湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题

2027届湘潭市高三第一次模拟考试数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.A 2.D 3.C 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.AC 10.ABD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-1-i 13.x+y-3=0 26+2 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， l5.解析：(1)解：因为a=bcosC+bsinC,由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinBsinC, …1分 由A+B+C=元，得4=π-(B+C),得 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC sinBcosC+sinBsinC …3分 得cosBsinC=sinCsinB,又sinC≠0，得cosB=sinB,'B∈(0，x),所 B=π ，4.…6分 Bsπ (2)由(1)知4，由余弦定理 (W10)2=(3W2)y2+a2-2.3V2-acos" …8分 →a2-6a+8=0→a=2,或者a=4.… 10分 OsC=-_ 10 a=2时 10 0 ，舍去， osC=10 >0 1 a=4时 10 符合，所以a=4,Sauc=2 acsinB=6 …13分 (说明：未判断锐角三角形扣2分) 16.解析：(1)证明：连结EC,过C作CF⊥BE,垂足为F,DH⊥BE于H. EH=BF=1,Rt△EFC中，CF=V3.EC=25 …2分 :△AEC中，AC=27,(272=4+(25}2,即AC2=AE2+EC .AE⊥EC,AE⊥EB,EB∩CE=E …4分 .AE⊥平面BCDE,又因为AES平面ABE内， 平面ABE⊥平面BCDE. …6分 (2)因为AE⊥平面BCDE,如图所示以E为原点，过E点与BE垂直的直线 为x轴，EB,EA为'，z轴建立坐标系.由(1)知E(00,0),B(04,0)】 A0,0,4).D(N5,10）.C(5,30 …8分 所D-(.L0）五=(00,4).设有面E1D法量m=(G,2), 3x+y=0 由mD=0,mE=0,4好=0，取=1，有m=(-5, ，…10分 又CB=(5,10）.BA=(0,44,设平面CAB法向量=(，，2）， -V3x2+2=0 由i.CB=0,i-BA=0,-4+4=0,取=1，有i=(5,V5) …12分 cos0= m_1-3到√万 设平面ADE与平面ABC的夹角为B,则 州元2×7 14分 所以 ine=v1-cos0142 7 …15分 17.解析：(1)此椭圆b=1,过焦点垂直于x轴的弦即通径， 答名102.6-5，黄台号 2b-2=1 …4分 .r2 2)由a)E:香+广1.设4）B(无为），段切线P4的方程为-月=(-)。 y-y=k(x-x), 联立4+2=1， 整理符+46)r+8(-:)x+4(-c-4=0。 由△=[8(-c了-4+4儿40--4=0.得(G-4)k2-2xk+-1=0 …6分 k=,2x出出=-玉 因为1(x,)在椭圆C上，所以+4=4，则2(-4)-44， 所以过A与C相切的直线方程为 -%=-小 即PA的方程x+4y-4=0,同理PB的方程x+4,y-4=0, …8分 x·4+4yt-4=0 又因为PA,PB都经过点P,所以x·4+4y,t-4=0 显然4(x,乃），B(:,乃)在直线4红+4=4上，即直线AB方程为x+=1, …10分 所以直线AB过定点(1,0) …11分 x=1-y （3)联立直线AB与椭圆方程r+4y=4符(+4y2-2-3=0 2t -3 y+y2= +9.%=2+4】 …12分 3--对*-4- 18 t2+3 (e+4) 2 = =2 ≤2 (u+)2 2 11+ 一+2 3 +2 设w=12+3≥3，原式 3 …14分 所以当1=3即t=0,点P(4,0）,切线PA,PB关于x轴对称时， 5 S△o1B取最大值为2， …15分 1设解：《1如果标记球是结1个微收出的，=1，每幸P,-号 如果是第2个，x=2,概率 22)=3.如果是第3个，x=3,薇幸P(3,=3 在3个球中，标记球等可能出现在第1、2、3位，所以 …3分 (2)略 (3)略 19.解析：a)f(π-x)=(伍-'-r-x)+asin(π-x)=x2-元c+asinx=f) 一f()关于直线2对称.… …4分 tsπ (2》由1)知()关于直线二2对称，故仅考虑 f(x)=2x-I+acosx(x)=f(x).g(x)=2-asinx ①当a≤2时，8'()20恒成立.g()=f(y在02单调递增。 此时， r-0引w 0,元 所以f()<f0)=0,此时()在2不存在最大值.…5分 (i)当a>2时， )使 sin =2 a 当x∈(0，)时，g(x)>0,8(x)=f(),f()单调递减增， g(x)<0,g()='(x)单调递减， s为8o=f0=a.)(-0 所以 )=f(s)>f=0 …6分 ①当a之元时，8()=了八()的大致图象如下图所示， a≥π g(x) a- 可知 」单调递增， .+d 此时存在最大值 4“,符合题意… …8分 ②当2<a<π时， 3x,∈(O,x)使g()=f(x)=0,(x)=f'()的大致图象如下图所示， y个2<a<π g(x) 可知x∈(0，)时，8()-∫'()<0，f()在(0，x)单调递减， 厨知x2时g飞）=fr(飞)>0f()布 2单调递增， n2 +a≥0 π2 ≤a<π ,即4 +a 综上 4时f(x)有最大值4 10分 (3)由(2)知：当a<π时，不成立，a=元时，f'()=2x-元+c0sx g(x)=2-πsimr.g(0)=-π+a≥0,3x、x2∈(0，) inx=simx,-元，且 2 使 0<<<5<n …11分 8()在(0，)单调递增，(，)单调递减，(：，)单调递增。 g0-0.目-01=0.>0.0，er引ne 递减，f()20在[0，成立， x<0时，x<sinx,f()=r-r+sinx=r-元(x-sinr)>0成立， x>元时，π-x<0,f()=f(-x)>0成立， 所以a=元，对x∈R时，fx)≥0恒成立. …13分 当a>元时，、名e0,则使sinx=sin- 0<<<元 ，且 g(~)在(0，x)单调递增，(：，)单调递减，(，单调递增。 80)=+a>0,8=-a<0.)小8-0 …15分 引2<0.3司50.了()a6,0单 x∈(，0)时，f)<0不成立，综上a=元，对∈R时，f()≥0恒成立.…17分 2027届湘潭市高三第一次模拟考试 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为 A．5 B．6 C．8 D．9 2．已知向量，，若，则实数的值为 A． B．2 C． D． 3．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为 A．1 B． C．2 D．3 4．已知函数，若，则 A．0 B． C．6 D．4 5．已知展开式中项的系数为，则 A．2 B． C．4 D． 6．已知正实数，满足，则的最小值为 A．5 B．6 C． D． 7．某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为 A． B． C． D． 8．若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是 A．已知，则 B．已知，，则存在实数使得 C．若，则 D．已知是等比数列的前项和，，则不存在等比数列，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D．若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 10．已知圆，则下列说法正确的有 A．圆心在曲线上 B．存在两个不同的实数，使圆过点 C．存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D．存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 11．某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是 A． B． C．记，满足的最小 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数，则_______． 13．函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为_______． 14．四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，，求的面积． 16．（15分）如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17．（15分）已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． （1）求椭圆的离心率； （2）过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，两点． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 18．（17分）在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率． （1），，求； （2）求和； （3）求，，． 19．（17分）已知，． （1）求证：图象关于直线对称； （2）当时，存在最大值，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $