精品解析：山东省济南市2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题

2025~2026学年第一学期高一年级期中学情检测 数学试卷 学业质量评价研究小组命制 2025.11 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将个人的姓名､座号､考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效. 第Ⅰ卷选择题 一､单选题（每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 7. 若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（ ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点__________. 13. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数___________. 14. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为，求的表达式. 17. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期高一年级期中学情检测 数学试卷 学业质量评价研究小组命制 2025.11 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将个人的姓名､座号､考籍号填涂在答题卡规定位置，所有答案必须填涂在答题卡相应位置，否则无效. 第Ⅰ卷选择题 一､单选题（每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式组即得解. 【详解】解：由题得且. 所以函数的定义域为. 故选：D 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】命题“”为全称量词命题，其否定为：. 故选：B. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性即可判断得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增， 在定义域内任取两实数，令， 则，因此充分性成立； 若，则， 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助排除法，判断出函数奇偶性后利用对勾函数性质得到函数单调性即可得. 【详解】由，又定义域为， 故为奇函数，故可排除B； 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 故可排除C、D. 故选：A 6. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由可知，， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 7. 若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，要使函数是R上的增函数，其每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可. 【详解】由题意得 ，解得. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上单调递增，再由函数为奇函数，可得在上单调递增，且，由此可求出和的解集，从而可求得结果． 【详解】因为对于任意两个实数且时，不等式恒成立，所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，；当或时，， 所以当或时，， 所以不等式的解集为． 故选：B． 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由不等式性质逐项分析判断即可. 【详解】对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以，所以，即，D错误； 故选：BC. 10. 奇函数在的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 函数在上单调递减 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的性质，由此可判断每个选项的正误. 【详解】根据图像可知，当时，，故A正确； 在，上单调递减，在上单调递增， 所以根据奇函数性质可，函数在上单调递减，在上单调递增，故BC正确； 由于在上递增，所以，故D错误. 故选：ABC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的一个函数为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=，函数g(x)=[f(x)]，以下结论正确的是（ ） A. f(x)在R上是增函数 B. g(x)是偶函数 C. f(x)是奇函数 D. g(x)的值域是{-1，0} 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，分离常数后，结合指数函数的单调性得到结论；B选项，举出反例；C选项，利用函数奇偶性的定义进行判断；D选项，利用指数函数的性质以及高斯函数的定义求出值域. 【详解】A选项：因为， 又在R上单调递增且恒大于0，故在R上单调递增，A正确； B选项：因为，且， 所以，， 所以，故不是偶函数，B错误； C选项：定义域为R，且， 故是奇函数，C正确； D选项：因为，则， 所以， 当时，则， 当时，则， 所以， 故的值域是，D正确. 故选：ACD 第II卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以数且的图象必经过点. 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数系数为并结合单调性即可求解. 【详解】由题意得，解得或， 当时，在上递减，不符合题意； 当时，在上递增，符合题意； 故答案为：. 14. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、和补集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集的运算性质，结合子集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以. 所以，解得， 所以m的取值范围是. 16. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）设函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）求得一元二次函数的对称轴，分，和三种情况可求得函数在上的最小值的表达式. 【小问1详解】 当时，不等式等价于， ，解得或， ∴不等式的解集为. 【小问2详解】 开口向上，对称轴为， ①当时，即时，， ②当时，即时，， ③当时，即时，， 综上所述，. 17. 函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. （1）求的值； （2）用定义证明在上是减函数； （3）求函数的解析式. 【答案】（1） （2） 设， ， ，，，， 在上是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【小问1详解】 为奇函数， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，， ，； 又为定义在上的奇函数，， . 18. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是奇函数，证明：的定义域为 ，所以是奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 【小问1详解】 解得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”. （1）函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，不必说明理由； （2）已知函数. ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）① （2）①②或 【解析】 【分析】（1）结合定义逐项计算最大值与最小值的差即可得； （2）①分与讨论函数在时的最大最小值即可得；②结合定义，分、与讨论即可得. 【小问1详解】 ①因为，所以，所以， 得，故是在上的“美好函数”； ②因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； ③因为，所以，所以， 得，故不是在上的“美好函数”； 【小问2详解】 ①由题得， 当时，可知， 所以，当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有； 当时，， 此时， 因为函数是在上的“美好函数” 所以有； 故； ②时，函数，可知此时， 函数的图象的对称轴为直线且开口向上； 当时，此时函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 当时，此时函数在上单调递减，在单调递增， 所以当时，， 因为函数是在上的“美好函数”，所以有； 令，解得或， 所以此时（舍去），或（舍去）， 当时，此时函数在上单调递增， 此时，，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得； 综上所述：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $