精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学学科试题

2025—2026学年度上学期高一年级期中考试数学学科试题 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知实数a，b满足，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知为正实数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的偶函数在内单调递减，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域为________． 14. _____. 15. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是__________． 16. 对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）求及； （2）求. 18. 设全集，已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 19. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 20. 设正数a，b满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 21. 已知函数，是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集． 22. 设函数，. （1）若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期高一年级期中考试数学学科试题 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出绝对值不等式，求出集合，再利用并集的运算求出. 【详解】，或， 或， 或，， ，所以. 故选：D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称命题即可得. 【详解】由命题，，则的否定为：，. 故选：C. 3. 已知实数a，b满足，，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【详解】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的范围是． 故选：C 4. 已知函数是幂函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义列方程组求得，代入求解即可. 【详解】因为函数是幂函数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 5. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数单调性求值域判断A；利用二次函数性质求值域判断B；利用绝对值的含义求值域判断C；利用求值域判断D. 【详解】对于A，因在上单调递增，故其值域为，不合题意； 对于B，，则其值域为，不合题意； 对于C，，则其值域为，不合题意； 对于D，因，则，即的值域为，符合题意. 故选：D 6. 已知为正实数，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式和分式不等式可求得甲、乙的解，根据推出关系可得到结论. 【详解】为正实数，， 由得：或，甲：； 由得：，解得：或，乙：； ； ； 甲是乙的必要条件，但不是充分条件. 故选：B. 7. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减， 则，解得. 故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由空集的定义判断A；由0为自然数，可判断B；由为无理数，可判断C；由是整数及集合间的关系判断D. 【详解】对于A，因为空集中没有任何元素， 所以，故A错误； 对于B，因为0为自然数， 所以，故B正确； 对于C，因为为无理数， 所以，故C错误； 对于D，因为是整数， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 定义在上的偶函数在内单调递减，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的奇偶性和单调性可判断BC选项. 【详解】因为定义在上的偶函数在内单调递减，则函数在内单调递增， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，当时，，D错. 故选：ABD. 11. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A当时即可判断，对于B、D利用不等式的性质即可判断，对于C利用作差法即可判断. 【详解】对于A：由满足前提，而，故A假命题； 对于B：由有，故B真命题； 对于C：由， 又，，所以，当时，， 所以，故C假命题； 对于D：由，所以，又，所以，故D真命题. 故选：BD. 12. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.下列命题中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. 若，，则方程的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，逐项判断即可 【详解】由高斯函数定义显然A正确； 对于B，不妨取，，故B正确； 对于C，不妨取，，故C错误； 对于D，因为当时，，所以方程等价于， 又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立， 即对任意，恒成立，所以方程的解集为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意有，解出即可. 【详解】由题可得，解得且， 的定义域为. 故答案为：. 14. _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的运算求解即可. 【详解】 . 故答案为： . 15. 已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，进而求出不等式的解集. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 则一元二次方程的两个根为2和3， 所以， 所以不等式变为， 即，解得或. 故答案为：. 16. 对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果. 【详解】令， 当时，化简方程为，解得； 当时，化简方程为，解得，作出函数的图象，如图所示， 所以．又函数的图象关于直线对称， 所以，即． 若函数在上有最小值，则的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知集合，. （1）求及； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程把集合具体化，再利用集合的运算法则计算即可； （2）利用集合的运算法则计算即可. 【小问1详解】 得或 集合， 故； 【小问2详解】 . 18. 设全集，已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由结合交集定义即可列关于参数的不等式求解； （2）先由得到，再由子集定义列关于参数的不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 19. 某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h． （1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； （2）设，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价）） 【答案】（1） （2）0.6元/kw•h 【解析】 【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，得出电力部门的收益即可； （2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【小问1详解】 设下调后的电价为x元/kw•h， 依题意知用电量增至，电力部门的收益为 【小问2详解】 依题意有， 整理得， 解此不等式得， 答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%． 【点睛】本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力． 20. 设正数a，b满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可得出答案； （2）将原式化简，然后代换一下，利用二次函数的性质求最值； （3）若选（ⅰ），代换，然后利用基本不等式即可求解；若选（ⅱ）,也是先代换，然后利用二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为； 【小问2详解】 ，所以， ， 当时，取到最小值； 【小问3详解】 若选（ⅰ）,， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为; 若选（ⅱ），，所以， ， 显然当时取到最小值. 21. 已知函数，是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） ，且， 则 ， 因，则，，， 故，即， 故在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据求得，再利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用单调性和奇偶性解不等式. 【小问1详解】 由题意可知，，则， 检验：，且定义域关于原点对称，则是奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，是奇函数，则， 因在上单调递增，则，得， 故不等式的解集为. 22. 设函数，. （1）若对于任意的，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为. ①求a，b的值; ②求函数在的最大值. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）法1：问题化为当，只需，讨论对称轴与已知区间的位置关系，结合二次函数性质求对应最小值，即可得参数范围；法2：问题化为在上恒成立，应用对勾函数性质求右侧最大值，即可得范围； （2）①根据一元二次不等式解集求参数值即可；②由，讨论已知区间与对称轴位置关系求最值. 【小问1详解】 法1：由题知，任意有，即当，只需， 由的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 此时，即； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得，与前提矛盾，舍去； 当，即时，在上单调递减， 此时，即，与前提矛盾，舍去. 综上所述：a的取值范围. 法2：由题，得对任意都成立，即， 令，则， 令，则在上单调递增， 则在上单调递减，故，即， 所以a的取值范围. 【小问2详解】 ①，即的解集为， 则有，解得， ②由于 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以； 当时，在单调递减，所以； 综上所述，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $