4.2.1等差数列的概念(3)等差数列的性质及应用课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的性质与应用，通过“探究新知”问题链（如任意两项关系、衍生数列判断、下标和性质）引导，结合例题、练习构建学习支架，衔接通项公式与实际应用，帮助学生系统掌握核心知识点。 其亮点在于以问题驱动探究，通过表格对比衍生数列结论、几何角度解释下标和性质，结合设备价值、住房面积等实际案例，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达的核心素养。助力学生深化理解，教师教学更具系统性与高效性。

等差数列的性质与应用 问题1、在等差数列{an}中,任意两项an与am有怎样的关系?能否用它们求公差?(其中n> m, m,n∈N*). 1.等差数列通项公式的推广及几何意义 (1)an=am+(n-m)d(m,n∈N*). 探究新知1 1．等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系) an＝am＋(n－m)d(揭示任意两项之间的关系) 知识点1、等差数列的性质1--通项公式的推广 练习1、在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ；（2）若d=2，求a10. 知识点1、等差数列的性质1--通项公式的推广 例1、P18 3T 知识点1、等差数列的性质1--通项公式的推广 问题2、若数列{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,判断下列数列是否是等差数列(c，k，p，q为常数)?如果是，公差分别为多少？ 探究新知2 数列 结论 {c+an} {c·an} {an+an+k} {pan+qbn} 问题2、若数列{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,判断下列数列是否是等差数列(c，k，p，q为常数)?如果是，公差分别为多少？ 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*) {pan+qbn} 公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数) 例2、 已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1) 求数列{bn}的通项公式． (2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 追问1：如果插入k (k∈N*)个数，那么数列{bn}的公差d是多少？ b1＝a1， bk＋2＝a2，于是 bk＋2 －b1＝a2－a1＝d ＝(k＋1)d， 所以d＝ . 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 追问2：还有其他方法判断此结论吗？ a1 a2 b2 b3 b4 a3 b6 b7 b8 a4 b10 b11 b12 b1 b5 b9 b13 数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项. 解法2：数列{an}的各项，依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项.这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}. 则cn＝1＋(n－1)×4＝4n－3. 令4n－3＝29，解得n＝8.所以b29是数列{an}中的第8项. 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 练习2、课本P18 4\5T 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 已知等差数列{an},{bn},则 ①将等差数列{an}中的前m项去掉,其余各项组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ②取出等差数列{an}中的所有奇数项,组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ③在等差数列{an}中每隔m项取出一项,组成一个新的数列， 它仍是等差数列. ④数列{an+bn}， 它仍是等差数列. {an-bn}， {an+c}， {kan}， {kan+mbn}， 等差数列的性质2、等差数列的衍生数列 例3、证明：若数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t，则有ap＋aq＝as＋at . 等差数列中，下标和相等的两项的和相等. 新知探究3 14 不一定！ 追问1：等差数列{an}中，有a2＋a4＝a6是否成立 2a4＝a2＋a6？. 新知探究3 15 追问2 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 探究新知3 推广： 反例： 常数列 等差数列的“下标和”性质 知识点3、等差数列的性质3--下标和 思考：其他条件不变，若am＋an＝ap＋aq，能得到m＋n＝p＋q吗？ 题型二　等差数列性质的应用 题型二　等差数列性质的应用 知识点3、等差数列的性质3--下标和 题型二 灵活设项求解等差数列 题型二 灵活设项求解等差数列 变式、已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 题型二 灵活设项求解等差数列 题型二 灵活设项求解等差数列 例4 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 题型三 等差数列的应用 解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题. 题型三 等差数列的应用 变式训练1 孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（ ）年新建住房的面积开始大于820万平方米？ 2026 B. 2027 C. 2028 D.2029   C 题型三 等差数列的应用 1、知识点： 课堂小结 2、题型及方法： 3、易错点与难点： (2)d=(m,n∈N*,且m≠n),其几何意义是过两点(n,an)与(m,am)连线的斜率. 若{an}是公差为d的等差数列，正整数m, n, p, q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. (1)特别地，当m＋n＝2k(m, n, k∈N*)时，am＋an＝2ak. 例4、已知数列{an}为等差数列，且公差为d. (1)若a15＝8，a60＝20，求a105的值； (2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d. [训练] (1)在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝ ； (2)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝ . (4)等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ . (5)设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝ . (1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是 . (2)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10＝30，则a3－2a5的值为________. (3)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________. 例5、已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式． 解　因为数列{an}为等差数列，所以可设前三项分别为a－d，a，a＋d，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－daa＋d＝231，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3a＝21，,aa2－d2＝231，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.)) 因为数列{an}为单调递增数列，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，)) 所以an＝4n－1． 解　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2)，)) 所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 常见设元技巧 (1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量． [跟踪训练3]　已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式． $