精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线化为斜截式，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角. 【详解】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：. 2. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】椭圆方程，左、右焦点分别为，，利用椭圆的定义求解． 【详解】椭圆方程，设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆长轴长， ，，得的周长为． 故选：C 3. 已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线的方程为，与，分别联立求得与的坐标，再由，的纵坐标均为正数，得，进而得为定值，最后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 4. 已知抛物线的焦点为为上一点，为上一动点，是坐标原点．若，垂足为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点求得抛物线的标准方程，然后根据题意列等式即可求解． 【详解】由题可得，所以，所以． 因为，所以点在以线段为直径的圆上． 由题易得该圆的圆心为线段的中点， 所以圆心坐标为，半径为． 所以的最大值为． 故选：C． 5. 设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知结合双曲线的定义可推得，.然后根据，可推得.最后根据余弦定理，即可得到关于的齐次方程，即可得出离心率. 【详解】 设， 由已知可得，， 根据双曲线的定义有. 又，所以. 在中，由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 等式两边同时除以可得，， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 6. 已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：不妨设且，由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切，利用导数求得，结合两点式列方程求得，进而得到为等边三角形，求出内切圆半径，即可得；法二：设圆与的切点分别是，连接，根据已知得到在轴上，在直线上，设，，且，由得，等面积法求内切圆半径，即可得. 【详解】.设内切圆半径为， 法一：由抛物线的光学性质知直线和抛物线相切， 不妨设且，，则，解得， 所以，则，而，所以， 即为等边三角形，其内切圆半径，故内切圆面积为. 法二：设圆与的切点分别是，连接， 由，又，所以，即，所以在轴上， 连接，所以是的角分线，所以在直线上， 设，，且， 由，所以，解得或， 若时，与题设矛盾，所以，易知， 由，解得，则内切圆面积为. 故选：B 7. 已知直线和圆，则下列结论错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆总相交 D. 存在直线被圆截得的弦长为6 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程确定定点坐标，并判断与圆的位置关系，即可判断A、C；根据直线垂直的判定写出与垂直的直线方程判断B；根据直线与圆的位置关系确定最短弦长判断D. 【详解】由，故直线恒过定点，A对； 当时，与直线垂直，B对； 由，即在圆内部，故直线与圆总相交，C对； 当直线时，直线被圆所截弦长最短为且为圆的半径，D错； 故选：D 8. 已知椭圆（）的左顶点为A，过椭圆右焦点作与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，若直线的斜率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，求出直线的斜率，得到不等式，求出离心率的取值范围. 【详解】由题意得，， 将代入得，， 解得， 因为在第一象限，故， 故的斜率为， 因为直线的斜率的取值范围是， 所以， 因为，所以， ，变形得到， 不等式两边同除以得，，解得， ，变形得到， 不等式两边同除以得，，解得， 故. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点是曲线（其中为常数）上一点，设是直线上任意两个不同的点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 当时，曲线的渐近线为 C. 当，使得是等腰直角三角形的点只有6个 D. 当，使得是等腰直角三角形的点只有8个 【答案】BC 【解析】 【分析】举出反例可判断A；根据双曲线方程的特征可判断B； 设直线与椭圆相切求出，再由与的距离都为，可判断C；设，求出点到直线的距离，分为直角顶点和不为直角顶点两种情况，数形结合得到结论 【详解】对于A，当时，曲线表示圆，故A错误； 对于B，当时，曲线表示双曲线， ， 所以渐近线为方程为，故B正确； 对于C，当时，曲线方程为，， 设直线与椭圆相切，联立方程 ，消去得， 所以，解得， 与的距离都为， 因为是等腰直角三角形，以为斜边的等腰直角三角形有4个， 以为直角边的等腰直角三角形有2个，共6个，故C正确； 对于D，当时，曲线方程为， 设，点到直线 的距离为， 若为直角顶点， 因为，所以， 此时满足要求的点有4个， 若不为直角顶点， 当时，不存在这样的三角形；当时，这样的点有2个； 当时，这样的点有4个，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：椭圆的参数方程是，对于有关椭圆上点的横纵坐标问题的题目可以转化为三角函数问题求解，比如求的最大值，求点到直线的距离范围等问题都可以使用椭圆的参数方程来解决. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 11. 已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 的最大值为12 D. 若，则过点且与圆相切的直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，判断两圆的位置关系即可；对于B，两圆方程相减即可；对于C，由验算即可；对于D，点在圆上，利用垂直关系得切线斜率，进一步即可验算. 【详解】对于A，圆、的圆心、半径依次分别为， 圆心距满足，所以两圆相交，圆与圆有两条条公切线，故A错误； 对于B，两圆、方程相减得， ，化简并整理得两圆的公共弦所在的直线方程为，故B正确； 对于C，由题意，当且仅当四点共线，取最大值，故C正确， 对于D，，即点在圆上面， 又，所以过点且与圆相切的直线方程为， 化简并整理得，过点且与圆相切的直线方程为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可. 【详解】记实轴长为，虚轴长为，焦距为. 则，，所以，，. 所以该双曲线的离心率. 故答案为：. 13. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设出两条切线后，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，根据两点在两条切线上且纵坐标已知，写出两点的横坐标，作差后结合韦达定理求出最值. 【详解】 易知直线的斜率均不可能为0，故可设直线与直线的方程分别为：,又与圆相切， 所以即.易知为该方程的两个解, 所以 , 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设的内切圆圆心为，结合双曲线定义可求得为双曲线的右顶点，设，则，利用二倍角正切公式可构造关于的齐次方程，解方程即可求得离心率. 【详解】设的内切圆圆心为，且与三边相切于点， ，，， 由双曲线定义知：， ，又， ，，为双曲线的右顶点，即的横坐标为， 又的内切圆半径为，， 设，则， ， 因为与双曲线渐近线平行，且双曲线渐近线方程为， 所以， ，整理可得：， ，解得：或，又，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； （3）已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问3详解】 设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为 16. 已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率与椭圆长轴长，计算出，进而可得椭圆方程； （2）根据椭圆的性质，利用余弦定理解，即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则的离心率为， 又长轴的长为8，即，则，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ，设，， 又，则为锐角，且， 在中，， 即，即①， 又，即②， 由①②解得，， 所以的面积为． 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图，过点作，交于点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，． 又为的中点，点在上，且满足，则 ，，，， , 所以， 所以． （2） 由（1）知，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量． ，， 设为平面的法向量， 则， 令，得平面的一个法向量 因为， 所以， 所以平面平面． 即平面平面． （3） 假设存在，，，四点共面，即点在平面内，则． 又（，），，，， 所以， ， 解得． 又因为，，三点共线，所以，所以，， 故存在，，，四点共面，且，即． 因为， 所以，即的值为2． 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，分别写出的坐标，计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，证明两法向量垂直即可； （3）假设存在，由，结合点的位置，即可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； （3），两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式求解即可； （2）求得线段的中垂线方程，设圆心为，利用，求得，可求圆的方程； （3）设，，求得直线的方程，根据，可求直线的方程． 【小问1详解】 点，设直线方程为，，， 由，得，则， 从而， 所以，则，抛物线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，则线段的中点为， 从而线段的中垂线方程为，即， 由此可设所求圆的圆心为， 则， 由圆与的准线相切，得圆的半径为， 又，，在中， 即，即，解得或1， 从而圆的方程为或． 【小问3详解】 如图： 设，，则， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为 ，即，又， 则，即，同理可得， 所以直线的方程为． 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，故. 【小问2详解】 当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. 【小问3详解】 由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二（上）期中检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 26 3. 已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（ ） A. 13 B. 12 C. D. 4. 已知抛物线的焦点为为上一点，为上一动点，是坐标原点．若，垂足为，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在双曲线右支上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知抛物线的焦点为准线为为抛物线上一点，过点作直线于点，且的内心，则内切圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和圆，则下列结论错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆总相交 D. 存在直线被圆截得的弦长为6 8. 已知椭圆（）的左顶点为A，过椭圆右焦点作与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，若直线的斜率的取值范围是，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点是曲线（其中为常数）上一点，设是直线上任意两个不同的点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线表示椭圆 B. 当时，曲线的渐近线为 C. 当，使得是等腰直角三角形的点只有6个 D. 当，使得是等腰直角三角形的点只有8个 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的焦距为 D. 的面积为 11. 已知圆和圆是圆上一点，是圆上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆与圆有四条公切线 B. 两圆的公共弦所在的直线方程为 C. 的最大值为12 D. 若，则过点且与圆相切的直线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________. 13. 已知圆,点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为,若两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为_____. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； （3）已知是圆上动点，求的最大值. 16. 已知椭圆的离心率为，长轴的长为8． （1）求椭圆的方程； （2），分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且在轴上方，若直线的倾斜角为，，求的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，，，，，是的中点，是上的一个动点，点在上，且满足． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）试问：是否存在，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于，两点，且． （1）求抛物线的方程； （2）求过点，且与抛物线的准线相切的圆的方程； （3），两点在抛物线上，点，若直线，是圆的两条切线，求直线的方程． 19. 已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. （1）若离心率时，求的值； （2）若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； （3）连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $