这个路径步数最少，共步， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）． (1)作出与关于坐标原点O成中心对称的； (2)作出将向上平移4个单位得到的； (3)已知P是内一点，其坐标为，经过上面两次位置变换后，点P的对应点的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图中心对称变换，作图平移变换，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （1）作出点、、关于原点O的对称点、、，得到； （2）把点、、分别向上平移4个单位长度得到点、、，得到； （3）按照两次位置变换的顺序依次求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）解：关于坐标原点O成中心对称的点坐标为，再向上平移4个单位长度得到点，即， 故答案为：． 【经典例题十二 已知两点关于原点对称求参数】 【例12】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知点和点关于原点对称，则与的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求得a、b的值． 【详解】∵点A（-3，a）和点B（b，-2）关于原点对称， ∴a=2，b=3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）已知点与点关于坐标原点对称，则实数a，b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】关于原点对称的横纵坐标互为相反数，由此可得到答案． 【详解】解：由于点与点关于坐标原点对称， 根据关于原点对称的横纵坐标互为相反数， 得到， 故选B． 【点睛】本题主要考查坐标关于原点对称的性质，熟知关于原点对称的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点与点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标都是互为相反数的性质是解题的关键．关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 利用如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出，的值，代入求解即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）若点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得， ∴； 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，点，点． (1)若点A和点B关于x轴对称，求的值； (2)若点A和点B关于原点对称，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． （1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得方程组，根据解方程组，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】（1）解：∵点A和点B关于x轴对称， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵点A和点B关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 【经典例题十三 判断两个点是否关于原点对称】 【例13】（24-25八年级上·全国·课后作业）△ABC和 关于点O对称，下列结论不正确的是（ ）. A．AO＝ B．AB∥ ​ C．CO＝BO D．∠BAC＝∠ ​ 【答案】C 【详解】试题解析：点C与点B不是对称点，所以线段CO不一定与线段OB相等． 故选C. 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点是直线在第二象限上的一个点，点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称和关于原点对称，设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接，则，利用勾股定理求出的长；设，根据轴对称的性质得到，，则点D和点E关于原点对称，故三点共线，可推出，则当时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：设直线分别与x轴，y轴交于G，H，连接， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； 设， ∵点关于轴对称的点为，关于轴对称的点为， ∴，， ∴点D和点E关于原点对称， ∴三点共线， ∴， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵此时， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）和点关于 对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的并写出点的坐标； (3)将每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，顺次连接这些点，会得到一个新图案，这个新图案与有怎样的位置关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)关于原点对称 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，即为所求； 这个新图案与关于原点对称． 【经典例题十四 中点坐标】 【例14】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点， 当，则，，， ∵，即点P不是线段的中点，故A选项错误； ∵点， ∴， ∴不是定值，故B选项错误； ∵轴，点的纵坐标为，， ∴， ∵，， 当时， 则或， 解得：或， 即有2个m的值，故C选项错误； 当时，则或（无解）， 解得：， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 1．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中点坐标公式． 根据中点坐标公式，直接计算两点横纵坐标的平均值． 【详解】解：点和点的中点坐标公式为，即． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在线段之间设置一个中转站，且中转站到点和点的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在平面直角坐标系中有一个不规则图形，该图形的各顶点坐标分别为，． (1)将图中该不规则图形分成两个规则的四边形，请你分别画出这两部分的重心位置，并写出这两个重心的坐标； (2)结合（1）得到的结论，请你求出该不规则图形的重心坐标． （不规则图形重心坐标，其中．） 【答案】(1)见解析，， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解题意是解题的关键． （1）取点，把这个图形分成正方形和长方形，长方形和正方形的重心均为其对角线的交点，据此根据中点坐标公式可得对应的重心坐标； （2）求出正方形和长方形的面积，再根据不规则图形的重心坐标计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，取点， 把这个图形分为正方形和长方形， 正方形的重心M的坐标为，长方形的重心N的坐标为； （2）解：正方形的面积为， 长方形的面积为， ∵， ∴， ∴该不规则图形的重心坐标为． 【经典例题十五 标系中的动点问题（不含函数）】 【例15】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）中国象棋中“马走日字”（“马”从两个小方格组成的“日”字的一角走到相对的另一角，横着走竖着走都可以），如图中“马”从点出发，可到达，中任意一点，若“马”从点出发连续走了次“日”字后到达点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，能够将实际问题转化为平面直角坐标系中点的关系是解题的关键．根据题意画出“马”从点出发到点的路线，进而求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 当点 往右上角方向走“日”字时， 有最小值，由图象可得，的最小值为9， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 4．（25-26八年级上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，记；，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是_____； ②点在轴上，若，则点的坐标是_____． (2)点，在轴上，点在点的左侧，，点的坐标为，求线段在轴上运动时，算出的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)或 (2)的最小值为，点的坐标为或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标运算、绝对值的概念与性质、新定义问题的理解与应用，解题关键是通过设点P的坐标表示出线段上点的范围，将转化为绝对值函数的最值问题，再利用绝对值的几何意义求解最小值． （1）先计算和，再计算; 设，根据定义计算，再由列方程求解； （2）设，则，设点在线段上，由是的最大值，分三种情况：讨论，确定的最小值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：，， ，， ; 设，则，， ， ，解得或， 或； 故答案为：或； （2）设，则，设点在线段上， ， ，， ； 又，， ； 是的最大值, 是线段的两个端点， ， 当时，有最小值， 当时，，解得； 当时，，解得， 当时，，，， 此时存在，使，但， 不合题意，舍去； 当时，，解得， 将或代入或，， 点的坐标为或． 【经典例题十六 用方向角和距离确定物体的位置】 【例16】（25-26八年级上·江苏泰州·期中）9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行．分列式阅兵过程中，预警探测方队受阅的4型装备都是国产新一代高机动雷达，是守望国家空天安全的“千里眼”．如图，在一个平面区域内，O处的雷达探测器测得在A，B，C，D，E处均有目标出现．屏幕显示可知A在探测器的北偏东，2海里处，则下列说法正确的是（   ） A．B在探测器的南偏东，2海里处 B．C在探测器的北偏西，3海里处 C．D在探测器的南偏西，3海里处 D．E在探测器的正东方向，1海里处 【答案】B 【分析】本题考查的是用坐标系确定位置，理解方位角的意义是解题的关键．根据A在探测器的北偏东，2海里处，结合方位角即可判断点B、C、D、E的位置． 【详解】解：A、B在探测器的南偏东，2海里处，故错误； B、C在探测器的北偏西，3海里处，正确； C、D在探测器的南偏西，2海里处，故错误； D、E在探测器的正西方向，1海里处，故错误； 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）“小敏在小丽的北偏东方向处”，下面图中与这句话相符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方位角的定义，熟练掌握方位角的定义是解题的关键；根据题目中的方位描述，选择正确的图形即可求解． 【详解】解：根据题目可得小敏在小丽的北偏东方向处， A、小敏在小丽的北偏东方向处，符合题意； B、小丽在小敏的北偏东方向处，不符合题意； C、小敏在小丽的北偏西方向处，不符合题意； D、小丽在小敏的北偏西方向处，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 【答案】南偏西， 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，点A在观测点北偏东30方向，且与观测点的距离为8千米，将点A的位置记作A(8，30)，用同样的方法将点B，点C的位置分别记作B(8，60)，C(4，60)，则观测点的位置应在 ． 【答案】O1点 【分析】因为A（8，30），B（8，60），C（4，60），则A、B与观测点距离相等，C与观测点距离是B点到观测点距离的一半，进而得出观测点位置． 【详解】解：如图所示： A（8，30°），B（8，60°），C（4，60°），则观测点的位置应在O1点． 故答案为：O1点． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确利用已知点得出观测点是解题关键． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）1路公共汽车从起点站先沿西偏北方向行驶3千米，然后向正西方向行驶4千米，最后沿南偏西方向行驶3千米到达终点站．根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查根据方向、角度和距离画线路图、应用比例尺画图，用方向和距离结合来画路线时，要注意三个要素：一是观测点（即参照物），二是方向，三是距离．地图上按上北下南左西右东确定方向，观察可知，图上1厘米表示实际1千米，因此几千米在图上就画几厘米即可． 【详解】 【经典例题十七 点坐标规律探索】 【例17】 （25-26八年级上·江苏常州·月考）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向匀速循环前行．当机器人前行了时，其所在位置的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 由点的坐标可得智能机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是10，即每过10秒点P回到A点一次，判断的余数可知智能机器人的位置． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴机器人从点A出发沿着回到点A所走路程是：， ∴每过10秒点P回到A点一次， ∵， ∴第2025秒与第5秒时机器人所在的位置相同， ∵， ∴此时机器人在点处， ∴机器人所在点的坐标为， 故选：C． 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出当时，第个点的坐标为：，再往后推1个点即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为：， 第8个点的坐标为：， 第12个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：， ∴当时，第个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…，根据这个规律，第2027个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，由图形可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，…，故第个点的横坐标为，纵坐标为（为正整数），求出第个点的坐标为，进而即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，…， 故第个点的横坐标为，纵坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为，纵坐标为， ∴第个点的坐标为， ∵第个点向上移动一个单位是第2026个点，再向右移动一个单位是第2027个点， ∴第2026个点的坐标为，第2027个点的坐标为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线经过点，点均为格点，且按如图所示的规律排列在直线上，若点的纵坐标为，则的值为 ． 【答案】4048 【分析】写出到的坐标，找到它们纵坐标与下标的规律，用代数式表示这个规律，根据点的纵坐标为列出方程，解方程即可得到n的值．本题考查点的坐标规律，找出坐标与下标n的关系是解题的关键． 【详解】解：由图可知 ∵点的纵坐标为， ∴在第三象限， 第三象限的点的纵坐标与下标n的关系为： 纵坐标 则当时，解得， 故答案为：4048． 4．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 【拓展训练一 平面直角坐标系中最值问题】 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点A的坐标为 ①点，，中，与点A为“等距点”的是____； ②若点M的坐标为，且A，M两点为“等距点”，求出点M的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在y轴上有一点，连接，，，．若三角形的面积为三角形的面积的倍时，求出b的值． 【答案】(1)①C，D；②点或 (2)或 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可； ②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：C，D； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或 ∴点或 （2）解：∵点与点两点为“等距点” ∴或 解得： ∴，或，（舍去）或，或，（舍去） ∴，或，， 当，时 分别过点E，F向x轴作垂线，垂足为P，Q，过点F向y轴作垂线，垂足为K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴    当，时 与y轴交于点K ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，或    2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．已知点的坐标为． (1)在点中，与点等距的点是___________； (2)若点的坐标为，且两点为“等距点”，求点的坐标； (3)若两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)3或9 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． （1）找到x、y轴距离最大为4的点即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （3）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有6的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点到轴、轴的距离中的最大值分别为5，3，4， ∴点等距的点是； 故答案为： （2）∵两点为“等距点”， 点A到轴、轴的距离中的最大值为4， ∴点B到轴、轴的距离中的最大值为4， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； （3）解： 若，此时或， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或1（舍去）； 若，此时， ∵两点为“等距点”， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，k的值为3或9． 3．（25-26八年级上·江苏常州·月考）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①E，②或； (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解“等距点”的定义是解题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为4；点到x、y轴的距离中最大值为5； 与A点是“等距点”的点是E． ②∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3，点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”， ∴a．，解得：，即； b．，解得：，即； 综上，点B的坐标为或． 故答案为①E；②或． （2）解：，两点为“等距点”， ①若，即时， ∴根据“等距点”的定义知，或，解得：（舍去）或． ②若，即或时， ∴根据“等距点”的定义知，，解得：或（舍去）． 综上，或符合题意，即k的值是1或2． 【拓展训练二 平面直角坐标系中动点问题】 1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，对于点、点满足，其中m为常数，则称点P与点Q互为“m阶和谐点”，例如：点与互为“2阶和谐点”． (1)下列选项中，是点的“8阶和谐点”的有______（填序号）． ①            ②            ③            ④ (2)若点与点互为“a阶和谐点”，点P到坐标轴的距离相等，求a的值； (3)点和点互为“0阶和谐点”，点C是y轴上的动点，若的面积为9，求点C的坐标． 【答案】(1)①③ (2)a的值为33或 (3)点C的坐标为或 【分析】本题主要考查直角坐标系中点的坐标，熟练掌握直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键； （1）根据“8阶和谐点”可依次进行排除； （2）根据题意易得，然后得出m的值，进而根据“a阶和谐点”可进行求解； （3）由题意易得，则有，设点，则有，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，故符合题意； ②∵，， ∴，故不符合题意； ③∵，， ∴，故符合题意； ④∵，， ∴，故不符合题意； 故答案为①③； （2）解：∵，且点P到坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或， ∴或， 当，时，则有； 当，时，则有； ∴综上所述：a的值为33或； （3）解：∵点和点互为“0阶和谐点”， ∴，即， ∴， 设点，则有， ∵的面积为9， ∴， 解得：或10， ∴点C的坐标为或． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒，理由见解析 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，已知的边上任意一点经过一次平移后的对应点为，将作同样的平移得到． (1)在图中画出； (2)点、、的坐标分别为______，______，______； (3)连接，为上的动点，则长的最小值为______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解题关键． （1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点的位置并顺次连接即可得到三角形． （2）根据（1）中图象写出的坐标即可； （3）由点的坐标可知轴，故当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为，则该三角形的平移方式为向右平移 4 个单位长度，向上平移 3 个单位长度， 故平移后三角形的位置如下图所示， （2）解：根据（1）可知； （3）解：连接， ∴轴， 当，即点、的横坐标相同时，的长取最小值，如下图， 此时． 【拓展训练三 翻折问题中的坐标计算】 1．（25-26八年级上·山江苏盐城·月考）如图，直角坐标系中，长方形纸片的边在y轴上，边在x轴上，B与坐标原点重合，折叠长方形的一边，使点D落在边的F处，折痕为，若A点坐标为，C点坐标为．求：E点坐标． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理，折叠等知识，先根据A、C的坐标和长方形的特征求出，，根据折叠的性质得出，，在中，根据勾股定理求出和，则，设，则，在中，根据勾股定理构建关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵A点坐标为，C点坐标为， ∴，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴点E的坐标为． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的顶点，，，按下列要求作图． (1)将向下平移两个单位得到； (2)将沿轴进行翻折得到，并写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；，， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． ，，． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为． (1)请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系，并写出C点坐标； (2)先将沿y轴翻折，再向下平移6个单位长度后得到，请在网格内画出； (3)在（2）的条件下，的边上一点的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查了平移变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用A，B点坐标建立平面直角坐标系得出答案； （2）利用轴对称以及平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）先求出关于y轴对称的点的坐标，再利用平移的性质得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示：； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：在（2）的条件下，的边上一点沿y轴翻折后的坐标为，再向下平移6个单位长度后对应点的坐标是：． 故答案为：． 【拓展训练四 旋转问题中的坐标计算】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，点，的坐标分别为、，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点对应，点和点对应）． (1)画出旋转后的，并写出点的坐标为_____． (2)连接，则的度数为_____． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，确定点的坐标等内容，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质，确定三角形的对应点，然后连接各顶点即可，根据平面直角坐标系确定点的坐标； （2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：即为所求， 点的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示，连接， 根据旋转的性质得，，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在中，，，. (1)试在图中作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点的坐标为，试在图中画出直角坐标系，则点坐标为______，点坐标为______； (3)若点是点关于原点的对称点，则的坐标为______ 【答案】(1)作图见解析 (2)， (3) 【分析】本题考查了旋转－作图，坐标与图形，关于原点对称，熟练掌握平面直角坐标系以及旋转的性质是解本题的关键． （1）根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； （2）根据点B的坐标为作出直角坐标系，写出点的坐标即可； （3）根据关于原点对称的两个点横纵坐标均互为相反数即可得出答案． 【详解】（1）（1）如图，为所作； （2）直角坐标系如图，则，； （3）∵点是点C关于原点的对称点，C点坐标为， ∴, 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）如图，在直角坐标系中，已知点，，，将绕点旋转得到，点，的对应点分别是点，． (1)在图1中，作出，使点落在轴上． (2)在图2中，作出，使点的横坐标是纵坐标的3倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）若点落在轴上，则是由绕点旋转得到的，根据旋转的性质作图即可． （2）由题意可取点或，即是由绕点逆时针旋转或顺时针旋转得到的，再根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，和均满足题意． 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）某火星探测器着陆后建立平面直角坐标系，原点为着陆点，探测器首次移动至点，随后启动对称模式，关于轴对称至点，则点的位置坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的特点，坐标确定位置，熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，是解题的关键． 根据点关于轴对称时，横坐标取相反数，纵坐标不变求解即可． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的坐标变换，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先写出点C的坐标，再根据“左减右加”得出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：点C的坐标为， ∵将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴点C的对应点的坐标是，即． 故先：B． 4．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换．若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是：， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是：， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·月考）在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移， “右移加，左移减，上移加，下移减”．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减4即可得到点B的坐标． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，的顶点都在方格线的交点上，如果将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，那么点B的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据平移规则，求出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：， ∵将先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴，即：； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，若点关于轴对称的点在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，通常把点坐标代入函数表达式即可求解．点A关于x轴的对称点B的坐标为：，将点B的坐标代入直线表达式，即可求解． 【详解】解：点A关于x轴的对称点B的坐标为：， 将点B的坐标代入直线表达式得：， 解得：， 故答案为1． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点P第2023次运动到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形可知：每4次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，并且每一个循环向右运动4个单位，用可判断出第2023次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 【详解】解：由题意得，动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，点的纵坐标依次为，每个循环向右运动4个单位， ， 第2023次运动时，点P在第506次循环的第3次运动上， 横坐标为，纵坐标为0， 此时． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·全国·课后作业）在直角坐标系中，已知A（4，0）、B（0，－3）、C（6，5）、�D（－3，4），作出A、B、C、D点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标． A（4，0），A′ B（0，-3），B′ C（6，5），C′ D（－3，4），D′ 【答案】 （－4， 0） （ 0， 3） （－6，－5） （ 3，－4） 【解析】略 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据x轴上的点纵坐标为0可得，然后进行计算即可解答； （2）根据平面直角坐标系中第二象限的坐标特征以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答． 【详解】（1）解：当在轴上时，纵坐标为0，即： 解得； （2）解：点在第二象限，故横坐标为负、纵坐标为正，即： ， 又因点到两坐标轴的距离相等 则 得， 解得， 将代入坐标得 点的坐标是 12．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）在如图的平面直角坐标系中，已知三角形的顶点均在格点上，且坐标分别是，，． (1)请在图中画出三角形； (2)画出将三角形先向左平移6个单位长度，再向下平移7个单位长度后得到的三角形，并写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，，， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点的坐标，先在坐标系中描出A、B、C，再顺次连接A、B、C即可； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律确定A、B、C对应点的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ∴，，． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标：A ， ． (2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的． (3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形面积公式，得出对应点位置是解题关键． （1）根据已知图形可得答案； （2）由的对应点得平移规律，即可得到答案； （3）由（2）平移规律得出m、n的方程． 【详解】（1）解：由图知，， 故答案为：，； （2）解：的对应点得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到， 三角形是由三角形向左平移5个单位，向上平移4个单位得到． （3）解：内平移后对应点的坐标为， ∵的坐标为， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了坐标与轴对称，掌握关于轴对称的性质是关键； （1）根据一次反射点的定义及二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义解题即可． 【详解】（1）解：点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：的一次反射点为，点的一次反射点为，二次反射点为， 由题意知：， 解得：， ∴． 15．（24-25八年级上·江苏常州·期中）综合与实践 （）【动手探索】如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，，连接，，，，，并依次取，，，，的中点，，，，.观察图形，直接写出，，，，各点的坐标； （）【观察归纳】关于以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若线段两端点坐标分别为，，线段的中点是，请用等式表示你所观察的规律为__________，__________，并用，的坐标验证规律是否正确； （）【实践运用】利用上面探索得到的规律解决问题： 若点，，则线段的中点的坐标为__________； 已知点N是线段的中点，且点，，求点的坐标. 【答案】（），，，，； （），，验证见解析； （）；． 【分析】本题考查了坐标与图形，探索规律，解决本题的关键是通过观察得到线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，再根据中点坐标与线段两端点坐标的对应关系解决问题． （1）根据图形读出平面直角坐标系中点，，，，的坐标即可； （2）根据（1）线段中点坐标与线段两端点坐标的对应关系，可得线段的中点是的横坐标、纵坐标分别是，；因为点，分别为，的中点，根据（1）中的规律验证即可； （3）根据点，，点是线段的中点，利用中的规律求出点的坐标即可； 设点的坐标为，根据规律可得：，，解方程即可求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知：点，，，，的坐标分别为：，，，，； （2）解：由（1）中的规律可知： 点的坐标是，点的坐标是， ，； 点，分别为，的中点，点，，，， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 通过点，的坐标的验证规律是正确的， 故答案为：，； 解：点，，点是线段的中点， 点的横坐标为：，纵坐标为：， 点的坐标为是， 故答案为：； 解：设点的坐标为， 点N是线段的中点，且点，， ，， 解得：，， 点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $